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ejercicios diversos...

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cojinetes de rodamientos

1) Un cojinete de bolas autoalineante tiene una capacidad de carga dinámica, C = 38000 N. Si la carga dinámica equivalente es de P = 50000 N.,determinar la vida nominal del cojinete expresada en millones de revoluciones y en horas así como la vida media probable, siendo la velocidad de rotación de 1800 rpm. * La duración nominal en millones de revoluciones (L10 ):

Siendo: C = 38000 N. P = 50000 N. a = Exponente de la fórmula de duración. Su valor es, de acuerdo con el catálogo SKF:= 3 (Para rodamientos de bolas): = 10/3 (Para rodamientos de rodillos). Suponiendo rodamientos de bolas:

* La duración nominal en horas (L10h ):

* La vida media probable,(de acuerdo con el catálogo SKF),se estima que vale 5 veces la vida nominal, es decir: 5.0´439 = 2´195 Millones de revoluciones. O 5.4´065 = 20´33 horas.

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2) Un cojinete tiene una capacidad de carga dinámica de 13000 N. ¿Qué carga dinámica equivalente P puede soportar el cojinete a una velocidad de rotación de 400 rpm. sí se desea que tenga una vida nominal de 5000 horas en esas condiciones?. * La vida nominal en millones de revoluciones (L10h ) será:

3) Determinar la capacidad de carga dinámica C necesaria para obtener una duración de 10000 horas de vida nominal, con una velocidad de 650 rpm.y una carga dinámica equivalente de 1000 N.

* La vida nominal en millones de revoluciones (L10h ) será:

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4) Seleccionar los cojinetes para el eje vertical de la figura. El eje está accionado por una correa trapecial. Se ha determinado que la fuerza resultante que actúa sobre la polea es de 3200 N. Basar la selección en una distribución uniforme de la carga y una duración de 20000 horas de vida nominal. El diámetro del eje ha de ser como mínimo de 30 mm. y su velocidad de giro de 300 rpm. El peso aproximado del eje y polea se estima en 1000 N.

a) COJINETE INFERIOR (A): Fuerza radial (Fr ): Aunque la carga es uniforme, SKF recomiendo emplear un coeficiente de mayoración con el fin de considerar los efectos dinámicos debidos a la vibración de la correa. Para el caso de una correa trapezoidal, el factor dinámico de mayoración df , se estima entre 2 y 2´5.Como la carga es uniforme tomamos fd = 2. La carga radial que actúa sobre el cojinete A, una vez mayorada es:

Fuerza axial (Fa ):La carga axial absorbida por el cojinete es de 1000 N. Como ésta carga está producida por el peso de la polea y eje y éste es siempre constante, no le aplicaremos factor dinámico alguno, luego la carga axial es: Fa = 1000 N. La carga dinámica equivalente vale: 155

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Donde: Fr = 2133´333 N. Fa = 1000 N. X, Y = Estos coeficientes pueden variar para cada cojinete y serán estudiados a continuación. Para la elección del cojinete, también es importante conocer la duración deseada en ciclos o revoluciones, esta será:

Como no conocemos el cojinete a emplear, utilizaremos el Método de Ensayo y Error para su selección, para ello tendremos en cuenta que para cada cojinete que estudiemos necesitaremos conocer: - los coeficientes X e Y, - que el diámetro del eje ha de ser de 30 mm. como mínimo, y - que la vida nominal ha de ser de 360 millones de revoluciones. Tipo

6304

6404

6305

6405

di(mm)

20

20

25

25

da min

26,5

26,5

31,5

33

Co (N)

