Fisika Dasar 1 ITB PDF

Preview

Summary

PENERBIT ITB CATATAN KULIAH FI-1101 FISIKA DASAR I (Edisi Revisi) Oleh Dr.Eng. MIKRAJUDDIN ABDULLAH, M.Si. PROGRAM STUDI FISIKA Daftar Isi Bab 1 Gerak Dua Dimensi 1 Bab 2 Gerak Peluru 17 Bab 3 Gerak Melingkar 36 Bab 4 Hukum Newton dan Dinamika 50 Bab 5 Hukum Gravitasi 81 Bab 6 Usaha Energi 99 Bab 7 ...

Description

PENERBIT ITB CATATAN KULIAH

FI-1101

FISIKA DASAR I (Edisi Revisi)

Oleh

Dr.Eng. MIKRAJUDDIN ABDULLAH, M.Si. PROGRAM STUDI FISIKA

Daftar Isi Bab 1

Gerak Dua Dimensi

1

Bab 2

Gerak Peluru

17

Bab 3

Gerak Melingkar

36

Bab 4

Hukum Newton dan Dinamika

50

Bab 5

Hukum Gravitasi

81

Bab 6

Usaha Energi

99

Bab 7

Elastisitas Bahan

131

Bab 8

Momentum Linier dan Impuls

147

Bab 9

Dinamika Benda Tegar

181

Bab 10

Statika Fluida

229

Bab 11

Fluida Dinamik

262

Bab 12

Teori Kinetik Gas

294

Bab 13

Termodinamika

317

Bab 14

Teori Relativitas Khusus

356

ii

Kata Pengantar

Guna memperkaya materi kuliah bagi mahasiswa Tahap Persiapan Bersama (TPB) Institut Teknologi Bandung, kami mencoba menyusun diktat kuliah Fisika Dasar I sebagai pelengkap sejumlah referensi yang telah ada. Di dalam diktat ini kami mencoba menyodorkan pendekatan yang lebih sederhana dalam memahami Fisika Dasar yang merupakan mata kuliah wajib di TPB. Diktat versi revisi ini merupakan perbaikan diktat yang terbit pertama kali tahun 2006. Beberapa kesalahan yang muncul pada diktat versi pertama ditekan seminim mungkin pada diktat versi revisi ini. Format juga ditata ulang sehingga lebih enak untuk dibaca dan dipelajari. Beberapa ilustrasi juga ditambah untuk membuat diktat lebih menarik. Atas hadirnya diktat ini kami mengucakan terima kasih kepada Penerbit ITB yang bersedia menerbitkannya sehingga dapat sampai di tangan para mahasiwa yang mengambil mata kuliah tersebut. Kami menyadari masih banyak kekurangan yang dijumpai dalam diktat ini meskipun sudah dilakukan revisi. Koreksi dari siapa pun, apakah dosen, mahasiswa, atau lainnya sangat kami nantikan untuk perbaikan selanjutnya.

Semoga bermanfaat

Wassalam

Juni 2007

Mikrajuddin Abdullah

iii

Bab 1 Gerak Dua Dimensi Besaran-besaran gerak seperti posisi, perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, dan sebagainya merupakan besaran-besaran vektor. Oleh karena itu pembahasan tentang gerak akan lebih lengkap kalau diungkapkan dengan metode vektor. Awalnya penggunaan medote vektor terasa sulit. Namun, apabila kita sudah terbiasa maka akan mendapatkan bahwa metode vektor cukup sederhana. Analisis yang cukup panjang dan rumit yang dijumpai pada metode skalar sering menjadi sangat singkat dan sederhana jika dilakukan dengan metode vektor. 1.1 Analisis Vektor Untuk Gerak Dua Dimensi Untuk memahami penerapan metode vektor dalam analisis gerak, mari kita mulai mengkaji benda yang melakukan gerak dua dimensi. Beberapa besaran gerak sebagai berikut. Posisi Untuk menjelaskan gerak dua dimensi secara lengkap, kita perlu menggunakan koordinat dua sumbu. Kita gunakan sumbu x yang arahnya horizontal dan sumbu y yang arahnya vertikal. Posisi benda diukur dari pusat koordinat ditulis dalam notasi vektor sebagai

r r = x iˆ + y ˆj

(1.1)

dengan r r : vektor yang pangkalnya di sumbu koordinat dan ujungnya di posisi benda. r r x : komponen vektor r dalam arah sumbu x (proyeksi vektor r sepanjang sumbu x) r r y : komponen vektor r dalam arah sumbu y (proyeksi vektor r sepanjang sumbu y) iˆ

: vektor satuan yang searah dengan sumbu x dan ˆj adalah vektor satuan yang searah sumbu y. Vektor satuan artinya vektor yang panjangnya satu, atau

iˆ = 1 dan ˆj = 1 .

