Musteraufgaben zur Partialbruchzerlegung PDF

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Schröder

QdL-Wiederholungskurs Analysis

Musteraufgaben zu LE 5

Lösungen der Musteraufgaben zu Lerneinheit 5 5.1 Partialbruchzerlegung Musteraufgabe 5.1: 𝐚) ∫

−3𝑥 2 + 18𝑥 + 24 𝑑𝑥 (3𝑥 + 6)(𝑥 2 − 4)

𝑓(𝑥) =

−3𝑥 2 + 18𝑥 + 24 −3𝑥 2 + 18𝑥 + 24 −𝑥 2 + 6𝑥 + 8 = = (3𝑥 + 6)(𝑥 2 − 4) 3(𝑥 + 2)2 (𝑥 − 2) (𝑥 + 2)2 (𝑥 − 2)

Ansatz zur Partialbruchzerlegung: −𝑥 2 + 6𝑥 + 8 𝐴 𝐵 𝐶 = + + 2 2 (𝑥 + 2) (𝑥 − 2) 𝑥 + 2 (𝑥 + 2) 𝑥−2

⇒ −𝑥 2 + 6𝑥 + 8 = 𝐴(𝑥 + 2)(𝑥 − 2) + 𝐵(𝑥 − 2) + 𝐶 (𝑥 + 2 )2 = 𝐴𝑥 2 − 4𝐴 + 𝐵𝑥 − 2𝐵 + 𝐶𝑥 2 + 4𝐶𝑥 + 4𝐶

Die Konstanten 𝐴, 𝐵, 𝐶 werden mit Hilfe der Einsetzmethode bestimmt:

𝑥 = 2:

16 = 16𝐶 ⇒ 𝐶 = 1

𝑥 = −2: − 8 = −4𝐵 ⇒ 𝐵 = 2

Leider können nicht alle gesuchten Konstanten durch die Einsetzmethode berechnet werden. Das geht immer dann nicht, wenn der Nenner des zu zerlegenden Bruchs mehrfache Nullstellen besitzt. Die Konstante 𝐴 wird durch einen Koeffizientenvergleich von 𝑥 2 bestimmt: −1 = 𝐴 + 𝐶

⇒ 𝐴 = −2

Damit erhalten wir: 𝑓(𝑥) =

−3𝑥 2 + 18𝑥 + 24 −2 2 1 = + + (3𝑥 + 6)(𝑥 2 − 4) 𝑥 + 2 (𝑥 + 2)2 𝑥 − 2

Es gilt also ∫

2 −3𝑥 2 + 18𝑥 + 24 1 −2 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 = ∫ 2 2 𝑥+2 (𝑥 + 2 ) (3𝑥 + 6)(𝑥 − 4) 𝑥−2

= −2 ln|𝑥 + 2| − 𝐛) ∫

(𝑥 2

4 + ln|𝑥 − 2| + 𝐶 (𝑥 + 2)3

2𝑥

− 1)√(𝑥 − 1)2

2𝑥

(𝑥 2 − 1 )√(𝑥 − 1 )2

=

𝑑𝑥

𝐴 𝐵 𝐶 2𝑥 = + + (𝑥 + 1)(𝑥 − 1 )2 𝑥 + 1 𝑥 − 1 (𝑥 − 1)2

⇒ 2𝑥 = 𝐴(𝑥 − 1)2 + 𝐵(𝑥 + 1)(𝑥 − 1 ) + 𝐶(𝑥 + 1)

1

Schröder

QdL-Wiederholungskurs Analysis

Musteraufgaben zu LE 5

Einsetzmethode: 𝑥 = 1: 2 = 2𝐶

⇒𝐶 =1

𝑥 = −1: − 2 = 4𝐴 ⇒ 𝐴 = −

1 2

Koeffizientenvergleich für 𝑥 2 : 0 = 𝐴 + 𝐵 ⇒ 𝐵 = 2𝑥

(𝑥 2 − 1 )√(𝑥 − 1 )2 ∫

=

1

2

1 1 1 1 1 2𝑥 = − ∙ + ∙ + (𝑥 + 1)(𝑥 − 1 )2 2 𝑥 + 1 2 𝑥 − 1 (𝑥 − 1)2

1 1 1 1 1 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑑𝑥 (𝑥 − 1)2 2 𝑥+1 2 𝑥−1 ( 𝑥 2 − 1 )√(𝑥 − 1 )2 2𝑥

1 1 2 = − ln|𝑥 + 1| + ln|𝑥 − 1| − +𝐶 (𝑥 − 1 )3 2 2

2...