7800

16600

11400

19600

Fa/Co

0,128

0,06

0,088

0,051

e

0,309

0,26

0,282

0,251

Fa/Fr

0,469

0,469

0,469

0,469

X

0,56

0,56

0,56

0,56

Y

1,4

1,6

1,54

1,73

P=XFr+YFa

2594,66

2794,66

2734,66

2914,66

C

15900

30700

22500

35800

L10=(C/P)3

230

1325

556

1834,09

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Comentarios a la elección: En vista de los resultados obtenidos, los cojinetes 6404,6305 y 6405 cumplen la condición requerida al ser su vida nominal superior a 360 millones de revoluciones. Las dos opciones más convenientes son la del cojinete 6404 y 6305. El cojinete 6305 posiblemente será el más económico al ser su capacidad de carga dinámica menor, sin embargo el diámetro mínimo requerido para el eje da min = 31´5 mm.es superior a 30 mm.;mientras que si escogemos el cojinete 6404,el mínimo diámetro requerido en eje es de 26´5 mm.,lo cual nos permitirá emplear un eje menor de 30 mm. de diámetro. La selección adecuada la efectuaremos después de un minucioso estudio económico. Elección: Supongamos que el cojinete elegido es el 6305. Tendremos que comprobar la capacidad de carga estática. La carga estática equivalente vale el mayor valor de:

Tomamos: Po = 2133´33 N. Se tiene que cumplir:

Donde: Po = 2133´33 N. So = Factor de seguridad estático: = 1 (Para condiciones de trabajo medias). Co = Capacidad de carga estática; cuyo valor es:

b) COJINETE SUPERIOR (B): Fuerza radial (Fr ):

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El valor de la carga radial, teniendo en cuenta el factor dinámico de mayoracióndf = 2 es:

Fuerza axial (Fa ): Fa = 0 N. La carga dinámica equivalente vale:

Al ser Fa = 0: de acuerdo con el catálogo SKF: Fa /Fr = 0 < e, luego: X = 1, Y = 0.

Podemos determinar directamente la capacidad dinámica específica:

Elección: Podemos irnos a la serie de d i = 20 mm. y escoger el cojinete 6404 cuyas características son: * C = Capacidad de carga dinámica: = 30700 N. * da min = Diámetro mínimo requerido para el eje: = 26´5 mm. Tendremos que comprobar la capacidad de carga estática. La carga estática equivalente vale el mayor valor de:

Tomamos: Po = 4266´667 N. Se tiene que cumplir: 158

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Donde: Po = 4266´667 N. So = Factor de seguridad estático: = 1 (Para condiciones de trabajo medias). Co = Capacidad de carga estática; cuyo valor es:

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5) Un eje que gira a una velocidad de 600 rpm. ha de soportar una carga uniforme de 4 N/mm. en un espacio de 400 mm. entre los lados internos del alojamiento. Los cojinetes han de ir montados lo más próximos posible a los puntos A y B de la figura. El eje hueco tiene un diámetro exterior de 60 mm. y un diámetro interior de 50 mm. Se ha de montar el eje lo más rígidamente posible; se sugiere, por tanto, que los cojinetes se elijan y se monten de manera que se asegure el efecto en los extremos. Los cojinetes deben escogerse para un trabajo continuado durante 3 años. Seleccionar los cojinetes apropiados y hacer un croquis que muestre el montaje propuesto del eje. Debe recordarse que una viga empotrada tiene un momento alto en los extremos y, por tanto, hay que evitar cuidadosamente los efectos de concentración de tensiones.

La vida de los cojinetes:

Las reacciones en los extremos son idénticas en ambos:

Para poder absorber el momento necesitaremos colocar dos cojinetes de bolas. La disposiciòn puede ser la mostrada en la página siguiente. La carga V1 está producida por el esfuerzo cortante, su valor se distribuye por igual entre los cojinetes:

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La carga V2 está producida por el momento flector en el empotramiento, su valor es:

Si hago, por ejemplo, l = 40 mm:

El cojinete más cargado es el de la izquierda. La carga total a la que está sometido es:

No tenemos ninguna información sobre el factor dinámico. Suponiendo un df = 1´5,la carga radial sobre el cojinete de la izquierda:

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La carga dinámica equivalente, suponiendo cojinetes rígidos de bolas:

La capacidad de carga dinámica:

Conclusión: Como lo lógico es que ambos cojinetes sean idénticos por razones de espacio, adoptamos cojinete de la serie d = 60 mm.: 6012 de capacidad de carga dinámica C = 29600 N.

