Contoh Skripsi fisika ITB atas nama Trisna Utami: Teori Einstein-Dilaton Dan Aplikasinya Untuk Kosmologi PDF

Preview

Summary

TEORI EINSTEIN-DILATON DAN APLIKASINYA UNTUK KOSMOLOGI Tugas Akhir Karya tulis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana dari Institut Teknologi Bandung Oleh TRISNA UTAMI NIM: 10207016 KK Fisika Teoretik Energi Tinggi dan Instrumentasi Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Ins...

Description

Accelerat ing t he world's research.

Contoh Skripsi fisika ITB atas nama Trisna Utami: Teori Einstein-Dilaton Dan Aplikasinya Untuk Kosmologi Mohammad Fajar

Related papers

Download a PDF Pack of t he best relat ed papers 

MODUL FISIKA AWAN (KELAS MET EOROLOGI 4B) Ambinari Rachmi Put ri

Met ode Mat emat ik unt uk Teknik dan Sains 3 Muhammad Andyk Maulana Prakt is Belajar Fisika 2 Kelas 11 Aip Sripudin Dede Rust iawan K Adit Suganda Ilham Fadhila

TEORI EINSTEIN-DILATON DAN APLIKASINYA UNTUK KOSMOLOGI

Tugas Akhir

Karya tulis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana dari Institut Teknologi Bandung

Oleh

TRISNA UTAMI NIM: 10207016

KK Fisika Teoretik Energi Tinggi dan Instrumentasi Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung 2012

LEMBAR PENGESAHAN

TEORI EINSTEIN-DILATON DAN APLIKASINYA UNTUK KOSMOLOGI oleh:

Trisna Utami NIM. 10207016

Program Studi Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung

Tugas Akhir ini dipresentasikan pada 27 Februari 2012

Pembimbing

: Dr. rer.nat. Bobby Eka Gunara

Penguji

: 1. Dr. rer. nat. Sparisoma Viridi 2. Jusak S. Kosasih, Ph.D

Telah diperiksa, disetujui, dan disahkan oleh: Pembimbing,

Dr.rer.nat. Bobby Eka Gunara NIP. 19740128 199802 1 001

ABSTRAK

TEORI EINSTEIN-DILATON DAN APLIKASINYA UNTUK KOSMOLOGI

Oleh Trisna Utami

Program Studi Fisika Insitut Teknologi Bandung

Ditinjau kasus medan dilaton, dengan dilaton sebagai suatu medan skalar yang ditambahkan dala suatu aksi murni Lagrangian gravitasi. Lagrangian ini divariasikan terhadap metrik dan koordinat spasial dan waktu untuk mendapatkan suatu persamaan gerak. Persamaan gerak ini kemudian dianalisa terhadap medan dilaton murni, dengan mana didapatkan hubungan antara dilaton dan jari-jari alam semesta. Didapatkan variasi kecenderungan alam semesta (terbuka atau tertutup) untuk konstanta-konstanta integrasi tertentu dalam solusi persamaan gerak tidak bergantung pada kecenderungan medan dilaton yang terus bertambah atau berkurang.

Kata kunci: dilaton, medan skalar, persamaan gerak, bentuk-bentuk alam semesta.

i

ABSTRACT

EINSTEIN-DILATON THEORY AND ITS APPLICATION TO COSMOLOGY

Trisna Utami

Department of Physics Institut Teknologi Bandung

We study the case of dilatonic field, where dilaton is set to be an added scalar field in a pure gravitational Lagrangian action. This action is varied with respect to corresponding metric and spatial and time coordinates to obtain the equation of motion. The equation of motion is then analyzed with respect to pure dilatonic field, whereof we then obtain the relation between dilaton and the radius of the universe. We obtain that varieties of tendencies of universe (open or closed universe) for certain constants of integration in the solution of the equation of motion does not depend on whether the dilatonic field increases or decreases.