1

r Panjang vektor r memenuhi r r = r = x2 + y2

(1.2)

y

r r

x

Gambar 1.1 Posisi sebuah benda dalam koordinat dua dimensi Sifat perkalian vektor satuan Sebelum melangkah lebih jauh, mari kita lihat sifat perkalian vektor satuan. Sifat perkalian skalar yang dipenuhi adalah

iˆ • iˆ = 1 ˆj • ˆj = 1

iˆ • ˆj = 0 ˆj • iˆ = 0

(1.3)

Perpindahan Misalkan sebuah benda mula-mula berada di titik A dengan vektor posisi Beberapa saat berikutnya, benda tersebut berada pada titik B dengan vektor posisi

r r1 . r r2 .

Kita mendefinisikan perpindahan benda dari titik A ke titik B sebagai r r r ∆r21 = r2 − r1

(1.4)

2

r ∆r21

Li nt as an

be nd a

r r2

y

r r1 x

Gambar 1.2 Vektor perpindahan benda adalah selisih verktor posisi akhir dengan vektor posisi awal r Tampak dari Gbr. 1.2 bahwa, vektor perpindahan ∆r21 adalah vektor yang pangkalnya r r berada di ujung vektor r1 dan kepalanya berada di ujung vektor r2 . r r Kita juga dapat menulis vektor r1 dan r2 dalam komponen-komponennya,

yaitu

r r1 = x1iˆ + y1 ˆj r r2 = x 2 iˆ + y 2 ˆj dengan x1 : komponen vektor y1 : komponen vektor x2 : komponen vektor y2 : komponen vektor

(1.5) r r1 r r1 r r2 r r2

dalam arah x dalam arah y dalam arah x dalam arah y

Dinyatakan dalam komponen-komponen vektor maka kita dapat menulis vektor perpindahan sebagai berikut

r ∆r21 = ( x 2 iˆ + y 2 ˆj ) − ( x1iˆ + y1 ˆj ) = ( x 2 − x1 )iˆ + ( y 2 − y1 ) ˆj

(1.6)

Besar perpindahan benda, yaitu panjang perpindahan, adalah 3

r ∆r21 = ∆r21 = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2

(1.7)

Contoh 1.1

r Mula-mula posisi sebuah benda dinyatakan oleh vektor r1 = 8iˆ + 10 ˆj m. r Beberapa saat berikutnya, posisi benda menjadi r2 = −5iˆ + 20 ˆj m. Berapakah vektor perpindahan serta besar perpindahan benda? Jawab

r r r ∆r21 = r2 − r1

= (−5iˆ + 20 ˆj ) − (8iˆ + 10 ˆj ) = (−5 − 8)iˆ + (20 − 10) ˆj = − 13iˆ + 10 ˆj m

Besar perpindahan benda ∆r21 = (−13) 2 + (10) 2 = 269 = 16,4 m

Contoh 1.2

r Posisi benda tiap saat ditentukan oleh persamaan r = 10t iˆ + (10t − 5t 2 ) ˆj (satuan meter). (a) Tentukan posisi benda pada saat t = 1 s dan t = 10 s. (b) Tentukan perpindahan benda selama selang waktu t = 1 s sampai t = 10 s. Jawab (a) Posisi benda saat t = 1 s

r r1 = 10 × 1iˆ + (10 × 1 − 5 × 12 ) ˆj = 10 iˆ + 5 ˆj m Posisi benda saat t = 10 s

r r2 = 10 × 10 iˆ + (10 × 10 − 5 × 10 2 ) ˆj = 100 iˆ − 400 ˆj m

4

(b) Perpindahan benda antara t = 1 s sampai t = 10 s r r r ∆r21 = r2 − r1

= (100iˆ − 400 ˆj ) − (10iˆ + 5 ˆj ) = (100 − 10)iˆ + (−400 − 5) ˆj = − 90iˆ − 405 ˆj m

Kecepatan Rata-Rata Kita mendefinisikan kecepatan rata-rata sebagai perbandingan antara perpindahan dengan lama waktu melakukan perpindahan. Misalkan saat t1 posisi benda r r adalah r1 dan pada saat t2, posisi benda adalah r2 . Maka r r r Perpindahan benda adalah: ∆r21 = r2 − r1 Lama waktu benda berpindah adalah: ∆t = t 2 − t1