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6) Una polea B de 600 mm. de diámetro pesa 445 N, recibe 29´56 HP. a 360 rpm.,desde un eje localizado abajo de la polea y a 45º.Un engranaje C de 460 mm. de paso pesa 222´5 N. y entrega el 40% de la potencia horizontalmente y hacia la derecha. Por último un engranaje E de 300 mm. de diámetro de paso que pesa 111´25 N. entrega el resto de la potencia a otro engranaje situado hacia abajo a la izquierda y a un ángulo de 30º con la horizontal. Ambos engranajes tienen un ángulo de presión de 20º. El eje está fabricado con acero aleado AISI 1137 laminado en caliente. Se pide, seleccionar los cojinetes en A y D, para las dimensiones del eje mostrada en la figura inferior, suponiendo una vida de 15000 horas. Suponer un diámetro D = 100 mm .

Resolución: I) Determinar reacciones en cojinetes A y D: 1.1.- Determinar fuerzas en poleas y engranajes (Ya calculadas en el problema resuelto en el tema de EJES DE TRANSMISION). 1.2.- Considerar los efectos dinámicos adicionales en cada carga. 1.3.- Plantear ecuaciones equilibrio estático en cada plano: Determinar reacciones en los cojinetes. II) Seleccionar cojinete: De acuerdo a catálogo SKF. I) 163

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REACCIONES EN COJINETES A y D: El primer paso será determinar las reacciones en cojinetes A y D, para ello necesitaremos conocer las fuerzas en poleas y engranajes y a continuación plantear las ecuaciones de equilibrio estático encontrando de ésta manera las reacciones pedidas. 1.1.- Determinar fuerzas en poleas y engranajes: Las fuerzas sobre la polea B y sobre los engranajes C y E ya han sido calculadas en un problema anterior del capítulo de ejes, así que podemos poner: * Fuerza total en la polea B: De acuerdo con los ejes representados en la figura: FB = 2757´217.i - 2757´217.k (N). * Para el engranaje C: FC = 1017´209.i - 370´234.k

(N).

* Para el engranaje E: FE = - 1600´362.i + 1907´237.k (N). 1.2.- Considerar los efectos dinámicos adicionales en cada carga: A continuación, antes de calcular las reacciones en los cojinetes A y D, necesitamos tener en cuenta los efectos dinámicos adicionales en cada carga, para ello tendremos que aplicar los coeficientes al efecto: * El efecto dinámico total producido en la transmisión por engranaje, es debida a dos efectos dinámicos: - La vibración que se introduce por las inexactitudes en los dientes del engranaje, para tener en cuenta esto se aplica un coeficiente de mayoración fK . El coeficiente fK , depende de la precisión con que se ha tallado el engranaje, SKF recomienda un valor comprendido entre 1 y 1´3. - Los efectos dinámicos que se introducen por el tipo del mecanismo accionado, que se consideran en el coeficiente fd. El coeficiente fd, de acuerdo con SKF, suele valer entre 1 y 3. Para nuestros cálculos adoptaremos arbitrariamente: fK = 1´3 y fd = 1´5 y el coeficiente total de mayoración es: fE = fK .fd = 1´3.1´5 = 1´95. * El efecto dinámico producido por la vibración en la correa,en el caso de correas planas, vale, de acuerdo con SKF entre 3 y 4,nosotros adoptaremos un valor Cf = 3´5. De acuerdo con esto las acciones totales serán: * Para la polea: 164

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FB = FB .fC = 3´5.(2757´217.i - 2757´217.k) = = 9650´260.i - 9650´260.k (N). * Para el engranaje C: FC* = FC .fE = 1´95.(1017´209.i - 370´234.k) = = 1983´558.i - 721´234.k (N). * Para el engranaje E: FE * = FE .fE = 1´95.(-1600´362.i + 1907´237.k) = = -3120´706.i + 3719´112.k (N). Aparte de los esfuerzos en poleas y engranajes, habrá que tener en cuenta el peso de éstos elementos. 1.3.- Plantear ecuaciones equilibrio estático en cada plano: Para calcular las reacciones procedemos a descomponer las acciones en sus componentes sobre los planos Z = 0 y X = 0.

