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UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO BÁSICOPRÁCTICA DE LABORATORIO“RESORTES Y PÉNDULO”LABORATORIO FIS 100DOCENTE:ING. ALFREDO ALVAREZ C.ESTUDIANTE:LESLIE GABRIELA CHUYMA SALAMANCAGRUPO: “B”DICIEMBRE 2020EL RESORTE10 OBJETIVOSGeneral:  Estudio de la ley de Hooke  Estudio del...

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UN UNIVE IVE IVERSI RSI RSIDAD DAD MA MAYOR YOR DE SAN A ANDR NDR NDRÉS ÉS FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO BÁSICO

PRÁCTICA DE LABORATORIO

“RESORTES Y P PÉND ÉND ÉNDULO ULO” LABORATORIO FIS 100

DOCENTE:

ING. ALFREDO ALVAREZ C. ESTUDIANTE:

GRUPO: “B” DICIEMBRE 2020

EL RESORTE 10.1 OBJETIVOS General:  Estudio de la ley de Hooke  Estudio del movimiento oscilatorio Específico:  Verificación de la ley de Hooke  Determinación de la constante de rigidez de un resorte por la aplicación de la ley de Hooke  Determinación de la ley de Hooke mediante el movimiento oscilatorio.

10.2 FUNDAMENTO TEÓRICO 10.2.1 MÉTODO ESTÁTICO Un resorte se construye a partir de un alambre de sección uniforme arrollada en forma de hélice cilíndrica, la característica principal de este dispositivo es que, cuando se ejerce una fuerza sobre el resorte, éste puede sufrir deformaciones (compresión o elongación), al cesar la fuerza el resorte recupera su longitud natural. La ley de Hooke establece: que la fuerza requerida para elongar o comprimir un resorte es proporcional a su elongación o compresión siempre y cuando no se sobrepase el límite elástico, (figura 10.1). De conformidad al anterior enunciado, cuando se aplica una fuerza F sobre el resorte (figura 10.2), se logra un desplazamiento x proporcional a F.

F  kx

Figura 10.1

(10.1)

A su vez, el resorte ejerce una fuerza recuperadora que es proporcional y opuesta al desplazamiento, esto es, F´ kx . En la ecuación (10.1), que es la expresión matemática de la ley de k, se denomina constante de rigidez o elástica del resorte, esta fundamentalmente del tipo de material del que esta fabricado transversal del material del resorte (grosor), radio de arrollamiento y

Hooke, la constante constante depende el resorte, sección número de espiras.

La ecuación (10.1) es válida mientras el resorte no sufra deformación permanente, la figura 10.3 muestra la variación de la fuerza aplicada en función alaelongación, antes de llegar a su límite de deformación.Cuando del resorte se cuelga un objeto, este ejerce la fuerza de su peso (es decir F  mg ) y el resorte se estira una distancia x, entonces:

F  mg  kx

Si repetimos este procedimiento F con distintos objetos de masas conocidas (en consecuencia pesos) y midiendo las elongaciones xi; lograremos un conjunto de valores experimentales (wi, xi), los cuales deben seguir la tendencia de la recta mostrada en la figura 10.3, donde la pendiente de la recta representa la constante de elasticidad del resorte.

F

0

Figura 10.3

(10.2)

x

En el experimento, luego de colgarse el resorte, se emplea un plato para soportar las pesas que se irán colocando, como muestra la figura 10.4. La parte inferior del plato se toma como el cero para la medición de las respectivas elongaciones; Aunque el plato tiene cierto peso (wp) y en consecuencia este estira al resorte cierta distancia xp , esto no modifica la validez de la ecuación (10.1), por cuanto al asignar el valor de cero a xp, los ejes se trasladan como muestra la figura 10.5, la cual es equivalente a la figura 10.3, por ello no consideraremos el peso del plato. Con el propósito de obtener la ecuación

Resorte

Plato

0

0

Figura 10.4 *

experimental de la ley de Hooke, los diferentes pesos que se colocan sobre el plato w 1 ,

w *2 , w *3 , etc. producen diferentes alargamientos x*1 , x*2 , x *3 , etc., este conjunto de *

*

pares de datos ( w i , x i ), mediante ajuste de curvas, proporciona la ecuación experimental buscada, la cual es lineal de la forma:

w*  a  bx*

(10.3)

