Compresion-O- Estiramiento-DE- Resortes PDF

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CALCULO DE TRABAJO CON UNA FUERZA VARIABLE. LA COMPRESION O ESTIRAMIENTO DE RESORTES. Referencia capítulo 7, sección 7.5 página 491

I. INTRODUCCION. Un resorte es un dispositivo que permite almacenar y liberar energía mecánica mediante compresión o estiramiento. Cuando se aplica una fuerza, el resorte sufre una deformación temporal, pero recupera su tamaño natural cuando cesa a la acción de la fuerza, debido a su propiedad elástica. II.

FUERZA NECESARIA PARA COMPRIMIR O ESTIRAR UN RESORTE.

Esta relación la estudio Robert Hook enunciando la siguiente ley: La fuerza necesaria para comprimir o estirar un resorte es directamente proporcional a la distancia que se comprime o estira, dentro de los límites de elasticidad, o sea mientras el resorte no resulte permanentemente deformado.

1

En símbolos matemáticos la Ley de Hooke se escribe así: Fα x

Para convertir en una ecuación, se introduce una constante de proporcionalidad k F=kx

k=

F x

k es la constante del resorte y su valor numérico depende: a) Del material del cual está construido el resorte. b) De las unidades en las que se exprese la fuerza y la distancia de compresión o estiramiento. c) Generalmente, su valor numérico se determina experimentalmente. Supongamos que la ecuación que describe la compresión de un resorte fuese: F ( x ) =400 x

La constante del resorte es

k=

400lb f pulg

x es la distancia de compresión en pulgadas F(x) es la fuerza expresada en libras fuerza. La grafica de esta función se muestra a continuación:

2

F= 400x 1400 1200

Axis Title

1000 800 600 400 200 0

0

1

2

3

compresion (pulgadas)

III.

TRABAJO EN LA COMPRESION O ESTIRAMIENTO DE REORTES. De acuerdo con lo discutido anteriormente, sabemos que la fuerza necesaria para comprimir o estirar un resorte, es una fuerza variable, entre más grande la distancia de compresión o estiramiento mayor es la fuerza necesaria. La expresión para calcular el trabajo realizado por una fuerza constante que produce un desplazamiento ∆ x es: ∆ w =F ∆ x

3

Sin embargo, cuando la fuerza aplicada no es constante, sino que varía a lo largo del desplazamiento ∆ x la expresión para calcular el trabajo se debe escribir en forma diferencial dw =F(x ) dx

Integrando ambos lados de la ecuación: x2

x2

∫ dw=∫ F (x)dx x1

x1

Recordando:

F(x )=kx

ley de Hooke

El trabajo necesario se calcula con la siguiente expresión: x2

W =∫ kxdx x1

K = constante del resorte x 1=¿ es el estiramiento o compresión inicial. x 2=¿ es el estiramiento o compresión final.

Ejemplo 1: Un resorte cuya longitud natural l0=24 pulgadas, necesita una fuerza de 800 libras para estirarlo 2 pulgadas. a) Calcule la constante del resorte y escriba la expresión de la ley de Hook para este resorte. 4

lb F 800 F=kx k= = =400 f pulg x 2

Por lo tanto:

F=400 x

b) Calcule el trabajo realizado al estirarlo 2 pulgadas desde su longitud natural.

2

W 1=∫ 400 xdx 0

2

∫ 400 x dx=400∫ xdx=400 x2 =200 x 2+C 2 ¿ 22 −0 ¿ W 1=F (2 )− F (0 )=200 ¿ W 1=800 lbf pulg

pie =66.67 lbf pie 12 pulg

5

c) Calcule el trabajo necesario para estirarlo 3 pulgadas más.

5

W 2=∫ 400 xdx 2

En el inciso anterior se encontró la primitiva: 2

∫ 400 x dx=400∫ xdx=400 x2 =200 x 2+C Ahora se debe evaluar esa primitiva para los limites de integración: W 2=F (5 )− F (2)

6

2 2 W 2=200 [5 − 2 ]=200 [25 −4 ]

W 2=4200 lbf pulg

El trabajo total para estirarlo un total de 5 pulgadas desde su W =W 1+ W 2 longitud natural es W =800+4200=5000lb f pulg

El cálculo anterior se puede comprobar planteando así; 5

W =∫ 400 xdx 0

∫ 400 x dx =200 x 2+C 2 W =F (5 )−F ( 0)=200 ( 5 −0 )= 5000lbf pulg

7...