Cookbook Partialbruchzerlegung PDF

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Mathe 1 ws18/2019...

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Das PARTIALBRUCHZERLEGUNGs-Kochbuch

Die Partialbruchzerlegung: Die Partialbruchzerlegung wird bei der Berechnung von Integralen angewendet. Man will mit der Partialbruchzerlegung erreichen, das im Zähler keine Unbekannte mehr steht (x) und man so einfacher Integrieren kann. Hat man z.B. ein Integral, das wie folgt aussieht: b

x a

3x  1 2

dx

 4x  3

so kann man die Partialbruchzerlegung anwenden. Für die Partialbruchzerlegung ermittelt man im ersten Schritt die Nullstellen des Nenners. In unserem Beispiel würde das wie folgt aussehen: Schritt 1: Nennernullstellen ermitteln 0=x

2

 4x  3

x 1/2 = 

x 1/2 = 

p 2

4 2

p 2

±

±

2

q 4 2

2

3

x 1= 1 x 2=3

Man kann also für die Nennerfunktion x 2  4x  3 auch schreiben Funktion würden nun folgendermassen aussehen: b

 a

3x  1 x 1 ฀ x 3

x1

฀ x 3

und unsere

dx

Da man nun aus der Bruchrechnung weiss, das man zwei Brüche addiert indem man die Nenner gleich macht, könnte man auch für den Bruch schreiben: A x3



B x 1

=

A฀ x  1

 B฀ x3 x  3 ฀ x 1

Da man den Faktor des Zählers noch nicht kennt, haben wir hier Variablen für die Unbekannten eingesetzt (A, B). Auf die gesamte Funktion angewendet kann man also sagen: Schritt 2: Variablen A,B für Zähler ermitteln 3x  1 x1

http://www.sledge.de/vwi/

฀ x 3

=

A฀ x  1

B ฀ x 3 x 3 ฀ x  1

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Das PARTIALBRUCHZERLEGUNGs-Kochbuch

Im nächsten Schritt können wir nun den Zähler emitteln, denn wir wissen nun, das 3x  1 = A ฀ x  1  B ฀ x  3 ist und weiterhin kennen wir Werte für x aus der Ermittlung der Nennernullstellen ( x 1 = 1 ; x 2 = 3 ). Wir können also sagen: Schritt 3: Variablen A,B ausrechnen 3x  1 = A ฀ x  1

 B ฀ x  3  mit x =

3฀1  1 = A ฀ 1  1

3x  1 = A ฀ x  1

 B ฀ x  3  mit x = 3

3฀31= A฀ 31

 B฀ 13

4 = A ฀ 0  B ฀ 2

10 = A ฀ 2  B ฀ 0

4 = 2฀ B

10 = 2 ฀ A

B=2

 B฀ 33

A=5

Nun können wir also für unsere Ursprungsfunktion sagen: Schritt 4: Ursprungsfunktion als Partialbruch schreiben b

x

b

3x  1 2

a

 4x  3

dx =

 a

b

5 x3

dx

 a

2 x 1

dx

was für nun problemlos =;-) integrieren können: Schritt 5: Partialbruch integrieren b

 a

= 5 ฀ ln x  3 | a

b

= 5 ฀ ln b  3

b

5 x3

dx

 a

2 x 1

dx

  2 ฀ ln x  1 | ab

  2 ฀ ln b  1  5 ฀ ln a  1   2 ฀ ln a 

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Man kann also allgemein sagen, das folgende 5. Schritte bei der Partialbruchzerlegung angewendet werden müssen: 1. die Nennernullstellen ermitteln 2. Variablen A,B für den Zähler ermitteln 3. die Variablen A,B ausrechnen 4. die Ursprungsfunktion als Partialbruch schreiben 5. den Partialbruch integrieren

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