Definisi kecepatan rata-rata adalah ∆r r v = 21 ∆t

(1.8)

Di sini kita gunakan tanda kurung siku, 〈…〉, sebagai simbol untuk rata-rata. Kecepatan rata-rata juga merupakan besaran vektor. Contoh 1.3

r Pada saat t = 2 s posisi sebuah benda adalah r1 = 10iˆ m dan pada saat t = 6 s r posisi benda menjadi r2 = 8 ˆj m. Berapakah kecepatan rata-rata benda selama perpindahan tersebut? Jawab Perpindahan benda

r r r ∆r21 = r2 − r1 = (8 ˆj ) − (10iˆ) = −10iˆ + 8 ˆj m. Lama perpindahan benda ∆t = 6 – 2 = 4 s

5

Kecepatan rata-rata benda ∆r r − 10iˆ + 8 ˆj = −2,5iˆ + 2 ˆj m/s v = 21 = ∆t 4 Contoh 1.4 r Posisi sebuah benda yang sedang bergerak memenuhi hubungan r = 3iˆ + 5t 2 ˆj

m. Berapakah kecepatan rata-rata benda antara t = 0 s sampai t = 5 s? Jawab Posisi benda saat t = 0 s r r1 = 3iˆ + 5 × 0 2 ˆj = 3iˆ m

Posisi benda saat t = 5 s r r2 = 3iˆ + 5 × 5 2 ˆj = 3iˆ + 125 ˆj m

Perpindahan benda r r r ∆r21 = r2 − r1 = (3iˆ + 125 ˆj ) − (3i ) = 125 ˆj

Lama perpindahan benda ∆t = 5-0 = 5 s Kecepatan rata-rata benda ∆r r 125 ˆj = 25 ˆj m/s. v = 21 = ∆t 5 Kecepatan Sesaat Kecepatan sesaat diperoleh dari kecepatan rata-rata dengan mengambil selang

waktu yang sangat kecil, yaitu mendekati nol. Dapat pula dikatakan bahwa kecepatan sesaat merupakan kecepatan rata-rata pada selang waktu yang sangat kecil (mendekati nol). Jadi, definisi kecepatan sesaat adalah r ∆r v = 21 ∆t

(1.9)

dengan ∆t → 0 . Definisi ini dapat ditulis dalam bentuk diferensial sebagai berikut

6

r dr v= dt

(1.10)

Contoh 1.5

r Sebuah benda bergerak dengan posisi yang memenuhi r = 4t iˆ + (6t − 5t 2 ) ˆj m.

Tentukan kecepatan sesaat benda pada saat t = 2 s. Jawab Kecepatan sesaat benda pada sembarang waktu adalah

r dr v= = 4iˆ + (6 − 10t ) ˆj m/s dt Kecepatan sesaat benda pada saat t = 2 menjadi r v = 4iˆ + (6 − 10 × 2) ˆj = 4iˆ − 14 ˆj m/s

Percepatan rata-rata Percepatan rata-rata didefinisikan sebagai perbandingan antara perubahan kecepatan benda dengan lama kecepatan tersebut berubah. Misalkan saat t1 kecepatan r r sesaat benda adalah v1 dan pada saat t2 kecepatan sesaat benda dalah v 2 . Maka r r r Perubahan kecepatan benda adalah ∆v 21 = v 2 − v1 Lama waktu kecepatan berubah adalah ∆t = t 2 − t1

Definisi percepatan rata-rata adalah r ∆v 21 r a = ∆t

(1.11)

Percepatan rata-rata juga merupakan besaran vektor. Contoh 1.6 Sebuah benda bergerak dengan kecepatan yang memenuhi persamaan

[

]

r v = 2 cos (0,1πt ) iˆ + sin (0,1πt ) ˆj m/s. Tentukan percepatan rata-rata benda antara selang waktu t1 = 10/6 s sampai t2 = 10 s.

