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Circuitos Eléctricos I

II

Circuitos Resistivos

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Objetivos: o Definir la ley de Ohm o Analizar y comprender lo que son mallas y nodos o Cultivar la importancia y el fundamento de las leyes de Kirchhoff en los circuitos eléctricos o Interpretar los métodos de divisor de voltaje y divisor de corriente o Discutir sobre la resistencia equivalente en las redes resistivas o Memorizar el código de colores de la Resistencia de un Resistor o Practicar a medir voltaje, diferencia de potencial y corriente eléctrica Introducción Las leyes importantísimas en el análisis de circuitos eléctricos son presentadas en este capítulo, como son la ley de Ohm y las leyes de Kirchhoff, que no olvidarán durante toda su carrera profesional. Tratamos ahora con circuitos resistivos, cuyo elemento de red es el Resistor y su característica importante que lo identifica como es la resistencia. También explicaremos como saber distinguir cuando los elementos se encuentran en serie y en paralelo, al mismo tiempo aprenderemos a encontrar la resistencia equivalente entre dos terminales de un circuito resistivo. También veremos como utilizar los métodos de divisor de voltaje y divisor de corriente. Incluimos una explicación sobre las transformaciones de estrella (Y) a delta (∆) y de delta (∆) a estrella (Y). También explicaremos como analizar problemas con fuentes dependientes y un importe principio de medición de Resistencias como es el Puente de Wheatstone.

2.1

Ley de OHM

La ley de Ohm establece que la intensidad de la corriente eléctrica que circula por un dispositivo es directamente proporcional a la diferencia de potencial aplicada e inversamente proporcional a la resistencia del mismo. También puede ser dicho que el voltaje a través de una Resistencia es directamente proporcional a la corriente que fluye a lo largo de esta. La Resistencia es medida en Ohms (Ω) y es la constante proporcionalidad entre el voltaje y la corriente.

Georg Simon Ohm (1787-1854), físico alemán conocido sobre todo por su investigación de las corrientes eléctricas.

i(t) = (1/R)v(t) para R≥0, que escrita de otra forma v(t) = Rv(t). La Figura 2.1 ilustra la ley de Ohm para un Resistor, con dos símbolos para R

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Circuitos Resistivos I

IR =

V A − VB , o V A − VB = R I R R

A + V -

R

R

B

Figura 2.1.1

2.1.1 Elementos de circuito El rasgo distintivo de un elemento de circuito es que su comportamiento eléctrico esta descrito en términos de alguna relación corriente-voltaje entre sus terminales. También llamada ley del elemento, esta relación puede ser matemáticamente derivada a través de las leyes de la física, o puede ser determinada experimentalmente vía mediciones punto apunto. En ambos casos, esta relación puede ser graficada en un papel o puede ser mostrada en un tubo de rayos catódico para una visualización fotográfica del comportamiento del elemento.

Algunos Elementos de circuitos

La característica i-v de un dispositivo Esta característica informa sobre la relación que existe entre i y v en un dispositivo y constituye todo lo que hay que saber de un dispositivo para poder estudiar su comportamiento y efectos al insertarlo en un circuito dado. Esta relación puede presentarse en forma de tabla, dando pares de valores v-i. También puede presentarse en forma gráfica dando i como función de v o viceversa. Una ley del elemento puede ser expresada como i = i(v) donde v es referido como la variable independiente e i como la variable dependiente. Físicamente nos referimos a v como la causa e i como el efecto, puesto que el voltaje produce un campo eléctrico, y el campo eléctrico transforma, el grupo de cargas en movimiento, vå Eåi. La ecuación i = i(v) es llamada la característica i-v del elemento. Cuando es graficado en el plano i-v, esta característica será una curva de cualquier forma. Mientras procedemos, encontramos que un parámetro de significado particular es la pendiente de esta curva g=

di dv

Puesto que sus dimensiones son amperios/voltios, o Siemens, las cuales son dimensiones de conductancia, g es llamada la conductancia dinámica del elemento bajo consideración. La pendiente es frecuentemente expresada como el recíproco de un parámetro denotado como r,

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1 di = r dv

Claramente i = 1/g . Puesto que sus dimensiones voltios/amperios, u Ohms, las cuales son dimensiones de resistencia, r es llamada la resistencia dinámica del elemento. Como una regla general, la pendiente de una curva i-v es siempre el recíproco de alguna resistencia llamada la resistencia dinámica. Como una regla general, la pendiente de la curva i-v es siempre el recíproco de alguna resistencia llamada la resistencia dinámica. i

La figura 2.1.2 muestra un circuito para encontrar experimentalmente la característica i-v de un elemento X desconocido, así como v también la curva i-v del elemento.