Keywords: dilaton, scalar field, equation of motion, shape of universe.

ii

DAFTAR ISI

BAB

Halaman

I

II

III

ABSTRAK

i

ABSTRACT

ii

UCAPAN TERIMA KASIH

iii

DAFTAR ISI

iv

DAFTAR GAMBAR

vi

DAFTAR TABEL

viii

PENDAHULUAN

1

1 Latar Belakang

1

2 Rumusan Masalah

1

3 Struktur Penulisan

1

TEORI DASAR

3

1 Variasi Integral Aksi

3

2 Lagrangian dan Persamaan Gerak

7

MODEL EINSTEIN DILATON

11

1 Model Einstein-Dilaton

11

2 Solusi dan Analisis Persamaan Gerak

14

1 Hasil

14

1 Solusi oleh Maki dan Shiraishi 2 Kasus Tinjauan 1 Kasus

= ln ( )

=

15 20 21

iv

IV

V

2 Kasus

<

26

3 Kasus

>

28

3

Bentuk-Bentuk Alam Semesta

30

4

Inflasi

32

KESIMPULAN

33

1 Kesimpulan

33

2 Penelitian Selanjutnya

33

APENDIKS

35

VI DAFTAR PUSTAKA

41

v

DAFTAR GAMBAR

GAMBAR

Halaman

=

III.1 Grafik dilaton untuk persamaan

ln

16

III.2 Grafik medan dilaton yang terus membesar, untuk persamaan

= − ln

16

III.3 Grafik jari-jari Maki dan Shiraishi.dengan

= 0 dan

III.4 Grafik jari-jari Maki dan Shiraishi dengan

=−

III.5 Grafik dilaton untuk kasus

=

= ln

,

=1

19

=1

dan

19

+5

III.6 Grafik jari-jari untuk kasus

=

,

= 0 dan

III.7 Grafik jari-jari untuk kasus

=

,

= −70 dan

III.8 Grafik dilaton untuk kasus

=

asimptotik turun

21

=1

22

=1

23 23

III.9 Grafik jari-jari kasus

=

asimptotik turun,

= 0 dan

=1

25

III.10 Grafik jari-jari kasus

=

asimptotik turun,

= 8 dan

=1

25

III.11 Grafik dilaton

<

asimptotik naik,

= ln

III.12 Grafik jari-jari R kasus asimptotik naik,

<

III.13 Grafik jari-jari R kasus asimptotik naik,

<

+5 , ,

III.16 Grafik jari-jari R kasus asimptotik turun,

<

=1

26

= 1 dan

=1

27 27

dengan <

III.17 Gambar medan dilaton kasus asimptotik turun, vi

= 0 dan

<

III.14 Gambar medan dilaton kasus asimptotik turun, III.15 Grafik jari-jari kasus asimptotik turun,

26

= 0 dan

= −50 dan

, >

= 1 28 =1

28 29

III.18 Grafik jari-jari R kasus asimptotik naik,

>

III.19 Grafik jari-jari R kasus asimptotik naik,

>

vii

, ,

= 0 dan

=1

29

= 0 dan

=1

30

DAFTAR TABEL

TABEL

Halaman

IV.I Klasifikasi per Kasus Alam Semesta

viii

33

UCAPAN TERIMA KASIH

Kepada:

1. Allah SWT, kepada-Nya semua bergantung. 2. Ayahanda Mustimar K., Ibunda Dewi Warni, Adinda Siti Rahmayanti, dan M. Fakhrul Rozi atas saran, bimbingan, bantuan, dan nasihatnya dalam menyelesaikan pendidikan sarjana ini. 3. Dr. rer.nat. Bobby Eka Gunara yang sudah mempercayakan pada saya untuk mengerjakan topik ini. 4. Segenap keluarga Fisika Teoretik Energi Tinggi Institut Teknologi Bandung atas saran dan nasihatnya. 5. Segenap keluarga besar Fisika ITB: seluruh staf dosen dan tata usaha yang telah membantu dalam hal administrasi. 6. Teman-teman karib atas bantuan akademis berupa pengunduhan makalah: Ariana A., M. Bahrelfi, Fima I, Andika P, Christina H, Ihan P., Pricilla W.

