Circuitos II Deyvid PDF

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CAPITULO I1 INTRODUCCION En la asignatura de análisis de circuitos eléctricos II se estudiara la aplicación de los diferentes métodos de solución de circuitos estudiados en corriente continua a corriente alterna1 ONDAS PERIÓDICASOndas sinusoidales (alternadores)En el estudio de corriente alterna las...

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CAPITULO I

1.1 INTRODUCCION En la asignatura de análisis de circuitos eléctricos II se estudiara la aplicación de los diferentes métodos de solución de circuitos estudiados en corriente continua a corriente alterna

1.2 ONDAS PERIÓDICAS

Ondas sinusoidales (alternadores)

En el estudio de corriente alterna las ondas sinusoidales es importantísimo; por tanto las centrales hidráulicas, térmicas, eólicas, etc. generan ondas sinusoidales, también señales que emiten las estaciones de radio, televisión son sinusoidales pero con las diferencia de que la frecuencia de generación eléctrica es definido constante mientras que la frecuencia de las estaciones de radio es variable. a) Característica De Ondas Senoidales 1. Valor rotativo [v(t)]: Es el valor de la tensión o corriente en cualquier instante de tiempo. 2. Valor máximo: O amplitud o base (Vm) 3. Ciclo: Valor completo de una onda periódica. 4. Frecuencia: Unidad ciclos/seg. Hertz es el número de ciclos en un segundo f=60Hz 5. Periodo: (T) tiempo T=1/f seg (ciclos) T=1/f T= 16.67 seg Es el tiempo empleado por dar una vuelta o un ciclo. 6. Frecuencia angular:

1.3 INSTRUMENTACION EN A.C. 1.3.1 INSTRUMENTOS DE BOBINA MOVIL Estos instrumentos se utilizan en corriente alterna ya sea como amperímetro y voltímetro, sirven para medir el valor medio o el valor promedio de una onda sinusoidal de tensión o corriente.

1.3.2 INSTRUMENTO DE HIERRO MOVIL LOS instrumentos de hierro móvil también se utilizan en corriente alterna, miden los valores eficaces de tensión de corriente sinusoidales. Matemáticamente: T

2 1 I = ∫ [ i (t ) ] dt T 0 2

T

V 2=

2 1 v ( t) ] dt [ ∫ T 0

En Continua: Potencia = RI2 Energía = RI 2T………….. (1)

En Alterna: Energía =dE = Pdt 2 E ¿∫ Ri dt … … …… … …..(2)

(1) = (2)

2 2 RI T =∫ Ri ( t ) dt

RI 2 T =R ∫ i2 ( t ) dt I = 2

1 Ri2 ( t ) dt ∫ T

1.3.3 INSTRUMENTOS ELECTRODINAMICOS Estos instrumentos tienen dos bobinas, también se le utiliza en corriente alterna, tiene dos bobinas, una móvil y otra fija generalmente. En este tipo de instrumentos están los vatímetros, Vasquimetros, vasimetros. VATIMETRO: Mide la potencia activa en vatios, Mw, Kw

1.4 CIRCUITO EN A.C Y DOMINIO DEL TIEMPO a) RESISTENCIA: fenómeno Siendo

V ( t )=V m sin wt i ( t )=V

m −¿R

sin wt

i ( t )=I m sin wt En A.C sinusoidal tanto de corriente y la tensión están en fase

b) INDUCTANCIA

V (t)=L

di(t) dt

i (t )=

1 V (t )dt L∫ Almacena energía en forma

de campo magnético

i ( t )= I m sin wt

Si:

V (t)=

wL I m cos wt Vm v ( t ) =V m cos wt

En la inductancia ideal la tensión esta adelantada con respecto a la corriente en 90° que es lo mismo decir la corriente está retrasada con respecto a la tensión en 90° c) CAPACITOR Almacena energía {en forma de electrostática} V c =v ( t ) q,v ,c

Pero: q= Si:

di dt

,

i=c

V ( t )=V m sin wt

Entonces: i ( t )= wcvm (cos wt )

dv dt

,

v=

1 idt c∫

π i ( t )= wcvm sin (wt + ) 2 π i ( t )= I m sin (wt+ ) 2

En un condensador ideal la tensión está retrasada en 90° con respecto a la corriente que es lo mismo decir que la corriente esta adelantada en 90° a la tensión. 1.4.1 CIRCUITO RLC EN SERIE EN EL DOMINIO DEL TIEMPO Por la 2da l.k: V ( t )=V R + V L + V C V R =Ri( t ) … … … … … …(1) V L =Ld

i(t) dt V C=

1 i ( t )dt …… … …… …(2) C∫

i ( t )=I m sin wt … …… … ……(3)