7

Jawab Kecepatan benda saat t = 10/6 s ⎧ ⎛ ⎧ ⎛π ⎞ 10 ⎞ 10 ⎞ ⎫ ⎛ ⎛π ⎞ ⎫ v1 = 2⎨cos⎜ 0,1π ⎟ iˆ + sin ⎜ 0,1π ⎟ ˆj ⎬ = 2⎨cos ⎜ ⎟ iˆ + sin ⎜ ⎟ ˆj ⎬ 6⎠ 6⎠ ⎭ ⎝ ⎝6⎠ ⎭ ⎩ ⎝ ⎩ ⎝6⎠

⎧ 3 1 = 2⎨ iˆ + 2 ⎩ 2

⎫ ˆj ⎬ = 3 iˆ + ˆj m/s ⎭

Kecepatan benda saat t = 10 s

{

} {

}

v 2 = 2 cos(0,1π × 10)iˆ + sin (0,1π × 10 ) ˆj = 2 cos (π )iˆ + sin (π ) ˆj

{

}

= 2 (−1)iˆ + 0 ˆj = −2 iˆ m/s Perubahan kecepatan benda antara t = 10/6 sampai t = 10 s adalah

r r r ∆v 21 = v 2 − v1 = (−2iˆ) − ( 3iˆ + ˆj ) = −(2 + 3 )iˆ − ˆj m/s Lama waktu perubahan kecepatan benda ∆t = 10 – 10/6 = 60/6 – 10/6 = 50/6 s Percepatan rata-rata benda r ∆v 21 − (2 + 3 )iˆ − ˆj r a = = = −0,45 iˆ − 0,12 ˆj m/s2. ∆t 50 / 6 Percepatan sesaat Jika selang waktu yang kita ambil dalam menghitung percepatan rata-rata mendekati nol, maka percepatan rata-rata tersebut berubah menjadi percepatan sesaat. Jadi, percpetan sesaat didefinisikan sebagai r r ∆v 21 a= ∆t

(1.12)

dengan ∆t diambil menuju nol. Juga definisi ini dapat ditulis dalam bentuk diferensial sebagai berikut r r dv a= dt

(1.13)

8

Contoh 1.7 Kecepatan sesaat benda sebagai fungsi waktu diberikan oleh hubungan

r v = 10t 2 iˆ + 3 ˆj m/s. Berapakah percepatan sesaat benda pada saat t = 5 s?

Jawab Pertama kita tentukan percepatan sesaat pada sembarang waktu, yaitu r r dv a= = 20t iˆ m/s2 dt

Percepatan sesaat pada saat t = 5 s adalah r a = 20 × 5 iˆ = 100iˆ m/s2

Sampai di sini kita sudah membahas bagaimana mendapatkan besaran-besaran gerak dimulai dari posisi benda. Dari posisi benda kita mendapatkan kecepatan rata-rata dan kecepatan sesaat dan dari kecepatan sesaat kita bisa menentukan percepatan rata-rata dan percepatan sesaat. Bagaimana dengan sebaliknya? Jika kita mengetahui percepatan, dapatkah kita menentukan kecepatan? Dan jika kita mengetahui kecepatan, dapatkan kita menentukan posisi? Jawabannya, dapat. Dan itu yang akan kita pelajari selanjutnya. 1.2 Menentukan kecepatan dari percepatan Kita mulai dari definisi percepatan sesaat pada persamaan (1.13). Persamaan tersebut dapat ditulis ulang menjadi r r dv = adt

(1.14)

r Lalu kita integral ruas kiri dan kanan dengan batas-batas: (i) kecepatan dari v o sampai r v dan (ii) waktu dari t o sampai t : r v

t

r vo

to

r r ∫ dv = ∫ adt

(1.15)

r r Integral ruas kiri bisa segera diselesaikan dan hasilnya adalah v − v o . Integral di ruas

9

r kanan baru dapat dilakukan setelah kita mengetahui bentuk eksplisit dari fungsi a . r r Dengan mengganti integral ruas kiri dengan v − v o kita dapatkan

t

r r r v − vo = ∫ adt to

atau

t

r r r v = v o + ∫ adt

(1.16)

to

Persamaan (1.16) merupakan bentuk yang umum yang berlaku untuk percepatan apa pun, baik yang konstan maupun tidak konstan. Kalau kita tinjau kasus khusus untuk percepatan yang konstan, maka percepatan pada integral persamaan (1.16) dapat dikeluarkan dari integral dan kita peroleh

t

r r r v = v o + a ∫ dt to

r r = vo + a (t − t o )

(1.17)

Contoh 1.8 (percepatan konstan)

Pada saat to = 2 s sebuah partikel memiliki kecepatan 3iˆ + 4 ˆj m/s. Berapa kecepatan partikel pada sembarang waktu jika percepatannya adalah − 10iˆ + 2 ˆj m/s2? Jawab r r Dari soal kita daatkan informasi to = 2 s, vo = 3iˆ + 4 ˆj m/s dan a = −10iˆ + 2 ˆj m/s2.