Bandung, Februari 2012 Trisna Utami 10207016

iii

BAB I PENDAHULUAN I.1. Latar Belakang Dalam karya tulis ini ditinjau sumber [1] terkait dengan evolusi alam semesta. Dengan berbekal pengetahuan tentang matematika dalam Teori Relativitas dan prinsipprinsip fisisnya, akan dijabarkan proses dan analisis tentang bagaimana perkembangan awal alam semesta dengan syarat-syarat batas tertentu. Khususnya dalam kaitannya dengan Teori Inflasi dan hipotesis tentang dilaton, akan ditinjau perilaku alam semesta pada awal-awal kelahirannya.

I.2. Rumusan Masalah Persoalan yang akan ditinjau dalam karya tulis ini adalah: 1. Perumusan persamaan gerak 2. Solusi persamaan gerak dan konsekuensinya 3. Analisis persamaan gerak

I.3. Struktur Penulisan I.3.1. Bab I : Latar Belakang Pada bab ini akan disampaikan latar belakang peninjauan masalah. I.3.2. Bab II : Teori Dasar Pada bab ini akan dibahas prinsip-prinsip matematika dalam peninjauan permasalahan dalam Teori Relativitas. Pembahasan yang dicakup antara lain Prinsip Variasi dan Lagrangian dalam Teori Relativitas Umum. I.1.3. Bab III : Model Einstein-Dilaton Pada bagian ini, dengan berbekal metode pada Bab II, akan dipilih suatu Lagrange tertentu yang kemudian akan divariasikan lalu didapatkan persamaan geraknya. Kemudian dicari solusi persamaan gerak itu dan konsekuensinya bagi perkembangan alam semesta. Akan

dijelaskan

model-model

alam

semesta

seperti

alam

semesta

tertutup,terbuka,dan statik. Selain itu dijelaskan pula tentang relevansi tinjauan karya tulis dengan Teori Inflasi. Dengan berbekal hasil-hasil dari bagian sebelumnya, dimulai suatu analisis mengenai perkembangan (model) alam semesta dikaitkan dengan solusi yang didapat. 1

2

I.3.4. Bab IV: Kesimpulan Akan dirangkum

mengenai hasil yang didapat dan bagaimana langkah ke

penelitian selanjutnya terkait perkembangan topik ini. Setelah membahas kesimpulan, dikemukakan rencana penelitian lebih lanjut yang bisa menginvestigasi model-model alam semesta lain dengan sudut pandang yang berbeda.

BAB II TEORI DASAR II.1.

Variasi Integral Aksi Dalam Teori Relativitas Umum, suatu integral aksi secara umum dapat

dituliskan dalam bentuk [2] : = dengan

−g

adalah Lagrangian untuk medan gravitasi yang dalam hal ini diberikan

sebagai

= , dimana

menyatakan kurvatur skalar Ricci,

Lagrangian untuk medan-medan lain. mana

II. 1

−2

= 8

⁄ , dengan

menyatakan

menyatakan konstanta gravitasi Einstein di

adalah konstanta gravitasi Newton dan

menyatakan

kecepatan cahaya dalam vakum. Suku g menyatakan determinan dari metrik g ditinjau dan

−g

menyatakan elemen volume untuk dimensi

yang

+ 1 yang

bersifat invarian terhadap suatu transformasi koordinat.

Dari prinsip aksi terkecil diketahui bahwa integral aksi pada (II.1) bersifat kritis atau stasioner. Hal ini setara dengan persoalan mencari maksimum dan minimum pada suatu fungsi satu variabel

. Jika nilai ekstrim

titik kritis yaitu titik dimana ′

dicapai pada titik , maka

adalah

bernilai nol. Dalam tinjauan analitis, perubahan aksi

" haruslah bernilai nol untuk suatu perubahan

ke

+ " , dengan nilai " sangat

kecil.