Para que esta ecuación sea equivalente a (10.1), el término experimental “a” debe ser cero o muy próximo a cero, pues, debido a errores experimentales (errores aleatorios), el término “ a” puede ser distinto de cero; sin embargo, a través de una prueba de hipótesis debe verificarse que a no difiere significativamente de cero, con lo cual se validará la ecuación (10.1) y en consecuencia la ley de Hooke. La pendiente de la recta, b (en la ecuación (10.3)), es igual a la constante de elasticidad del resorte, k.

w* w

wp xp Figura 10.5

x

x*

8.2.2 MÉTODO DINÁMICO La constante de elasticidad del resorte, k, puede también obtenerse por el método dinámico. Para esto, considere un objeto de masa M unido a un resorte de constante, k y masa m despreciable; cuando el objeto está en equilibrio estático, las fuerzas que actúan sobre él son, su peso W y la fuerza del resorte, kx E , donde xE representa la elongación del resorte (figura 10.6), entonces:

W  kx E

(10.4)

Figura 10.6

Si desplazamos el objeto de su punto de equilibrio, hasta la posición x m (figura 10.7) y lo soltamos del reposo, la partícula se moverá hacia arriba y hacia debajo de la posición de equilibrio, O, generando un movimiento oscilatorio de amplitud xm. Con el propósito de analizar el movimiento oscilatorio del bloque, consideremos, para un tiempo t, un punto Pde la figura 10.7. Al desplazamiento, OP, denominaremos, x, medido desde el punto de equilibrio (O). Las fuerzas que actúan sobre el objeto en dicho punto son: el peso, W, y la fuerza del resorte, FR  k ( x E  x ) ; con el convenio de signos asumido en la figura 10.7, positivo hacia abajo, la sumatoria de fuerzas ( F  ma ) resulta.

Figura 10.7



 F  W  FR  Ma

(10.5)

De donde:

W  k( xE  x)  Ma

(10.6)

La ecuación (10.4) en (10.6):

kx E  k ( x E  x )  Ma Ordenando:

 kx  Ma

(10.7)

Puesto que la aceleración, es igual a: a 

M

d 2x dt

2

Ordenando dicha expresión como:

d 2x dt 2

 kx  0 d2 x dt

2



la expresión (10.7) se escribe: (10.8)

k k , la x  0 y denominando p 2  M M

ecuación (10.8) resulta:

d 2x dt 2

 p2 x  0

(10.9)

La expresión (10.9) es una ecuación diferencial lineal de segundo orden y define el movimiento armónico simple. La característica de este tipo de movimiento es que la aceleración es proporcional al desplazamiento, y de sentido opuesto, además independiente de la aceleración de la gravedad. Existen dos soluciones particulares que satisfacen la ecuación (10.9), estas son: x 1  sen pt y x 2  cos pt . La solución general se obtiene multiplicando las soluciones particulares por las constantes A y B y luego sumando estas:

x  A sen pt  B cos pt

(10.10)

Cond. iniciales para t=0 la velocidad parte del reposo v=0 𝑑𝑥 … … … 2) 𝑣= 𝑑𝑡 2 𝑑 𝑥 𝑎 = 2 … … … .3) 𝑑𝑡 𝑣=0 𝑣 = 𝐴𝑝𝑐𝑜𝑠𝑝𝑡 − 𝐵𝑝𝑠𝑒𝑛𝑝𝑡|𝑡=0 = 𝑣0 𝐴𝑝𝑐𝑜𝑠0 = 𝑣0 + 𝐵𝑝𝑠𝑒𝑛0 𝐴𝑝 = 𝑣0 = 0 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐 10 .10 𝑥𝑚 = 𝐴𝑠𝑒𝑛𝑝𝑡 + 𝐵𝑐𝑜𝑠𝑝𝑡|𝑡=0 𝑥𝑚 = 𝐴𝑠𝑒𝑛0 + 𝐵𝑐𝑜𝑠0 𝐵 = 𝑥𝑚

Las constantes A y B dependen de las condiciones iniciales del movimiento, para ello diferenciamos una vez la expresión (10.10) para obtener la velocidad, v 

dx . dt

v

dx  Ap cos pt  Bp sen pt dt

(10.11)

Las condiciones iniciales son: v 0 y xm para t0 = 0, estas en (10.10) y (10.11) dan como resultado:

A

v0 y B  xm p

(10.12)