Karena percepatan konstan maka kita bias langsung menggunakan persamaan (1.17) r r r v = v o + a (t − t o ) = (3iˆ + 4 ˆj ) + (−10iˆ + 2 ˆj )(t − 2) = [3 − 10(t − 2)]iˆ + [4 + 2(t − 2)] ˆj 10

= (23 − 10t )iˆ + (2t ) ˆj m/s

Contoh 1.9 (percepatan sembarang)

r Sebuah benda memiliki percepatan a = −4tiˆ + 5t 2 ˆj m/s2. Jika pada saat t = 4 r kecepatan benda adalah vo = −10 ˆj m/s, tentukan kecepatan benda pada sembarang

waktu. Jawab Karena benda memiliki percepatan yang sembarang, maka kita gunakan persamaan umum (1.16). Kita dapatkan kecepatan benda adalah t

r r r v = v o + ∫ adt to

t

= −10 ˆj + ∫ (−4tiˆ + 5t 2 ˆj )dt 4

t

(

)

(

)

5 ⎤ 5 ⎡ = −10 ˆj + ⎢− 2t 2 iˆ + t 3 ˆj ⎥ = −10 ˆj − 2 t 2 − 16 iˆ + t 3 − 64 ˆj 3 ⎦4 3 ⎣

(

)

350 ⎞ ˆ ⎛5 = 32 − 2t 2 iˆ + ⎜ t 3 − ⎟ j m/s 3 ⎠ ⎝3 1.3 Menentukan posisi dari kecepatan Kita berangkat dari definisi kecepatan sesaat yang diberikan oleh persamaan (1.19). Kita dapat menulis ulang persaman tersebut menjadi r r dr = v dt

(1.18)

r Misalkan pada saat to benda berada pada posisi ro dan dapa saat t sembarang posisi r benda dinyatakan oleh r . Dua ruas dalam persamaan (1.18) dapat diintegral menjadi

11

r r

t

r ro

to

r r ∫ dr = ∫ v dt

(1.19)

r r Integral di ruas kiri dapat segera diselesaikan dan memberikan r − ro . Integral di ruas r kanan baru dapat diselesaikan setelah kita mengetahui bentuk eksplisit dari fungsi v . r r Dengan mengganti ruas kiri persamaan (1.19) dengan r − ro kita peroleh

t

r r r r − ro = ∫ v dt to

atau t

r r r r = ro + ∫ v dt

(1.20)

to

Persamaan (1.20) merupakan bentuk yang umum yang berlaku untuk kecepatan apa pun, baik yang konstan maupun tidak konstan. Kalau kita tinjau kasus r khusus untuk kecepatan yang konstan, v o , maka kecepatan pada integral persamaan

(1.20) dapat dikeluarkan dari integral dan kita peroleh

t

r r r r = ro + vo ∫ dt to

r r = ro + v o (t − t o )

(1.21)

Kasus khusus lainnya adalah untuk gerak dengan percepatan yang konstan. Untuk kasus ini maka kecepatan pada integral persamaan (1.20) diganti dengan kecepatan pada persamaan (1.17) sehingga diperoleh

t

r r r r r = ro + ∫ [vo + a (t − t o )]dt to

t

t

to

to

r r r = ro + ∫ v o dt + ∫ a (t − t o )dt

12

t

t

to

to

r r r = ro + vo ∫ dt + a ∫ (t − t o )dt r r 1r = ro + vo (t − t o ) + a (t − t o ) 2 2

(1.22)

Contoh 1.10 (percepatan konstan)

r Sebuah benda bergerak dengan percapatan a = −10 ˆj m/s2. Pada waktu nol detik, kecepatan benda adalah 5iˆ m/s dan posisinya 50 ˆj m. Tentukan: (a) kecepatan benda pada sembarang waktu (b) Posisi benda pada sembarang waktu. Jawab

r r r Dari soal kita dapat informasi to = 0, a = −10 ˆj m/s2, vo = 5 iˆ m/s, dan ro = 50 ˆj m. a) Karena percepatan benda konstan maka kecepatan benda pada sembarang waktu tentukan dari persamaan (2.17), yaitu

r r r v = v o + a (t − t o ) = 5 iˆ + (−10 ˆj )(t − 0) = 5 iˆ − 10 t ˆj m/s

b) Posisi benda tiap saat dihitung dengan persamaan (1.22)

r r r 1r r = ro + vo (t − t o ) + a (t − t o ) 2 2 1 = 50 ˆj + (5iˆ)(t − 0) + (−10 ˆj )(t − 0) 2 2 = 50 ˆj + 5t iˆ − 5t 2 ˆj = 5t iˆ + (50 − 5t 2 ) ˆj m

