Conductores fuera equilibrio electrostático PDF

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Transporte de carga: Intensidad y densidad de corriente

1. Definiciones previas

1.1 Los portadores de carga: Entendemos que existe transporte de carga cuando ésta se mueve de una localización espacial a otra. Este transporte implica el movimiento de partículas dotadas de una cierta carga eléctrica que denominamos portadores de carga. Estas pueden ser partículas elementales como electrones o protones, o porciones de material cargado, pudiendo transportar tanto carga positiva como negativa. Para conocer el transporte de carga que se realiza necesitaremos conocer la velocidad de los  portadores v y su densidad (como número de cargas por unidad de volumen nV o por unidad de superficie nS ) así como la cantidad de carga que transportan q .

1.2 Los fenómenos de transporte: El movimiento de los portadores de carga puede ser originado de diversas maneras - Corriente de conducción: por aplicación de un campo eléctrico en el interior de un medio material. - Corriente de difusión: por la existencia de un gradiente de concentración de portadores de carga en el interior de un medio material. - Corriente de convección: por arrastre mecánico de los portadores (forzado o de manera natural) - Corriente de polarización: por aplicación de campo eléctrico o de estrés mecánico generando un movimiento local sin que exista transporte de carga a nivel macroscópico. - Corrientes en el vacío

1.3 Flujo de carga eléctrica: Corriente y densidad de corriente eléctrica La definición usual de corriente eléctrica es la cantidad de corriente que por unidad de tiempo atraviesa una referencia dada que puede ser una superficie o una línea:

I

dQ dt

1

Densidad de corriente en volumen:

I es un escalar que en el Sistema Internacional se mide en Amperios. Tal magnitud no deja de ser un caudal o, como vimos en el capítulo dedicado a la ley de Gauss, un flujo. Imaginémonos por ejemplo que en un conducto de sección rectangular existen unos  portadores de carga todos ellos viajando a la misma velocidad v y transportando la misma carga q . Supondremos además que están repartidos de manera uniforme siendo el número de portadores por unidad de volumen nV . B

A

v  t

Sea el caso A, una sección  v

transversal recta de superficie

a

 b

S A  a  b . En un intervalo de

v  t

A

B

tiempo t todos los portadores que estuvieran en el volumen (señalado en color anaranjado) definido por la superficie SA y la longitud v  t cruzarán la sección A (ver detalle a la derecha). Por lo tanto, la carga que habrá pasado en ese mismo intervalo de tiempo será igual al número de esos portadores multiplicado por la carga que transportan:

QA  q  N A  qnV  S Avt  IA 

QA  nV qvS A t

Vamos ahora a la sección B. Esta es oblicua con un ángulo de giro  según una de las aristas. De igual manera la carga que pasará por la sección será la correspondiente a los portadores que se encuentran dentro del volumen marcado en color anaranjado multiplicado por la carga que transportan. En este caso, el volumen viene determinado por la superficie de la sección es SB  a ' b 

a b y la altura del paralepípedo cos  

hB  v  t  cos   . VB  SB  hB y la carga será entonces:

2

QB  qNB  qnV  SB hB   qnV IB 

a bvt cos   cos  

QB  qnV vab  qnV vS A  I A t

La primera conclusión es que la misma carga que atraviesa A en un t también atraviesa B en el mismo periodo de tiempo. Dicho de otra manera, las corrientes son iguales: I A  nV qvS A  I B  qnV vSB cos   I  ya que S A  S B cos   . Curiosamente,  es el ángulo que forma v y la perpendicular a  la superficie SB , la misma dirección del vector superficie SB . Si nos damos cuenta de la

naturaleza vectorial de ambas magnitudes:   vSB cos     v  S B   Y de la misma manera vS A  v  S A ya que son dos vectores paralelos. La corriente

eléctrica se puede obtener como:   I  nV qv  S

Si definimos el vector densidad de corriente como:   jV  nV qv

  la intensidad I no será más que el flujo de j a través de una superficie dada S :   I  jV  S

Si la unidad de corriente en el Sistema Internacional es

I   A mperios  ,

las de la

 densidad de corriente  jV   A/m2 . Siguiendo el mismo convenio fijado en el flujo del 3

  campo E , el vector superficie S tiene que ser perpendicular a la superficie y orientarse

hacia el exterior en superficies cerradas. Su orientación es importante porque define el signo de I (positivo si sale y negativo si entra en una superficie cerrada mientras que en  las abiertas dependerá de la elección del sentido de S ). En una superficie no plana así  como cuando el vector j no sea uniforme, determinaremos el flujo en elementos   diferenciales sobre los que circulará una corriente dI  jV  dS . La corriente total vendría definida por:

  I   dI   jV  dS S

S

Imaginemos que ahora que en vez de partículas cargadas, fuese un fluido cargado quien  se estuviese moviendo a una velocidad v . Como siempre, para transformar una distribución extensa en una carga puntual, es necesario recurrir a porciones diferenciales en los que se aprecia una carga dq . El producto de la carga q por la densidad de portadores nV nos da como resultado la cantidad de carga por unidad de volumen que se está moviendo  p : dq

a

 v

 p  qnV

b

S

 Suponiendo que el fluido se mueve a la velocidad v :

  jV   p v

otra vez:

  I   jV  d S S

Densidad de corriente superficial: La carga podría también desplazarse sobre una superficie conductora. Si

nS es el número de portadores por unidad de superficie que transportan una carga q o, equivalentemente, sea  p  qnS la densidad de carga

dq  v

 n

L

4

móvil sobre la superficie, un argumento equivalente al que antes hicimos para corrientes en el volumen nos llevaría a la definición de densidad de corriente superficial como:

   jS  qn Sv   pv

La corriente eléctrica seguiría teniendo la misma definición aunque ahora mediría la cantidad de carga que atraviesa una línea dada por unidad de tiempo (ver la figura).

  I   jS  dLn  L

 donde n es un vector unitario contenido en la superficie y perpendicular al elemento diferencial dL . Las unidades del vector densidad de corriente en este caso son  diferentes  jS   A/m . Las corrientes superficiales serán importantes en el capítulo dedicado a magnetismo en la materia.

1.4 Velocidad de los portadores de carga: velocidad de arrastre  Las ecuaciones vistas hasta ahora, tanto para I como para j (en las dos formas vistas) se refieren al transporte neto de carga. Podría darse el caso de la presencia de diversos tipos de portadores transportando diferente carga, o con diferente densidad o a velocidades diferentes. Si ese es el caso, el transporte realizado por cada uno de ellos     vendría determinado por una densidad de corriente j1 , j 2 …… j i  qi ni vi . Aplicando el principio de superposición, el vector densidad de corriente total sería:

   j   j i   qi niv i i

i

Hasta ahora hemos asumido que si hay un solo tipo de portadores, estos se mueven todos a la misma velocidad. Cuando la corriente se produce en tubos de vacío con partículas aceleradas con una energía determinada esto puede asumirse sin dificultad. Pero dentro de un sólido conductor es de esperar que exista una distribución de velocidades. Podemos recordar que en un sistema de muchas partículas en equilibrio 5

termodinámico, la celeridad cuadrática media viene definida por la temperatura del sistema como vRSM 

2 3 kB T v  , siendo k B  1, 38065 10 23 J/K la constante de m

Boltzmann, T la temperatura y m es la masa del portador de carga. A temperatura ambiente estas celeridades (módulo de la velocidad) pueden ser muy elevadas. Imaginemos que conocemos la velocidad promedio de las partículas que van en una   dirección (por ejemplo hacia la derecha de nuestro elemento diferencial v r  v 0 ). Si no hay transporte neto de carga, la velocidad promedio de las partículas en la dirección   opuesta deberá ser igual pero de sentido contrario (izquierda v l   v 0 ) y de esta manera, la velocidad promedio total será cero:    v  vr  vl  0

Para que exista transporte neto de carga, tiene que haber

un

cierto

desbalance

 velocidades. Supongamos que v r

entre

estas dos   v  v0  d y que 2

   vd vl   v0  . La superposición de las densidades 2

 v   vl  v 0  d 2

  jV  qnVvd

nV q

   v vr  v 0  d 2

   v d  v r  vl

de corriente en una dirección y la opuesta hace que:       vd     vd   nV q vd jV  jVr  jVl  nV q  v 0    nV q   v 0   2  2  