Tinjau suku

−g

dengan mensubtitusikan

= . Variasi suku

−g

dapat dituliskan sebagai berikut :

"

– g d% = "

–g g "

d% + 3

–g g

d%

"& – g g 'd%

II. 2

4

Tensor Ricci

diberikan oleh =

dengan Γ

,

*Γ *

,

,

−

*Γ *

, ,

,

,

+ Γ - Γ,- − Γ -, Γ.-

adalah simbol Christoffel yang dinyatakan oleh

Γ

,

=

*g 1 ,/ *g / *g / g 0 + − 1 2 * * * /

Selanjutnya variasi dari = "2

"

*Γ *

,

,

−

*Γ *

, ,

,

,

+ Γ - Γ,- − Γ -, Γ.- 3

Dipilih suatu koordinat yang disebut dengan koordinat geodesik di mana simbol Christoffel bernilai nol, sehingga

"

= "2

*Γ *

,

,

−

*Γ *

, ,

3

,

,

*&Γ ' *&Γ , ' = − * , * ,

II. 3

,

= ∇, &"Γ ' − ∇. &"Γ , '

Persamaan II. 3 adalah persamaan tensor, maka dapat disimpulkan bentuk di atas berlaku tidak hanya pada koordinat geodesik namun untuk seluruh sistem koordinat dan seluruh titik pada ruang-waktu. Disubstitusikan persamaan II. 3 pada integral pertama persamaan II. 2 – gg "

,

,

=

– gg 6∇, &"Γ ' − ∇. &"Γ , '7

=

– g6∇, &g "Γ ' − ∇. &g "Γ , '7,

,

,

5

– g6∇9 &g "Γ 9 ' − ∇9 &g

=

9

,

"Γ , '7

Selanjutnya dapat diambil II. 4

= :– g∇9 ; 9

:– gg " dengan

; 9 = g "Γ 9 − g

9

"Γ

II. 5

, ,

Divergensi ∇ ; diberikan oleh ∇ ; =

1 *& – g; ' % d * –g

II. 6

dan didapatkan integral pertama dari (II.2) menjadi

–g g "

d

%

=

*& – g; 9 ' % d * 9

II. 7

Dari teorema Gauss, persamaan (II.7) tidak lain adalah integral permukaan pada:– g; , yang sama dengan nol karena variasi Christoffel symbol bernilai nol di batas integrasi. Didapatkan –g g "

II. 8

d% = 0

Integral kedua diberikan oleh "& – gg ' d% =

–g

" g d% +

g " – g d%

6

=

–g

" g d% +

II. 9

" – g d%

Dengan persamaan dg = −gg dg

II. 10

1 1 1 – gg "g "g = − 2 –g 2

II. 11

didapatkan " –g = −

Substitusikan persamaan (II.12) ke dalam (II.10), didapatkan "& – gg ' d% = =

–g –gA

1 – gg "g 2

" g d% − 1 − g 2

d% II. 12

B " g d%

Sehingga untuk integral kedua pada persamaan (II.2) didapatkan "

–C

d% =

1 − C 2

–CA

B "C

II. 13

d%

Sementara untuk suku-suku dari integral aksi (II.1) yang lain adalah ‘gangguan’ dari medan-medan lain selain medan gravitasi, yang bisa dituliskan dalam bentuk

"

–g

d% =

*& – g' D *g

"g

+

*& – g' *g

,9

"g

% ,9 E d

II. 14

7 Dengan g

,9 menyatakan

turunan parsial *g ⁄*

9

. Terlihat bahwa suku kedua dari

persamaan II. 15 tidak lain adalah integral permukaan dan bernilai nol karena variasi

yang sama dengan nol pada batas integral, yaitu:

"