En nuestro caso, v 0  0 para t0 = 0, con lo que la ecuación (10.10) se escribe:

x  B cos pt

(10.13)

La ecuación (10.13) proporciona la posición del objeto para cualquier tiempo t, el término, B  xm , se denomina amplitud de oscilación con p 

k . M

El análisis de la ecuación (10.13) muestra que se obtiene x = B = xm, cuando cos pt  1 lo cual ocurre cuando pt  0, 2, (2   2 )rad,..... . etc , esto señala que el objeto retorna al mismo lugar cada determinado tiempo, a este se denomina periodo de oscilación, T, en consecuencia:

pT  2

(10.14)

De donde la constante de elasticidad del resorte resulta:

k

4 2 T2

(10.15)

M

Ecuación que nos permitirá determinar la constante de elasticidad del resorte a través de las medidas de masa m y periodo de oscilación T. La ecuación (10.15) se puede escibir: 4𝜋2 )𝑀 𝑘

𝑇2 = (

(10.16)

La determinación de k, por este método requiere de la medición de la masa del objeto, medida que no plantea dificultad; sin embargo, en la medida del periodo T, esta magnitud puede resultar muy pequeña y la desviación en la manipulación del cronómetro (e = 0,20 s) resulta significativa. Para evitar este problema, es decir, para que el error en la determinación del periodo sea lo más pequeña posible, es conveniente medir el tiempo para n oscilaciones, tn, de modo que:

t n  nT

(10.17)

De donde:

𝑇=

𝑡𝑛 𝑛

(10.18)

El gráfico de la ecuación (10.16) nos indica que la pendiente de la recta nos permite calcular la constante de elasticidad del resorte

T2 Pendiente:

M

10.3 MATERIALES    

Resorte Cronómetro Juego de masas Cinta adhesiva

  

Reglas Balanza Prensa

10.4 PROCEDIMIENTO 10.4.1 MÉTODO ESTÁTICO 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Cuelgue verticalmente el resorte Coloque en la parte inferior del resorte, el plato que soportará las masas Cuelgue una carga inicial m0 para aliviar la tensión de compresión que los resortes traen de fábrica, esta carga inicial corrige además la separación no uniforme de las espiras del resorte (el resorte esta torcido). Señale la parte inferior del plato como el cero. Coloque en el plato una masa (m). A partir del cero (punto 4) mida la respectiva elongación xi. Retire la masa y verifique que la parte inferior del plato retorne al cero, es decir, que el resorte no sufra deformación permanente. Para distintas masas o combinación de ellas, repita los pasos 5 a 7. Mida las masas de las distintas pesas.

El experimento se realizará de manera virtual, siguiendo el video de Youtube, de la universidad de Alicante, cuya dirección es:

https://www.youtube.com/watch?v=gw-hkp4Ai7U Analice el video, en este Ud. Debe tomar nota de la elongación del resorte para cada masa que se coloca en el resorte, así como el valor de la masa “m”. Como se muestra en las imágenes tomadas del video

También puede efectuar el experimento http://www.educaplus.org/game/ley-de-hooke 10.4.2

con

el

simulador:

MÉTODO DINÁMICO

El experimento se realizará de manera virtual, con ayuda del video de la Universidad de Alicante, cuya dirección es: https://www.youtube.com/watch?v=Mqx8HmU2FYM 1. 2. 3. 4. 10.4.3

Se coloca una pesa en el resorte. Desplace la pesa una pequeña distancia hacia abajo y suéltelo. Mida el tiempo para 30 oscilaciones, t 30, puede emplear el cronómetro del video o medir Ud. con el cronómetro de su celular. Se repite el procedimiento para varias pesas que se indica en el video. MÉTODO DINÁMICO CON SIMULADOR

El procedimiento a seguir es el mismo de la anterior sección (10.4.2). Debe acceder a la página de la Universidad de Colorado:

https://phet.colorado.edu/es/simulation/mass-spring-lab 10.5 CÁLCULOS Y GRÁFICOS 10.5.1 MÉTODO ESTÁTICO 1. 2. 3. 4. 5.