A efectos de transporte de carga, podríamos considerar entonces que los portadores se  mueven todos a una velocidad vd dentro de nuestro elemento diferencial. Esta velocidad recibe el nombre de velocidad de arrastre o de deriva (drift). No obstante, a nivel practico, nos solemos referir a ella simplemente como la velocidad de los portadores de carga aunque debemos recordar siempre que no es la velocidad microscópica de las partículas.  j indica el transporte neto de carga sin indicar directamente quienes son los portadores ni cuanta carga ni a que velocidad la transportan. En los metales, por ejemplo, los 6

portadores mayoritarios son electrones que transportan un quantum de carga negativo  e . En este caso, la velocidad de los portadores y el transporte de carga son vectores

paralelos pero de sentido contrario. Esto ocasiona que en muchos libros se hable de “sentido de la corriente convencional IC ” y del “real

dQ 0 dt

I R ”. Ambas ideas son incorrectas. Para empezar I es un flujo y por lo tanto un escalar. No tiene dirección ni sentido aunque si tiene signo. Por un abuso de lenguaje,  solemos escoger como “dirección de I ” la de j . Para

 jV

e

 vd IR

IC

entenderlo, imagínese que unos electrones entrasen en una caja llena de carga positiva. Esta se vería reducida por lo que el flujo neto de carga ha ido hacia el exterior, en dirección contraria a los electrones. Lo mismo sucedería si en la caja hubiera carga negativa ya que esta sería más negativa por lo que el flujo de carga ha ido hacia el  exterior. Recordemos siempre que j mide el flujo neto de carga, no la velocidad de los portadores de carga.

Ejemplo: Problema 21 Capítulo 2: Un corrent de 5,0 A circula per un fil de coure de 0, 20 mm2 de secció. a) Quant val el vector densitat de corrent i quina és la velocitat de desplaçament vd en aquest cas, si el nombre d’electrons per unitat de volum és 0,84  1029 m-3 . ? b) Si el corrent fos superficial, quant valdria el vector densitat de corrent ? c) Si aquests electrons lliures estan a temperatura ambient ( T 300 K ) i se puposa que 3 tenen una energia tèrmica de k BT , quina és la seva velocitat quadràtica mitjana? 2 Resp: a) Si la corriente circula a través de la sección del hilo de manera uniforme:  I jV  jV   25 10 6 A/m 2 S

jV  nV qv d  v d 

jV  1, 9  103 m/s , tomando e  1, 602  1019 C n Ve

r  j

b) La sección por la que circula la corriente superficial es más difícil de ver. Si la densidad de corriente sigue estando orientada según la dirección axial, la corriente I serían las cargas que atravesarían una circunferencia de radio r coincidente con el

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contorno del hilo conductor (  r2  S , r  0, 25 mm ). En este caso, la densidad de corriente: jS 

I 2 r

 3,2  10 3 A/m

En equilibrio térmico, si suponemos que los electrones son partículas libres (3 grados de libertad) la energía cinética promedio por partícula sería: 3 2

 k  k BT  6,21 10 21 J 1 Y por otro lado,  k  m v 2  v RSM  2

v2 

2 k  120  103 m/s m

31  Siendo kB  1, 38 10 23 J/K y m  9,11 10 kg .

La celeridad de los portadores es del orden de 107 veces mayor que la de arrastre. Esto es debido a la alta densidad de portadores que presentan los metales. Como hay tantos no necesitan “moverse” muy rápido para transportar la carga deseada (este sería el sentido de la velocidad de arrastre).

1.5 Conservación de la carga: Ecuación de continuidad Consideremos ahora una superficie cerrada en el interior de un medio conductor que por un tema de simplicidad del cálculo será un cubo. Supongamos que a través de sólo una de sus caras circula una corriente eléctrica con una densidad de corriente en  volumen jV constante. Por convenio, el vector superficie   jV deberá estar dirigido hacia fuera por lo que el flujo de jV (la

QV t 

corriente) será una magnitud positiva:

 S

  I   jV  dS  jV  S S

I es la cantidad de carga que saldrá a través de esa superficie por unidad de tiempo. El principio de conservación de la carga eléctrica, una de las pocas que todavía persiste en la física moderna, establece que no hay creación ni destrucción de carga. Por lo tanto, si existe un flujo saliente de carga a través de la pared del cubo, la carga interior QV t  deberá disminuir en la misma medida:

8

I 

dQV  t  dt

Por lo tanto:   dQV    jV  dS dt S

Esta relación es válida para cualquier superficie cerrada S y es la forma integral de la ecuación de continuidad o de conservación de la carga eléctrica. Si la carga en el interior de S está distribuida en su volumen interior V, entonces:

QV    dV V

Por las propiedades lineales de la función integral y siempre que la superficie y su volumen no cambien con el tiempo:

 dQV d      dV      dV dt dt V  V  t 

La ecuación quedaría entonces como:         j S dV d   t  V V S

Al estudiar la forma diferencial de la ley de Gauss establecimos la relación de Ostrodgadsky-Gauss, válido para cualquier campo vectorial continuo y diferenciable: 