+ -

i

1/r

X

0

v

0

Figura 2.1.2 La característica v-i de un dispositivo Como las variables del circuito, el voltaje y la corriente pueden ser intercambiables en el sentido que a veces puede resultar ser más conveniente para considerar voltaje como la causa y corriente como el efecto, también puede considerarse la corriente como la causa y el voltaje como el efecto. Al seguir el segundo punto de vista, expresamos una ley del elemento como v = v(i) donde ahora i es la variable independiente y v la variable dependiente. La ecuación v = v(i) es llamada la característica v-i del elemento. Note que la pendiente de la curva v-i es el recíproco de la curva i-v. v

1 dv r= = g di

+ i

La figura 2.1.3 muestra un circuito para encontrar experimentalmente la característica v-i de un elemento X desconocido, así como también la curva i-v del elemento

v

r

X

0 0

Figura 2.1.3 En general la característica i-v o v-i será una curva de cualquier forma y la pendiente variará de un punto a otro punto sobre la curva. Cuando este es el caso ,se dice que el elemento es no-lineal. Ejemplos comunes de dispositivos no-lineales son los diodos y transistores, que son elementos básicos de los equipos electrónicos modernos.

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i

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2.1.2 El Resistor (Resistencia) Un Resistor es un elemento de circuito que consiste de un rodo de material conductivo tal como la composición de carbón, aunque son comunes una variedad de otros materiales (Figura 2.1.4.a). La Figura 2.1.4.b muestra el símbolo de circuito para la Resistencia, a lo largo sus polaridades para la corriente y el voltaje los cuales son los de la convención de signo pasivo. R

A

A

-

+ I

l

B

V

(a)

Algunos Resistores

(b) Figura 2.1.4

La Resistencia denotada como R, es la característica del resistor que representa la habilidad para oponerse al flujo de corriente. Los elementos de circuito específicamente diseñados para proveer esta función son llamados Resistores. (R) = (V/A) IR = (VA – VB) / R o (VA – VB) = R(IR) Par un cortocircuito R = 0 y para un circuito abierto R = ∞ Para un conductor rectilíneo con sección transversal uniforme (A) y longitud (l) su Resistencia R es: R = ρ*l / A donde ρ (Ω*m) es la resistividad. La ley de Ohm también puede escribirse como: I = G V donde G es el recíproco de la Resistencia y se le llama Conductividad. (G) 0 (Siemens, S) o mhos. Entonces la potencia disipada por un Resistor es dada por: P = V*I = (I*R)*I = I2 * R, así: P = I2 * R También P = V*I = V*(V / R) = V2 / R así P = V2 / R La característica i-v para un resistor es una línea recta ya que en este dispositivo la corriente es linealmente proporcional a la tensión aplicada a sus extremos (o, a la inversa, el voltaje

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desarrollado entre los extremos del elemento es proporcional a la corriente que lo atraviesa, esto puede ser visto en la figura 2.1.5

Figura 2.1.5 El Código de colores para un Resistor de 4 bandas se muestra a continuación: Color de la banda

Valor de la Valor de la Coeficiente 1°cifra 2°cifra Multiplicador Tolerancia de significativa significativa temperatura

Negro

-

0

1

-

-

Marrón

1

1

10

±1%

100ppm/ºC

Rojo

2

2

100

±2%

50ppm/ºC

Naranja

3

3

1 000

-

15ppm/ºC

Amarillo

4

4

10 000

-

25ppm/ºC

Verde

5

5

100 000

±0,5%

-

Azul

6

6

1 000 000

-

10ppm/ºC

Violeta

7

7

-

-

5ppm/ºC

Gris

8

8

-

-

-

Blanco

9

9

-

-

1ppm/ºC

Dorado

-

-

0.1

±5%

-

Plateado

-

-

0.01

±10%

-

Ninguno

-

-

-

±20%

-

La forma de cómo utilizar el código se muestra a continuación

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Circuitos Eléctricos I 2.2

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Definiciones de malla y nodo

-

Ramas: + Cada elemento de un circuito en una red V1 constituye una rama.