Contoh 1.11 r Pada saat t = 0, benda berada pasa posisi ro = −20iˆ + 10 ˆj m. Benda tersebut

r bergerak dengan kecepatan v = 10iˆ + 5t 1 / 2 ˆj

m/s. Tentukan posisi benda pada 13

sembarang waktu Jawab Karena percepatan benda tidak konstan maka kita gunakan bentuk umum yang diungkapkan oleh persamaan (1.20) t

r r r r = ro + ∫ v dt to

t

(

)

= (−20iˆ + 10 ˆj ) + ∫ 10iˆ + 5t 1 / 2 ˆj dt 0

t

10 ⎤ ⎡ = (−20iˆ + 10 ˆj ) + ⎢10tiˆ − t 3 / 2 ˆj ⎥ 3 ⎦0 ⎣

10 10 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ = (−20iˆ + 10 ˆj ) + ⎜10tiˆ − t 3 / 2 ˆj ⎟ = (10t − 20)iˆ + ⎜10 − t 3 / 2 ⎟ ˆj m 3 3 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ Soal dan Penyelesaian

r 1) Kecepatan sebuah mobil dapat dinyatakan dalam persamaan v = 30iˆ + 50 ˆj km/jam. r Pada saat t = 0 posisi mobil adalah ro = 10iˆ − 30 ˆj km. Tentukan posisi mobil pada saat

t = 0,5 jam. Jawab Dari bentuk kecepatan, tampak bahwa gerakan mobil merupakan gerak dengan kecepatan konstan, sehingga kita dapat langsung menggunakan rumus

r r r r = ro + v t = (10iˆ − 30 ˆj ) + (30iˆ + 50 ˆj ) × 0,5 = (10iˆ − 30 ˆj ) + (15iˆ + 25 ˆj ) = (10 + 15)iˆ + (−30 + 25) ˆj = 25iˆ − 5 ˆj km.

14

r 2) Posisi sebuah benda memenuhi persamaan r (t ) = t 4 iˆ − 2tˆj m. Tentukan: a) Posisi benda pada saat t = 1 s b) Posisi benda pada saat t = 3 s c) Perpindahan benda antara t = 1 s sampai t = 3 s. d) Kecepatan rata-rata benda antara t = 1 s sampai t = 3 s. e) Kecepatan sesaat benda Jawab

a)

r r (1) = 14 iˆ − 2 × 1 ˆj = 1iˆ − 2 ˆj m.

b)

r r (3) = 3 4 iˆ − 2 × 3 ˆj = 81iˆ − 6 ˆj m.

c)

r r r ∆r = r (3) − r (1) = (81iˆ − 6 ˆj ) − (1iˆ − 2 ˆj ) = 80iˆ − 4 ˆj m.

d) Selang waktu perpindahan benda ∆t = 2 s. Kecepatan rata-rata benda r r ∆r 80iˆ − 4 ˆj 80 ˆ 4 ˆ v = = = i − j = 40iˆ − 2 ˆj m/s. 2 2 2 ∆t

e)

r r dr v= = 4t 3iˆ − 2 ˆj m/s dt

r 3) Antara t = 1 s sampai t = 3 s kecepatan sebuah benda adalah v1 = 10iˆ m/s dan antara r t = 3 s sampai t = 8 s, kecepatan benda adalah v 2 = 4iˆ + 8 ˆj m/s. Berapa kecepatan rata-rata benda antara t = 1 s sampai t = 8 s? Jawab Kita hitung dulu perpindahan total benda. Penpindahan benda antara t = 1 s sampai t = 3 s adalah

r r ∆r1 = v1 ∆t1 = (10iˆ) × (3 − 1) = 20 iˆ m. Penpindahan benda antara t = 3 s sampai t = 8 s adalah

r r ∆r2 = v 2 ∆t 2 = (4iˆ + 8 ˆj ) × (8 − 3) = 20 iˆ + 40 ˆj m.

15

Perpindahan total benda antara t = 1 s sampai t = 8 s

r r r ∆r = ∆r1 + ∆r2 ...