 F  dS   div F   dV S

V

 Aplicándolo al vector jV :

9

      dV d div j S      V     S  jV dV V t  V

 

Y finalmente:       jV  dV  0 div    t   V

 

A pesar de haber iniciado el razonamiento mediante una superficie cúbica, todas las relaciones utilizadas son válidas para cualquier superficie cerrada. Por lo tanto, la anterior relación es válida para cualquier volumen lo que implica que:

     t   div jV  0  

 

que es la forma diferencial de la ecuación de continuidad.

La expresión es muy fácil de entender si se recuerda que la divergencia de un campo vectorial es el número de líneas que se crean (destruyen si es negativo) por unidad de volumen. Supongamos que en un punto del espacio se destruye una línea de campo del vector  j V . Esto podría suceder si la carga que se están moviendo  dejara de hacerlo. Entonces div jV  0 y:

 j

  t 

 

        div jV  0  t 

 

Que nos dice que donde dejen de moverse la carga, esta se empieza a acumular. Cuantas más carga venga y se pare, mayor será la acumulación. No hemos considerado la presencia de distribuciones superficiales en nuestra expresión  diferencial. La razón es que jS es discontinuo y por lo tanto no diferenciable aunque la forma integral de la ecuación de continuidad sigue siendo perfectamente válida.

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1.6 Las condiciones estacionarias: El campo solenoidal

 j

En los primeros capítulos dedicados a la electricidad estudiamos el campo eléctrico generado por cargas inmóviles o campo electrostático. Ahora estamos permitiendo que las cargas se muevan por lo que las condiciones ya no son estáticas. Puede pasar que

 0 t

después de unas condiciones iniciales transitorias, alcancemos un estado en el que las variables relacionadas con el movimiento dejen de depender del tiempo (ni  t  , ni   jV  t y también jS  t  ) . Habremos alcanzado las condiciones estacionarias en donde     t   0 así que:    div jV  0

 

Los campos que cumplen esta condición se denominan solenoidales y se caracterizan por no presentar creación ni destrucción de líneas de campo. La única solución es que estas se curven sobre si mismas formando líneas cerradas.

Otra importante característica que ofrecen este tipo de campos es la posibilidad de formar tubos de líneas, ya que estas nunca desaparecen.  jV

Se trata de superficies cuyas paredes laterales coinciden

 dS

con las líneas de campo. En nuestro caso, lo podemos denominar tubo de corriente. Esta superficie se puede cerrar con tapas como lo representan las superficies S1

 dS

 dS

S1

S2

 y S2 formando entonces una superficie cerrada. El flujo del vector jV a través de esta  superficie, teniendo en cuenta el convenio de sentidos del vector dS , sería: 

j

V

            dS   jV  dS   jV  dS   jV  dS   jV  dS   jV  dS

S

ya que





 j  dS  0 V

S1

S2

SL

S1

S2

   porque jV  dS . Si div jV  0 , el flujo total deberá ser cero:

 

SL

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   d dV  0 div j S j   V V  

 

S

V

  Fijándonos en los flujos supervivientes, I S1   jV  dS no es más que la definición de la S1

corriente que atraviesa S1 y IS 2 



j

V

  d S la que

S2

 dS

atraviesa S 2 . Por lo tanto:

S3  jV

IS 1  IS 2  0

 Por último, ya sólo queda darse cuenta de que el d S     vector superficie jV  d S y jV  dS están orientados

 dS  dS

S1

S2

en sentidos diferentes en S2 (a diferencia de S1 ). Si multiplicamos por 1 el vector para cambiarlo de sentido: I S2   IS2 





 j   d S V

S2

y obtendremos que la corriente que atraviesa cualquier sección del tubo es la misma:

IS1  I S2

Por ejemplo, un cable eléctrico usual de la red sería uno de esos tubos de corriente y cuando las condiciones son estacionarias, la corriente es la misma en todas su secciones.

Recuerde esta observación en el momento de realizar el problema 25 capítulo 2 de la colección.

Los tubos de corriente pueden ser elementos diferenciales o macroscópicos, pueden encontrarse físicamente dispuestos y distribuidos dentro de un material conductor o coincidir con el contorno de un conductor filiforme. En cualquiera de esas circunstancias, si las condic...