Musteraufgaben zur Extremwertberechnung PDF

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Wintersemester
Modul Analysis
Aufgaben...

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Schröder

QdL-Analysis (WI)

Musteraufgaben zu Extremwerten

Musteraufgaben zu Extremwerten Aufgabe 1: Berechnen Sie lokale und globale Extremwerte der folgenden Funktionen: 𝜋

𝜋

a) 𝑓: (− 2 , 2 ) → ℝ, 𝑓(𝑥) = 3 ∙ sin 𝑥 + √3 ∙ cos 𝑥

Lösung: Berechnung der Ableitung: 𝑓 ′ (𝑥) = 3 ∙ cos 𝑥 − √3 ∙ sin 𝑥 = 0 sin 𝑥

⇒ tan 𝑥 = cos 𝑥 = √3 ⇒ 𝑥1 = arctan √3 =

𝜋

3

Aufgrund der Eindeutigkeit der Funktion 𝑦 = arctan 𝑥 ist dies die einzige Nullstelle. 𝑓 ′′ (𝑥) = −√3 cos 𝑥 − 3 sin 𝑥 𝜋 𝜋 𝜋 ⇒ 𝑓 ′′ ( ) = −√3 cos − 3 sin = 3 3 3 1 1 − √3 ∙ − 3 ∙ √3 2 2 < 0. Bild 1: Funktion aus Musteraufgabe 1 a)

An der Stelle 𝑥1 =

𝜋

3

befindet sich ein Maximum. Es handelt sich um ein globales Maximum.

b) 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 3𝑒 −6𝑥 + 9𝑒 3𝑥 + 1

𝑓 ′ (𝑥) = −18𝑒 −6𝑥 + 27𝑒 3𝑥 = 0 ⇒ 9𝑒 −6𝑥 (−2 + 3𝑒 9𝑥 ) = 0 2 1 2 ⇒ 𝑥1 = ∙ ln 3 3 9 𝑓 ′′ (𝑥) = 108𝑒 −6𝑥 + 81𝑒 3𝑥

⇒ −2 + 3𝑒 9𝑥 = 0

⇒ 𝑒 9𝑥 =

1 2 2 2 1 2 ⇒ 𝑓 ′′ ( ∙ ln ) = 108 exp(− ln ) + 81exp( ln ) 9 3 3 3 3 3 2

2

2

1

2

2

2

1

= 108exp (ln3 ∙ (− 3)) + 81exp(ln( 3 ) ∙ ) = 108 ∙ exp(− ) + 81 ∙ exp( ) 3 3 3 3 3 2 = 72 exp (− ) 3

1 + 54 exp ( ) > 0 3 1

2

An der Stelle 𝑥1 = 9 ∙ ln befindet sich ein 3 Minimum. Handelt es sich um ein globales Minimum? Ja, denn es gilt: lim 𝑓(𝑥) = +∞ und lim 𝑓(𝑥) = +∞.

𝑛→∞

𝑛→−∞

Bild 2: Funktion aus Aufgabe 1 b)

© 2015 R. Schröder

1

Schröder

QdL-Analysis (WI)

c) 𝑓: ℝ+ → ℝ, 𝑦 = 𝑓(𝑥) = ln (

Musteraufgaben zu Extremwerten

(𝑥+2)2 (𝑥+3)2 4𝑥2

)

Wegen 𝑓(𝑥) = 2 ln(𝑥 + 2) + 2 ln(𝑥 + 3) − 2 ln(2𝑥 ) gilt: 𝑦′ =

2 2 2 2𝑥(𝑥 + 2) + 2𝑥(𝑥 + 3) − 2(𝑥 + 2)(𝑥 + 3) + − = 𝑥+2 𝑥+3 𝑥 𝑥(𝑥 + 2)(𝑥 + 3)

2𝑥 2 − 12 = 0 ⇒ 𝑥1 = √6 = 𝑥(𝑥 + 2)(𝑥 + 3) 𝑦 ′′ =

4𝑥 2 (𝑥 + 2)(𝑥 + 3) − (2𝑥 2 − 12)[(𝑥 + 2)(𝑥 + 3) + 𝑥(𝑥 + 3) + 𝑥(𝑥 + 2)] 𝑥 2 (𝑥 + 2)2 (𝑥 + 3)2

⇒ 𝑦 ′′ (√6) > 0

Das erkennt man sofort, weil der erste Summand des Zählers der Ableitung positiv ist, der zweite Summand des Zählers verschwindet, der Nenner wiederum positiv ist. Wegen lim 𝑓(𝑥) = ∞, lim 𝑓(𝑥) = ∞, handelt es sich um ein globales Minimum. 𝑛→∞

𝑛→0

Bild 3: Funktion aus Aufgabe 5.1 c)

© 2015 R. Schröder

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