Conductivitat tèrmica d\'un metall PDF

Preview

Summary

Pràctica 9 termodinàmica UB...

Description

Enric Ponce de León Abad

Iker Vea Lladser

Lucía Suárez Fernández

M2A

PRÀCTICA 9: Determinació de la conductivitat tèrmica d’un metall 9.0. Introducció 9.0.1. Objectiu, mètode experimental i bases teòriques El principal objectiu d’aquesta pràctica es estudiar l’evolució de la distribució de temperatures en el temps per a dos barres metàl·liques (una de coure i l’altre de ferro) escalfades per un extrem en contacte tèrmic amb un fluid a 200ºC.

Durant l’experiment, després de connectar un forn a 200ºC, agafem les mesures de les temperatures a 3 punts diferents de cada barra amb un interval de temps de uns 5 minuts entre cada mesura. Finalment, quan s’hagi assolit el règim estacionari (aproximadament 1 hora) agafem les mesures de la temperatura al llarg de la barra però en aquest cas en tots els punts marcats de la mateixa.

Per a aconseguir aquest objectiu, obtindrem la conductivitat tèrmica del ferro mitjançant la comparació de les dades obtingudes amb la barra de coure de geometria similar i conductivitat tèrmica coneguda (ambdues en l’estat estacionari).

Mitjançant l’estudi de la distribució de temperatures en ambdues barres obtindrem el coeficient α de cadascuna i mitjançant la següent expressió i el valor conegut de la conductivitat del coure (𝑘𝐶𝑢 = 3,79 𝑊 · 𝑐𝑚 · 𝐾 obtindrem la conductivitat tèrmica del ferro: 2 α𝐶𝑢 𝑘𝐹𝑒 = 𝑘𝐶𝑢 ( 2 ) α𝐹𝑒

Enric Ponce de León Abad

Iker Vea Lladser

Lucía Suárez Fernández

M2A

9.0.2.Tractament de dades Abans de procedir amb el tractament de les dades, aportem l’ajust utilitzat per a la conversió de V (mV) a T (ºC) i, per tant, l’error associat a ambdues magnituds: 𝑇 = 25,57𝜀 + 11,4 · 10−6

Donat l’error en voltatge de 𝛿𝜀 = 0,001 𝑚𝑉 , deduïm per propagació d’errors que l’error en temperatura serà 𝛿𝑇 = 𝛿𝜀 · 25,57 = 0,026 . A continuació, mostrem l’evolució temporal de la temperatura per a les diferents barres:

Barra dreta 70 60 50 x=30cm

T (ºC)

40

x=60cm

30

x=90cm

20 10 0 0

10

20

30

40

50

60

t (min)

Figura 1: Evolució de la temperatura en funció del temps per a la barra de coure a 3 posicions diferents, com mostra la llegenda, fora de l’estat estacionari.

Barra esquerra 40 35

T (ºC)

30 25

x=30cm

20

x=60cm x=90cm

15 10 5 0 0

10

20

30

40

50

60

t (min)

Figura 2: Evolució de la temperatura en funció del temps per a la barra esquerra a 3 posicions diferents, com mostra la llegenda, fora de l’estat estacionari.

Enric Ponce de León Abad

Iker Vea Lladser

Lucía Suárez Fernández

M2A

Barra de ferro 5,0 y = -0,053x + 4,734 R² = 0,991

ln (θ)

4,5 4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0 0

20

40

60

80

100

120

140

x (cm)

Figura 3: Representació gràfica de la temperatura en funció de la posició a la barra de ferro. S’ha realitzat una regressió lineal amb els punts que queden ben alineats amb un coeficient de correlació de 0,991. Les barres d’error encara que són inapreciables hi son representades.