Para los distintos valores de masa, m, calcule sus respectivos pesos (W*) Con el conjunto de valores experimentales (W*, x*) y ajustando por mínimos cuadrados, obtenga la ecuación experimental de la ley de Hooke (ecuación 10.3),además del coeficiente de correlación r. Comparando la ecuación ajustada con la ecuación (10.1), determine la constante elástica k del resorte. Represente en un gráfico W vs. x el conjunto de valores experimentales (W*, x*) y la ecuación ajustada (10.3). Para verificar la validez de la expresión (10.1) y en consecuencia de la ley de Hooke, efectúe la prueba de significación verificando que el intercepto en el eje W*, a, no difiere significativamente de cero, para la probabilidad del 95%.

𝑤 = 𝑚𝑔 = 0,010[𝑘𝑔]𝑥9,775 [m/s2] = 0,0978

𝑤 = 𝑚𝑔 = 0,010[𝑘𝑔 𝑘𝑔]𝑥 𝑥9,775 [m/s2] = 0,0978

Peso (kg)

Elongación x (m)

Constante k (N/m)

1

0,0978

0,03

3,26

2

0,196

0,06

3,26

3

0,293

0,09

3,25

4

0,391

0,12

3,25

5

0,488

0,15

3,25

6

0,587

0,18

3,26

7

0,684

0,21

3,26

8

0,782

0,24

3,25

Nº

La ecuación de la recta en la escala métrica es: 𝑦 = 𝑎 +𝑏 𝑥 𝒘∗ = 𝟎, 𝟑𝟐𝟓 𝒙∗

1) Formulando hipótesis nula y la hipótesis alterna para la abscisa A 𝐻𝑂: 𝑎𝑇𝐸𝑂 = 𝑎𝐸𝑋𝑃 el valor teórico y el experimental no difieren significativamente. 𝐻𝑖: 𝑎𝑇𝐸𝑂 ≠ 𝑎𝐸𝑋𝑃 el valor teórico y el experimental difieren significativamente. Entonces 𝑎𝑇𝐸𝑂 = 0

Para una probabilidad del 95% con 𝑣 = 𝑛 −2 grados de libertad debido al coeficiente A y la pendiente b y asumiendo una prueba bilateral o de dos colas tα⁄2 ; 𝑣=8−2=6 = 2,447

Como el 𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 < tα⁄2 ; 𝑣=6 entonces podemos convalidar la hipótesis alterna 𝐻𝑂 el intercepto del eje w*, A no difiere significativamente del valor esperimental 10.5.2 MÉTODO DINÁMICO 1. 2. 3. 4. 5.

6.

Mediante la ecuación (10.18) determine el periodo de oscilación para cada pesa M Elabore un gráfico de T2 vs M. Con los datos elabore otra tabla de datos de T2 y M. Ajuste por mínimos cuadrados los datos de T2 y M, vea la ecuación (10.16). 4𝜋2

La pendiente de la recta es: 𝑏 = 𝑘 , calcule el error de la pendiente (vea en el libro Medidas y Errores, de los autores Alvarez y Huayta en la sección 4.7 el detalle del cálculo) Calcule el valor de k, mediante la ecuación 𝑘 =

4𝜋 2 𝑏

y exprese esta en la forma

k  k  E k (Nota debe realizar propagación de errores)

7. 8.

Calcule el error relativo porcentual de k y compárelo con el error asignado por el instructor. Compare los valores de k obtenidos por los métodos estático y dinámico, ¿En qué porcentaje difieren?, ¿Por qué? Para este cálculo emplee la expresión:

% diferencia

k est.  kdin. k est.

100

10.6 CUESTIONARIO 1.

2.

3.

4.

5.

Un alumno ha realizado la práctica de resortes mediante su estudio estático y dinámico. Observa que ha obtenido dos valores diferentes de la constante elástica del muelle. (K1 para el estudio estático y K 2 para el estudio dinámico) ¿Es normal que obtenga dos valores diferentes o debe repetir la práctica hasta que obtenga un único valor? R.- La constante de rigidez es única para cada resorte sin importar el método con el cuál se obtenga no debería variar mucho, así que el estudiante deberá realizar otra vez la práctica. En un gráfico FR vs. x, ¿cuál es el significado del área bajo la curva?; ¿cuál el significado de la pendiente? R.- El área bajo la curva en un gráfico Fr vs x es igual al trabajo realizado por la fuerza del resorte cuando el bloque lo comprime o lo estira una determinada distancia; mientras que la pendiente simboliza el valor de la constante de restitución de un resorte K ¿Qué sucede si excedemos el límite de elasticidad del resorte? R.- Cuando se excede el límite de elasticidad del resorte, debido a una fuerza deformadora, este sufre una deformación permanente y no recupera su longitud original. ¿Cómo se calcula la constante equivalente de dos resortes acoplados: a) En serie, ¿b) En paralelo?