PLANO X = 0: Planteando las ecuaciones de equilibrio obtenemos: AZ = 8204´582 N. DZ = - 773´344 N.

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PLANO Z = 0: Planteando las ecuaciones de equilibrio obtenemos: AX = - 8031´248 N. DZ = - 481´864 N. Conclusión: Las reacciones totales en los cojinetes: * Para A:

* Para D:

II) SELECCIONAR COJINETE: Pasemos a continuación a seleccionar los cojinetes según el catálogo SKF. * Cojinete A: Para el cojinete A: - La carga axial vale: Fa = 0. - La carga radial vale: Fr = 11481´12 N. - La carga dinámica equivalente es:

Donde: X = 1, Y = 0, al ser Fa/Fr = 0 Quedando: P = Fr . - La vida nominal en millones de revoluciones:

- La capacidad de carga dinámica: 166

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Conclusión: Podemos elegir un rodamiento rígido de bolas SKF 6217 de la serie d = 85 mm.: * De capacidad dinámica: C = 83200 N. * da min = 94 mm. * Cumple las condiciones requeridas. * Se puede verificar además que resiste sobradamente la carga estática. COJINETE D: - La carga axial: Fa = 0. - La carga radial: Fr = 911´18 N. - La carga dinámica equivalente:

- La capacidad de carga dinámica:

Conclusión: Elegimos un cojinete SKF,serie d = 85 mm., tipo 61817 que cumple sobradamente nuestras exigencias.

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7) El conjunto base del engranaje para un reductor de velocidad representado en la figura está proyectado para que gire la copa mientras el cono permanece estacionario. El cojinete B soporta una carga axial de 1140 N. y además una carga radial de 4000 N. El cojinete A soporta una carga radial pura de 2800 N. La velocidad de giro es de 1000 rpm. para una vida de 25000 h. Los diámetros del eje adoptados, son de 35 mm. en B y de 32 mm. en A.

Nos vamos al catálogo SKF en la Sección de Cojinetes de Rodillos Cónicos. El cojinete A sólo soportará carga radial;al empuje que actúa sobre B se le sumará el empuje inducido debido a A. Estamos en un montaje en 0 en el que el diagrama de cargas es:

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Ka = 1140 N. FrB = 4000 N. FrA = 2800 N.

Efectuamos la siguiente elección de cojinetes: A: 320/32X , d = 32 mm. , YA = 1´3 , eA = 0´46 = 1´6 , e B = 0´37 Se cumple que:

Estamos en el caso 1b:

* Comprobemos el cojinete A: - La carga dinámica equivalente P:

Siendo:

De donde: X = 1, Y = 0. Sustituyendo y operando resulta:

- La carga estática equivalente Po : Será el mayor valor de:

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B: 30207 ,

d = 35 mm. , YB

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De acuerdo con el Catálogo SKF: Yo = 0´7; sustituyendo en las expresiones anteriores:

En consecuencia se toma: Po = FrA = 2800 N. < Co = 26000 N. - Por otro lado:

Siendo: C = 34700 N. (De acuerdo con Catálogo SKF). P = 2800 N. p = 10/3 (Rodillos). Sustituyendo:

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Conclusión: El cojinete A seleccionado es válido. * Comprobemos el cojinete B: (Efectuando un analisis similar): - La carga dinámica equivalente P:

Siendo:

De donde: X = 0´4, Y = 1´6. Sustituyendo y operando resulta:

- La carga estática equivalente Po : Será el mayor valor de:

De acuerdo con el Catálogo SKF: Yo = 0´9; sustituyendo en las expresiones anteriores:

En consecuencia se toma: Po = FrB = 4000 N. < Co = 32500 N. - Por otro lado: 171

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Siendo: C = 48400 N. (De acuerdo con Catálogo SKF). P = 5147´072 N. p = 10/3 (Rodillos). Sustituyendo:

Conclusión: El cojinete B seleccionado es válido.