Conocido:

(3) en (1) V (t)=RI m sin wt+[wLcoswt +

1 (−cos wt)] I m wc

Ordenando:

V (t)=RI m sin wt +wL I m coswt −

Im wc

(−cos wt ) … … … …(I )

V ( t ) = A sin( wt+∅ ) … … …(II ) Desarrollando:

V ( t )= A sin wt cos ∅+A cos wt sin ∅ … … …(III )

Comparamos I y III: sin wt A cos ∅=R I m sin wt A cos ∅=R I m … …..(∝) A cos ∅=(wL− wL− ∅=¿ tan ¿

1 )I wc m

1 wc

R

Determinamos A de la ecuación ( ∝ ) A ¿

A

R Im cos ∅

¿

√

R Im R 2

R2 +(wL−

1 ) wc

√

¿ R 2+(wL−

V (t)= A sin (wt +∅ )

Reemplazando: wL−

1 wc

R (¿) V wt+ tan−1 ¿ voltios ¿ 1 2 R2 +( wL− ) wc I m sin ¿ (t)= Z

√

En D.C = V= RI En A.C = V(t) = Zi Particularmente:

1 2 ) I wc m

. 1ro si :c=0 V ( t )= √ R2 +(wL)2 I m sin (wt + tan−1 (

wL )) R

 CIRCUITO RL:

. 2do si : L=0 2 V (t ) =√ R I m sin (wt)

 CIRCUITO RC: . 3 Ro si: R=0

√

2 V (t ) = (wL− 1 ) I sin (wt+ tan−1 (wL− 1 ))

WC

WC

m

EJEMPLO: Para una frecuencia f = 60Hz se conecta a un circuito RLC cuyos valores son los siguientes: R=10 Ω , L=50 mH ,C=150 mF El valor máximo de las corrientes es 50A determinar la tensión total v ( t ) .

Solución: ω=2 π ( 60) =376.992rad /seg

ωL=377 ×50 ×10−3 =18.85=19 radH /seg 1 1 = =17.68= 18 ωc 377 × 150 × 10−6 Luego: i ( t )=50 sen ( ωt )=50 sen 377 t v ( t ) =RI m +ωlsenωt 1 2 −1 ωL− ¿ I m sen ωt+tan ωc 2 V (t ) =R +¿

ωL− R

1 ωc

1.17 ¿ ¿ 2 10 +¿ V ( t )= √ ¿ 2

v ( t ) =(10.068 )(50)sen (377 t+6.67 ) v ( t ) =503.4 sen(377 t +6.67)

1.4.2 RLC EN PARALELO

v ( t ) =V m senωt

Si:

iT =i R +i L + iC iR =

v (t ) V m senωt V m senωt = = R R R

1 −1 iL = ∨v (t ) dt= cosωt V m L ωL iC =c

dv =ωccosωt V m dt

Sumando: iT =

(

)

1 Vm senωt + ωc− cosωt V m … … ( I ) R ωL i r= Asen ( ωt +∅ )……(II )

Desarrollando (II) igualamos (I): iT = Asenωtcos ∅+ Asen ∅ cosωt

iT = Asenωtcos ∅+ Acosωtsen ∅

Acos ∅=V m / R ωc− tan ∅=

(

Asen ∅= ωc−

1 ωL

)

1 ωL

1 R

Determinamos A y Ø de desfasaje tenemos: 1 2 1 2 Vm ωc− A= + R ωL

( )(

∅=tan−1

)

1 ωL 1/ R

ωc−

Finalmente:

√(( ) ( 2

iT =

1 1 + ωc− R ωL

) )V 2

−1

m

sen ωt + tan

1 ωT 1/ R

ωc−

Y V =ZI

Y: conductancia (es inversa de la resistencia) 1 I= V Z I =Y

1.5 IMPENDANCIA COMPLEJA V ( t )=V m cosωt + j V m senωt

V ( t )=Ri ( t )+ Ld

i (t ) 1 + ∨i ( t ) dt dt C

V m e jωt =Ri (t ) +L

di(t) 1 + ∨i ( t ) dt …… … .(1) dt C

ECUACION DIFERENCIAL

i ( t )= Ae jωt … … ..(2)