Si un resorte de longitud L y constante de rigidez k se divide en dos partes iguales, ¿cuál será el valor de la constante de rigidez de cualquiera de estas porciones del resorte?, ¿igual al original?, ¿menor?, ¿mayor?, justifique su respuesta.

6.

7.

8.

9.

10.

Solamente hubiéramos tenido que medir la distancia x de cada resorte para ver cual es el elongamiento de cada uno de ellos, teniendo cada uno de estos una constante de restitución K, que obviamente no son iguales ¿Sí el experimento se realiza en la Luna, el valor de k obtenido por el método estático será igual al obtenido en la tierra?, ¿mayor?, ¿menor?, ¿por qué? La ley de Hooke nos ayuda a ver que será mucho menor debido a que a menor gravedad, hay una menor fuerza de atracción o menor peso que actué sobre el resorte, siendo menor la constante de rigidez. En general, ¿De qué factores depende la constante elástica k del resorte? Depende fundamentalmente de: el material del que este hecho el resorte, el radio de arrollamiento, el número de espiras que es inversamente proporcional a la constante; siendo mejor demostrado con la ecuación de la constante de rigidez: 𝐾 = 𝑔𝑟 4 (𝐺/4) 𝑁𝑅 3 g = aceleración de la gravedad r = radio del alambre G = módulo de torsión del material del resorte N = número de espiras R = radio del cilindro alrededor del cual esta enrollado el resorte En el ajuste de la ecuación (10.3), la constante b es la constante elástica del resorte, ¿Qué significado físico le asigna Ud. a la constante a? Puede representar el valor del plato, que al ser metido al sistema del resorte no hace varias la constitución de este, por lo que no afecta la ecuación de la ley de Hooke; es menester aclarar que el valor de a debe ser muy próximo a cero. Mencione por lo menos 10 ejemplos de piezas o equipos que funcionan en base a un resorte, estime además para cada caso el valor de la constante de rigidez k. PIEZAS O EQUIPOS K(N/m) PIEZAS O EQUIPOS K(N/m) BOLIGRAFOS 5 PINZAS DE ROPA 20 ROMANA 300 RATONERA 100 AMORTIGUADOR 10000 COLCHÓN 80 RELOJ 1 JUGUETES 30 BICICLETAS 5000 ARMAS 500 Para un resorte en oscilación, bosqueje los gráficos: a) x vs. t, b) v vs.t, c) a vs.t

11.

12.

Proponga un experimento para determinar la constante elástica de un resorte por algún método estático, en el cual el resorte esté en posición horizontal. R.- Un resorte colocado horizontalmente a una pared, y determinar la fuerza elástica que ejerce cuando se lanza un cubo de madera al resorte, y luego con otro de metal. Luego comparar los resultados de ambas pruebas. Un cuerpo de masa 0,100 kg cuelga verticalmente de un resorte. Se tira de él haciendo descender 10,0 cm bajo su posición de equilibrio y se suelta de modo que oscila con M.A.S. con periodo de 2,00 s, encuentre: a) la constante elástica del resorte, b) la aceleración del cuerpo cuando la posición es de 5,00 cm.

PENDULO 12.1 OBJETIVOS General:  

Estudio del movimiento armónico simple. Estudio del péndulo simple.

 

Determinación de la aceleración de la gravedad. Determinación experimental de la ecuación del péndulo

Específico:

12.2 FUNDAMENTO TEÓRICO 12.2.1 PÉNDULO SIMPLE (solución aproximada) El péndulo simple consiste de un objeto de masa m (esfera en la figura 12.1) unido a una cuerda de longitud L que oscila en un plano vertical, como se muestra en la figura 12.1.

0

Con la finalidad de simplificar el estudio, consideremos al objeto como masa puntual; es decir la esfera de masa m no posee dimensiones, pero si masa y la amplitud de oscilación (0) es pequeña. En un tiempo t, la cuerda forma un ángulo  con la vertical. Las fuerzas que actúan sobre la esfera son: la tensión, T, de la cuerda y, el peso, mg.; Apli...