–g

*& – g' D *g

d% =

−

*

*

9

*& – g' 0 1E "g d% *g ,9

II. 15

Jika didefinisikan tensor energi momentum sebagai

G

*& – g' *g –g

2

=

2

−

* *& – g' 3 * 9 *g ,9

II. 16

Didapatkan "

d% =

–g

1 2

– g G "g d%

II. 17

sebagai bagian dari variasi untuk aksi (II.1). Dari persamaan (II.14) dan (II.18), variasi untuk persamaan (II.1) dapat dinyatakan sebagai " =

–g A

1 − g 2

− HG B "g d%

1 − C 2

= HG

II. 18

Syarat " = 0 diperoleh apabila II. 19

II.2. Lagrangian dan Persamaan Gerak

Di lain pihak suatu persamaan aksi dapat dituliskan sebagai suatu fungsi Lagrangian[3] IJK =

MN MO

J, J L ,

d

II. 20

8

dengan

adalah suatu fungsional dari variabel dinamik J, turunannya J L = J⁄

, dan

koordinat . Supaya fungsi Lagrangian ini dapat dipakai, dimanfaatkan Lemma berikut: M

Lemma 1. Jika suatu PM N Q

R

O

d = 0, dengan Q

kontinu dan R

suatu

fungsi sembarang yang dapat diturunkan dua kali serta bernilai nol pada batas-batas =R

integrasi sedemikian sehingga R Bukti. Misalkan Q

≠ 0 untuk suatu

= 0, maka Q

= 0.

= T dalam interval

,

Q T > 0. Dari sifat kekontinuan fungsi maka terdapat suatu nilai

dinyatakan dengan T < T < T di mana Q

. Diasumsikan disekitar T

> 0. Supaya syarat lemma di atas

terpenuhi, diambil R

=W

−T

%

−T

0

%

untuk ∈ T , T d untuk daerah lainnya

Selanjutnya integrasi MN MO

Q

R

d

Q

R

d

dapat dinyatakan sebagai eN eO

Integrasi ini akan bernilai positif. Diperoleh suatu kontradiksi. Kesimpulan yang sama akan diperoleh bila diasumsikan Q T < 0. Didapatkan hasil sebagaimana yang disebutkan oleh lemma. Dalam persamaan II. 21 diasumsikan

terturunkan dua kali terhadap tiga buah

variabelnya. Variabel J divariasikan untuk suatu perubahan yang sangat kecil dan dituliskan sebagai Jf = J + gR dengan g sangat kecil dan R

II. 21

memenuhi syarat Lemma 1 di atas, dimana R

9 merupakan suatu fungsi sembarang dan memiliki turunan kedua yang kontinu dan lenyap di batas-batas integral. Kemudian didefinisikan suatu variasi J

II. 22

"J ≡ Jf − J = gR Persamaan II. 22

diturunkan terhadap

dan dituliskan dengan tanda aksen, sehingga

didapatkan Jf L = J L + gRL sehingga " J L ≡ Jf L − J L = gRL = "J Di sini dapat dilihat bahwa " dan

i

iM

L

yang dioperasikan pada J bersifat komutatif. Maka,

dengan mengoperasikan untuk orde pertama pada g, dengan menggunakan teorema Taylor IJfK = IJ + "JK = =

MN MO

A J, J L ,

MN MO

+

J + gR, J L + gRL , * * gR + gR′B *J *J′

Maka dengan suatu kuantitas yang didefinisikan sebagai " ≡ IJ + "JK − IJK didapatkan " =g

MN MO

* * R′B A R+ *J′ *J

10 Suku terakhir jika diintegrasikan per bagian, akan didapatkan MN MO

* L R *J′

MN * =j Rk − *J′ M O

Suku di dalam kurung siku lenyap karena R " =g Jika J = J

MN MO

j

MN MO

d * A BR d *J′

=R

= 0 sehingga

d * * − A Bk R *J d *J′

adalah suatu fungsi stasioner, maka " haruslah lenyap pada turunan orde

pertama, sehingga, dari Lemma1 di atas didapatkan bahwa J meme...