(2) en (1):

V m e jωt =RA e jωt + jAωL e jωt +

A=

A jωt e jωc

V m e jωt

( R+ jωL+ jωc1 ) e

jωt

Luego:

i ( t )=

Vm

jωt

1 R+ jωL+ jωc

e … … …(B)

En corriente alterna impedancia Z:

Z=

v( t ) A = tension corriente }dependiendo del tiempo i (t ) B V m e jωt jωt Vme

Z=

R+ jωL+ Z =R + jωL−

=R+ jωL+

1 jωc

1 jωc

(

1 j −j ωc ωc

Z =R + jωL− j

)

1 ωc

Tiene dos componentes, donde:

j : operador

Z∄

j= √ −1

j jωL = j X L = jX Reactancia inductiva R

-R

Z∄ porqueno hay

−j

1 =X C=− jX ωc

Reactancia capacitiva

j =−1 2

j =− √ −1 3

1 =− j j

-j Vm

→ A=

R + jωL+

1 jωc

Unidades:

Z en Ohmios 1 =y Z

(Admitancia) mhos

1.6 FASORES Si:

ω( t )=V m senωt

ω( t )=311 senωt V ef =V m /√ 2 V ef =

311 =220 V √2

REPRESENTACION FASORIAL DE ONDAS SENOIDALES En mecánica las magnitudes de fuerza, velocidad, aceleración, se ha representado mediante los vectores. VECTOR Es un segmento de vector tiene dirección que representa una magnitud.

FASOR

Ecuación: Dominio del tiempo fasoriales

Ecuación:

V 1=V m 1 sen(ωt +30 ° ) → V´ 1=V m 1∨30 ° V 2=V m 2 sen( ωt +60 ° ) → V´ 2 =V m 2∨60 ° V 3=V m 3 sen( ωt + 90 °) → V´ 3=V m 3∨90°  Para sumar, y hacer a otras operaciones de voltaje y corrientes sinusoidales que tengan las misma frecuencia (wt), pueden tener diferentes valores picos y diferentes desfasajes se utilizan los fasores. FASOR: Al igual que un vector en mecánica es un segmento de recta dirigido que gira alrededor de un eje de sentido contrario a las agujas del reloj con una velocidad w= (rad/seg) que nos representa magnitudes de tensión y corriente (potencia).

1.7 ALGEBRA FASORIAL

1.8 PROBLEMAS DE APLICACIÓN

3  4 j 5 53.10

Resolver:

 3 tan  1   53.13  4

5e j 30 *4 25 4 2 3*25   7  8 j 

4 2  3 2  25 5

v (t ) V sent

m 1) a) Valor medio

1 Vmed  T Vmed 

T

∫ v(t )dt

Vm 2

0

2

sen tdt  0

 El valor medio solo es de media onda

V med  0.363V max b) Valor eficaz

v (t ) Vmsent 1 Vef  T

T

0

 v(t ) 

2

dt

Vm  cos 0  cos 2  2

Vef 2 

1 2

2

Vm2 sen 2td (t ) 0 2

Vef

2

Vef

2

V 2  1 cos 2t   m  d t 2 0  2  

Vm 2 2

2

 1

cos 2t  d t

0

2

Vef

2

V 2 2 d t  cos 2td  0  m  4 0

V 2 Vef 2  m t 4 V 2 Vef 2  m 2

2 0

V 2  m  2  4

*Si:

¿ m ¿ 311 Voltios Vef 

2)

f (t ) 

0 t   t 2

V med V ef

a) b) a)

2 V   Vmed  m ∫ sentd t  ∫ 0  2 0 2V V V  Vmed  m   cos  t 0  0  m   1  1   m 2 2 2 Vm 0.318Vm 

311 V  220V  Vef  m 2 2



  1  cos 2 t  1 1 2 Vm 2 sen 2td t  0 d t   Vm 2 0  Vef 2   d t 2 0 2 2  

V 2 V 2 V  Vef 2  m  t  sen 2t  0  m    0  m 4 4 2 2 Vef 0.5Vm



f (t )  

V  V

2

2A 2A V A t     

2 At 2  2 A  A   Pero : A   

2 At  A 

2  Vmed   Vmed

t   f (t )  m 

 2

0

2  2 At   A  dt      

2  2 At 2     2 

 2  2

 At 0 0

 2

0

2 At dt  

 2 0

Adt

 2  2A   2  2      A   2  0       2   

2  2A   2    2   A  A 2   A  A  Vmed         A   2 2   8 2    4 2     8  2  A  2 2A A  Vmed   A     4 4 2  b) Integrar de 0 a π como en el caso de una sinusoide.