Barra de coure 5,0 4,5

y = -0,0256x + 4,625 R² = 0,996

ln (θ)

4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0 0

20

40

60

80

100

120

140

x (cm)

Figura 4: Representació gràfica de la temperatura en funció de la posició a la barra de coure. S’ha realitzat una regressió lineal amb els punts que queden ben alineats amb un coeficient de correlació de 0,996. Les barres d’error encara que són inapreciables hi son representades.

Utilitzant les eines de processat de dades de Microsoft Excel, obtenim les següents expressions de l’ajust per a cada metall: 𝑦𝐶𝑢 = (−0,0256 ± 0,0006)𝑥𝐶𝑢 + (4,625 ± 0,019) 𝑦𝐹𝑒 = (−0,053 ± 0,002)𝑥𝐹𝑒 + (4,734 ± 0,055)

Enric Ponce de León Abad

Iker Vea Lladser

Lucía Suárez Fernández

M2A

Per a cada barra analitzarem la relació teòrica i la relacionarem amb l’ajust experimental. Aquesta relació teòrica ve donada per: θ = (𝑇𝑚 − 𝑇0 ) · 𝑒

ℎ𝑐 −𝑥√𝑘φ𝑎

On el terme a l’exponent ve donat per:

ℎ𝑐𝑎 = α𝑖𝑇𝑚 = 200º𝐶 𝑘φ

Aplicant logaritmes a l’expressió donada obtenim que: ln(θ) = ln(𝑇𝑚 − 𝑇0 ) − α𝑥 Comparant aquesta nova expressió amb les nostres rectes de regressió observem que el paràmetre α es correspon amb el nostre pendent de regressió canviat de signe.

Per tant obtenim les α del coure i el ferro per analogia: α𝑐𝑢 = (0,0256 ± 0,0006) 𝑐𝑚−1 α𝐹𝑒 = (0,053 ± 0,002) 𝑐𝑚−1

Finalment estimarem el valor de la conductivitat del ferro coneixent el valor de la del coure a temperatura ambient mitjançant l’expressió següent: 2 α𝐶𝑢 𝑘𝐹𝑒 = 𝑘𝐶𝑢 ( 2 ) α𝐹𝑒

Consultant el valor de la conductivitat del coure a Internet (fisicanet.com.ar) obtenim que: 𝑘𝐹𝑒 = 3,79 (

6,55 · 10−4 𝑊 ) = 0,88 −3 𝑐𝑚 ·𝐾 2,81 · 10

Considerant 𝛿𝑘𝐶𝑢 = 0 , que els errors de les conductivitats tèrmiques estan correlacionats i aplicant propagació d’errors obtenim l’error associat: δ𝑘𝐹𝑒 = ∣

𝑑𝑘𝐹𝑒 𝑊 2α2𝐶𝑢 𝑑𝑘𝐹𝑒 2α𝐶𝑢 ∣ δα𝐹𝑒 = 𝑘𝐶𝑢 (( 2 ) δα𝐶𝑢 + ( 3 ) δα𝐹𝑒 ) = 0,11 ∣ δα𝐶𝑢 + ∣ 𝑑α𝐶𝑢 𝑑α𝐶𝑢 𝑐𝑚 · 𝐾 α𝐹𝑒 α𝐹𝑒

Obtenim per tant la expressió de la conductivitat tèrmica experimental, juntament amb al teòrica: 𝑘𝐹𝑒 = 0,88 ± 0,11

𝑊 𝑐𝑚 · 𝐾

𝑘𝐹𝑒𝑡𝑒𝑜 = 0,804

𝑊 𝑐𝑚 · 𝐾

Tenint en compte que la conductivitat té error zero, per a que sigui un bon resultat s’ha de complir que: 2 ∣ 𝑘𝐹𝑒 − 𝑘𝐹𝑒𝑡𝑒𝑜 ∣ ≤ 2√𝛿𝐾𝐹𝑒

→ 0,076 ≤ 0,11

Amb això podem comprovar i concloure que hem obtingut un resultat acceptable per a 𝑘𝐹𝑒...