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8) Sobre el eje biempotrado de la figura cuyas dimensiones se indican, están montados un engranaje recto G y una polea P. A la polea se le suministra potencia por medio de una correa plana y se toma la potencia del eje por medio del engranaje. Se ha establecido la siguiente información: - Caballos a transmitir:10 HP.(En condiciones de carga uniforme) - Diámetro de la polea: 250 mm. - Diámetro de paso del engranaje: 250 mm. - Ángulo de presión en el engranaje: ö = 20º. - Peso del engranaje G=135 N. - Peso de la polea P=135 N. - Velocidad de rotación del eje: n = 900 rpm. - Diámetro del eje: D=45 mm. Se pide, seleccionar los cojinetes de rodamientos para el apoyo empotrado A, suponiendo un coeficiente de efectos dinámicos de 1,5 en el engranaje y correa y una vida nominal de 5000 h.

I) ACCIONES SOBRE EL EJE: Estas serán debidas a: POLEA :

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Siendo: N = Potencia = 10 HP = 10.746 = 7460 W. DP = Diámetro de la polea = 250 mm.= 250.10-3 m. ù = Velocidad angular = 900 rpm. = (900.2.ð)/60 = 94´25 rad/s. Sustituyendo y operando: T1 = 1055´37 N. T2 = 422´15 N. La fuerza total será:T1 + T2 = 1477´5 N. T = Momento torsor sobre el eje = N/ù = 79´15 N.m. ENGRANAJE : El diagrama de sólido libre del engrane será:

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Siendo: T = Momento torsor en el eje = 79´15 Nm.

Sustituyendo en la ecuación anterior:

REACCIONES EN LOS COJINETES: Conocidas las acciones del engranaje y de la polea, nos resta determinar las reacciones en los cojinetes, en principio por convenio supondremos que todas las reacciones están orientadas en sentido positivo de los ejes. Como las acciones presentan componentes sobre los planos Z=0, h X=0, consideraremos de forma independiente las acciones en cada uno de éstos planos.

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Para el cálculo de las reacciones, puede ser útil partir de las fórmulas preestableciadas en los prontuarios para el caso de viga biempotrada sometida a una carga puntual, aplicando el principio de superposición para calcular el efecto total de varias cargas. A continuación, descompondremos las fuerzas, según sus proyecciones en los planos Z=0 y X=0. PLANO Z = 0: La carga total mayorada en engranajes y polea: Wt . fd = 633,2 . 1,5 = 949,8 N (T1 +T2 ) . fd = (1055,37+422,14) . 1,5 = 2216,265 N

Aplicando las fórmulas del prontuario, teniendo en cuenta además los sentidos asignados a las reacciones por convenio:

PLANO X = 0: La carga total mayorada en engranajes y polea: 176

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Wr . fd +G= 230,47 . 1,5+135 = 480,705 N P=135 N

Aplicando las fórmulas del prontuario, teniendo en cuenta además los sentidos asignados a las reacciones por convenio:

Como es un empotramiento, utilizamos una disposición con un par de cojinetes como se indica, siendo la separación entre cojinetes de l=40 mm. Considerando en primer lugar las fuerzas sobre el plano Z=0, teniendo en cuenta que la reacción RAX , se distribuye por igual entre los dos cojinetes, mediante V1x , y el momento MAZ equivale al par de fuerzas de módulo V2x , separadas una distancia, l=40 mm, tendremos para los cojinetes izquierdo y derecho en A:

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Considerando a continuación las fuerzas sobre el plano X=0, teniendo en cuenta además que el sentido positivo del momento MAx , presenta una orientación opuesta a la representada en la proyección anterior y por tanto la orientación de las fuerzas del par es diferente:

Las reacciones totales:

Luego el cojinete mas cargado es el derecho, con una carga radial de Fr =4217...