Vef

2

Vef

2

Vef

2

1  

 2  2 At      A  dt      0  

2

1  2 At   At  (  A)  A 2 dt   2 2   2   0     

Vef

  1  4 A2 t 2  4 A2t dt    A2dt  2  0  0    0    1 1  A2 t3 4 A2 t2 2    2  A t 0     0  0    2 3  1 A   2  2 A 2  A 2    

2

Vef 2

Vef 2 

1  





 4 A2t  A t  dt  dt  A 2dt 0  0 2 2

0

 A2 4 A2  2 3 2   ( ) A   2 2  

A  A 2 A   2 A 1      3 3 

3) Semi circunferencias

Re solver : y med

1  2r

2r

r  ( x  r ) dx  r...;... y ef 2

0

2

1  2r

2r 2 2  r  ( x  r )  dx  r 0

4) Si es 90° es puramente inductivo o capacitancia pura.

ymed ¿? yef ¿?  ( x  y ) 2  y 2 r 2   y 2 r 2  (x  r ) 2

v (t ) 40sen  t  30  i (t )  4sen  t  20  v(t ) adelanto i( t ) R  L  50 ; ; a ; ; Como C es cero  queda :

i)

Vm  R 2   L2 ...................(1) Im

ii)

 L    tan 1   ....................(2)  R 

En(1) :

L   L tan 50  R R  L 1.2 R.....................(3)

 tan 50  

40  R 2  ( L ) 2  10  R 2  (1.2R ) 2 4 R 6.25   L 7.5 CAPITULO II

POTENCIA MONOFÁSICA EN CORRIENTE CONTINUA – ALTERNA 2.1 INTRODUCCIÓN: (40 Watts, vatios, kVA, HP) La potencia instantánea en un circuito eléctrico de corriente alterna en régimen permanente es igual al producto de la tensión por la corriente suministrada.

POTENCIA INSTANTÁNEA

P( t) V ( t)  I ( t )

2.2 POTENCIA EN R.L.C a) ELEMENTO RESISTIVO

Si:

v (t ) Vm sent

V i (t )  m sent  i (t ) I m sent R

Fasorialmente:

i)

I

V

POTENCIA INSTANTÁNEA: (en un alto resistivo es positivo)

P (t ) V (t )*I (t )

Si :

P (t ) VmI msen 2 t

2  2. 2

V I P (t )  m m  1 cos 2t  2

P( t) Vef Ief (1  cos 2 t )

ii)

POTENCIA MEDIA

T

Pm 

1 P (t )dt T0

Pm 

1 V I  1  cos 2t  d t T 0 ef ef

T

iii)

ENERGÍA

( T tiempo); Energia  Potencia Tiempo E R P (t )dt

T 0

 E R V ef I efT

b) POTENCIA Y ENERGÍA EN L (BOBINA PURA).

Si:

i (t ) I msen t  v( t)  L i)

di (t )  v( t)  L cos t  v(t) Vm cos t (2) dt POTENCIA INSTANTÁNEA

P (t ) V (t ).I (t ) P (t ) VmI msent cos t 2 P (t )  Vm I m sent cost 2 P (t ) Vef I ef sen 2t

ii)

POTENCIA MEDIA

Pm 0 La potencia media en una bobina es igual a cero, ello refleja que una bobina no consume ni disipa energía sino almacena en forma de campo magnético luego devuelve. iii)

ENERGÍA

V I T4  E L  ef ef   cos 2t  0 2 V I   T  E L  ef ef   cos 2    cos 2 (0)  2   4  E L Vm I m sen 2tdt 0

T 4

V I E L  ef ef 2

  

     2    V I t     cos  cos 0   ef ef  cos  1 2 2 2        

t 2 2 T  V I  1 E L  m m (2)   LI m 2 LI ef 2  2  2  Se sabe que: c) POTENCIA ENERGÍA EN CONDENSADOR