I2

V2 + X2

X1 I1

+ I4

+ V3

X3

-

I3

V4 X4

I5

+ V5 -

X5

I6 + V6 -

X6

Figura 2.2.1 La red mostrada en la figura 2.2.1 tiene 6 ramas, etiquetadas X1 hasta X6. El rasgo distintivo de cada rama es que a cualquier instante hay algunas corrientes a través de esta, llamada la corriente de rama y algún voltaje a través de este, llamado voltaje de rama. Es buena práctica siempre etiquetar los voltajes y corrientes de interés. Ejemplo: iR, vR, vis o ivs. Puesto que los voltajes y corrientes son cantidades orientadas, además de las etiquetas, debemos también usar flechas para indicar la dirección de la corriente y signos “+” y “-“ para indicar polaridades de los voltajes. Nodos o Nudos: A

La unión de dos o más elementos a través de sus X2 hilos se le llama nodo. El circuito anterior ha X1 sido redibujado en la figura 2.2.2 para mostrar que este tiene 4 nodos etiquetados A, B, C y D. Si solo dos hilos convergen a un nodo, como es el caso del nodo A entonces tenemos un nodo simple. Si el número de hilos es más grande que 2, entonces enfatizaremos las conexiones con puntos.

C

B X4 X3

X5

Figura 2.2.2

D

El rasgo distintivo de un nodo es que todos los hilos convergiendo a éste, están al mismo potencial llamado potencial del nodo. Es buena práctica etiquetar todos los nodos en un circuito antes de comenzar a analizarlo. Esto también le ayudará a identificar nodos redundantes (como el nodo D). Nodo de Referencia: Debido a que solo las diferencias de potencial o voltajes tienen sentido, es conveniente referir todos los potenciales del nodo en un circuito al potencial de un nodo común llamado nodo de referencia o nodo dato. Este nodo es identificado por el símbolo y su potencial es cero por definición. Cuando los potenciales del nodo son referenciados al nodo dato, son referidos simplemente como voltajes de nodo. Dada nuestra tendencia para visualizar el potencial alto, una lógica de escogencia para el nodo de referencia es el nodo de la parte baja de un diagrama de circuito, tal como el nodo D de la figura anterior. Sin embargo, algunas veces podría resultar más conveniente designar el nodo con el mayor número de conexiones como el nodo de referencia porque esto puede

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simplificar el análisis del circuito. Esto es también consistente con el hecho de que los circuitos prácticos incluyen un blindaje de tierra al cual muchos elementos son conectados A + VAB -

Ejemplo: Observemos el circuito mostrado + en la Figura 2.2.3 VA

VA

B

X2

X2

+

-

X3

X1

VB

X3

X1

VB

-

(b)

(a) Figura 2.2.3 No se debe confundir voltaje de rama con voltaje de nodo. vAB = vA – vB quiere decir el voltaje del nodo A referido al voltaje del nodo B vBA = vB – vA quiere decir el voltaje del nodo B referido al voltaje del nodo A

Es importante comprender que no más que un nodo en un circuito puede ser seleccionado como nodo de referencia, y que los voltajes de rama no son afectados por esta escogencia. Ejemplo 2.2.1

A

Para el circuito de la Figura 2.2.4, Muestre los voltajes de nodo si el nodo dato es: a) el nodo D b) el nodo C

+ 1V

- 4V + X2

+

X4

5V

X1

+ 3V -

B

C

X3

-

-

X5 - 2V +

D

Figura 2.2.4

Solución:

5V

1V

(a) Como el nodo de referencia es el nodo D, entonces los voltajes de los nodos restantes serán: Para el nodo C 2V, para el nodo B 5V, para el nodo A 1V, esto esta ilustrado en la Figura 2.2.5

X2 X1

X4 2V

X3 X5

Figura 2.2.5 (b) Como el nodo de referencia es el nodo C, entonces los voltajes de los nodos restantes serán: Para el nodo D -2V, para el nodo B 3V, para el nodo A -1V, esto esta ilustrado en la Figura 2.2.6

3V

-1V X2 X1

X4 X3 X5 -2V

Figura 2.2.6 Lazos y Malla: Un lazo es una ruta cerrada tal que ningún nodo es atravesado más que una vez. Una malla es un lazo que no contiene otros lazos. Lazos son conocidos en otras literaturas como 26

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supermallas, de las cuales hablaremos más adelante. Lazos y mallas son identificados en términos de las ramas que ellos atraviesan. X4

X2

La red de la figura 2.2.7 tiene 6 lazos: 1 X1X2X3 2 X3X4X5 3 X5X6 4 X1X2X4X5 5 X1X2X4X6 6 X3X4X6

X1

1

X3

4

2

6

X5

3

X6

5

Figura 2.2.7

De estos solo los tres primeros son mallas.

2.3

Leyes de Kirchhoff

También referidas como las leyes del circuito o las leyes de conexión, leyes de Kirchhoff llamadas así por el físico Alemán Gustav Kirchhoff (1824-1887), establece una relación entre todas las corrientes de rama asociadas con un nodo y una relación de todos los voltajes de rama asociados con un lazo. Estas leyes contienen los principios de conservación de carga y conservación de energía respectivamente. Ley de Kirchhoff de las corrientes (LKC por las siglas en español y KCL por las siglas en inglés)

Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887) físico alemán

Considera las corrientes de rama asociadas con un nodo n dado. En cualquier instante algunas de estas corrientes fluirán al nodo, otras saldrán del nodo. Estas corrientes obedecen a lo siguiente: En cualquier instante la suma de todas las corrientes entrando a un nodo deben ser igual a la suma de todas las corrientes saliendo de ese nodo.

∑i

ENTRANDO

n

= ∑ i SALIENDO n

Otras literaturas enuncian esta ley de otra manera, como sigue: A cualquier instante la suma algebraica de todas las corrientes asociadas con un nodo debe ser cero, que expresada matemáticamente es:

∑i

∑i

ENTRANDO

n

n

− ∑ i SALIENDO = 0 , de otra manera

− ∑ i ENTRANDO = 0 n

SALIENDO

n

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Ambas expresiones matemáticas son iguales que la primera expresión, sin embargo en las dos últimas, se les pone signos negativos a las corrientes que salen (como se puede apreciar en la primera ecuación) o a las corrientes que entran (como se puede apreciar en la segunda ecuación). En lo personal recomiendo utilizar la primera definición, puesto que a ninguna de las corrientes se le pone un signo, lo cual facilitará el aprendizaje a los principiantes en esta materia. De la experiencia hemos aprendido que la mayoría de los errores cometidos por los estudiantes de Circuitos Eléctricos I se encuentran en los signos de las ecuaciones formadas por las leyes de Kirchhoff, por esta razón recomiendo utilizar la primera definición. Para aplicar exitosamente KCL, primero debemos etiquetar todas las corrientes de rama de interés e indicar sus direcciones de referencia por medio de flechas. Vamos a tomar el siguiente ejemplo, Veamos el circuito de la Figura 2.3.1: X2

A

Aplicando LKC al nodo: A: B: C: D:

X4

B

I4

I2 X1

I1 = I2 I2 = I 3 + I 4 I4 = I 5 + I 6 I3 + I5 + I6 = I1

I1

C

X3

I3

X5

I5

X6

D

Figura 2.3.1

Si una corriente es desconocida, su magnitud y dirección debe ser encontrada. Hasta ahora, nosotros asumimos arbitrariamente una dirección de referencia para la corriente desconocida y aplicamos LKC para encontrar su valor. Si este resultado produce un valor positivo, nuestra escogencia de la dirección de referencia fue verdaderamente correcta; por el contrario si el valor resultó ser negativo, la corriente realmente fluye en sentido opuesto a la dirección asumida. Para hacer que un valor de corriente negativo se vuelva positivo, simplemente se invierte la flecha en el diagrama del circuito. Ejemplo: Consideremos el circuito anterior en las siguientes condiciones: a) Si I2 = 5A e I3 = 2A entonces I4 = ¿Cuánto vale? b) Si I2 = 6A e I3 = 7A entonces I4 = ¿Cuánto vale? Solución: a) Aplicando LKC al nodo B obtenemos: I2 = I3 + I4 despejando I4 obtenemos: I4 = I2 - I3 y sustituyendo valores I4 = 5 – 2 = 3A Este resultado indica que la dirección de la corriente, es la correcta. b) Como es el mismo caso anterior, procedemos de igual manera y entonces I4 = 6 – 7 = 1A

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I6

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Este resultado indica que la dirección de la corriente, no es la correcta y que su dirección es contraria. Aquí podemos proceder de dos maneras, si el resultado va ha ser utilizado más adelante: 1) podemos dejar la dirección q...