V Vm sent ..........................(1) dv i (t ) C dt i (t ) I m cos t ......................(2) i)

POTENCIA INSTANTÁNEA

P (t ) Vef I ef sen 2t

V m XI m V m  LI m EL  f  L , I m 

Se exresa en función de tensión por que almacena ε en E . ii)

POTENCIA MEDIA

Pm 0 iii)

ENERGÍA

E c Vef I ef sen 2tdt Ec 

Vef Ief 2

T 4 0

  cos 2t  0

T 4

2.3 POTENCIA EN UN CIRCUITO RLC.

Casos:

Sabemos que: t 2  T 2 

1 Ec  CVm 2 CVef 2 2 V V m XI m  I m  m X Vm Im   Im cVm 1 c

a)

X L  XC 

el circuito es Resistivo.

X L  X C  el circuito es Inductivo (R – L). X L  X C  el circuito es R – C. c) X L  X C  circuito R – L. b)

 Casos:

Fasorialmente para:

V (t ) Vm  sent    V (t ) Vm sent 1)

i( t)  Im sen   t   

i( t)  Im sen t 2)

V (t ) Vm sen t   

En 2) tenemos:

P (t ) Vm I msent sin(t   ) P (t ) Vm I msent (sen t cos   cos t sin  ) P (t ) Vm I m (sen 2 t cos   sen t cos t sin t ) P (t ) Vm I m

1 cos 2t cos  sen 2t sen   2 2

P (t ) Vef I ef (1  cos 2t ) cos  V ef I ef sen 2tsen 

P (t ) Vef I ef (1  cos 2 t ) cos   Vef I ef sen 2tsen                  Potencia Activa

Potencia Reactiva

POTENCIA ACTIVA = Potencia activa instantánea promedio.

P

T 0

potencia activa instantánea.

P Vef I ef cos 

En Vatios, Kilovatios, Megavatios.

POTENCIA REACTIVA = Valor promedio de la potencia reactiva instantánea.

Q

potencia reactiva.

Q Vef I ef sen

En Volt Ampere Reactivo (VAR); kilo Var, kilo Amper (kVAR); Mvar Ampere

Reactivo (MVAR).  Caso

X L  X C  R – L.

 i (t )  Im sen t

Conclusion:

v (t ) Vmsen  t    P (t ) VIsent  sent cos  cost sin  P (t ) VI

1  cos 2 t  2

cos  

sen2 t sen  2

 

 XL  XC -Q si X es negativo +Q si X es positivo

 R  C  Q Fasorialmente R – L triangulo de potencia:

POTENCIA APARENTE Es la potencia total y en triangulo de potencias es la hipotenusa, la representamos con la letra (S). las unidades; VA  Volt Ampere, kVA  kilo Volt Ampere, MVA  mega volt Ampere. FACTOR DE POTENCIA:

 cos 

El factor de potencia es el coseno del angulo que forman la potencia activa, con la potencia aparente (VQS) o también el coseno que forman la tensión con la corriente o también el coseno que forma la resistencia con la impedancia perpendicularmente. Angulo de desfasaje 0 – 90°, cos0° = 1, cos90° = 0.

f de P  0  1 , P VI cos  VI cos 0  VI

P I  V cos  Si:

P  500W V  220V cos 1 1  cos 2 0.5 5000  28.71A 220 1 5000 I2   45A 220 0.5 I1 

Vef I  ef Z  P  RI 2 Pero: Vef Vef V . Z cos  I ef ef Vef I ef cos  Z Z Z 2 Q  XI P R

 S ZIef 2 I ef 

V ef Z



S Z

Vef Vef Vef . ZIef  S Vef Ief Z Z Z

Vef Vef Vef .  Ief   Q  X Z Z Z Vef Q Zsen Ief Z Q Vef I ef sen

POTENCIA COMPLEJA

S V I

I I 

S ZI 2

I * I  

S Z .I I 2

I  I * I 2

S V .I

a) Formas de representar un fasor  Rectangular : OM = a + jb  Trigonométrica: OM = rcos ∅+ jr sin ∅  Exponencial: OM = ℜ j ∅ 

Polar: OM =

∅ r¿

b) Propiedades  si: r 1 =a+ jb , r 1=r 2 → si: a= c ib =d . r 2 =c+ jd...