Cours Nombres complexes PDF

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Cours de mathématiques pour les premières technologique STI2D sur les nombres complexes....

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CH : 6 NOMBRES COMPLEXES Histoire : L’histoire de racines carrées de nombres négatifs débute en Italie pour la résolution d’équations du 3 ème degré avec Jérôme Cardan (1501-1576). Raphaël Bombelli (1525-1572) les appelle « nombres impossibles » et introduit la règle -1× -1 = -1. René Descartes (1596-1650) les nomme « nombres imaginaires ». Leonhard Euler (1707-1783) introduit la notation i au lieu de -1 pour éviter certaines erreurs. Augustin Fresnel (1788-1827), physicien français, les utilise dans la théorie ondulatoire de la lumière. « Les nombres complexes sont nécessaires pour représenter, modéliser et traiter des signaux électromagnétiques, acousti ques … Sans eux, aucun progrès, dans plusieurs domaines techniques (télécommunications, audiométrie, imagerie médicale …), n’aurait pu être réalisé »

I)

De nouveaux nombres

1) Introduction Activité d’introduction : algomaths n°1 p 212 Dans tout ce chapitre, on admet l’existence d’un nouveau nombre imaginaire, noté i, dont le carré est -1. Définition et propriété : On appelle nombre complexe, tout nombre z qui s’écrit : z = a + bi. Avec a et b deux nombres réels. Le nombre réel a est appelé partie réelle de z. On le note Re(z). Le nombre réel b est appelé partie imaginaire de z. On le note Im(z). Tout nombre complexe s’écrit de façon unique sous la forme z = a + bi. Cette écriture s’appelle forme algébrique de z. Exemple :

Remarques : -

Tous les nombres réels sont des nombres complexes. En effet, un nombre réel x s’écrit x + 0i. Les nombres complexes dont la partie réelle est nulle s’écrivent z = bi où b est un nombre réel. On dit que ce sont des imaginaires purs. L’ensemble des nombre complexes est noté : ℂ

2) Complexe conjugué Définition : Soit z un nombre complexe avec z = a + bi (a et b étant deux nombres réels) On appelle complexe conjugué de z, le nombre complexe noté 𝑧 défini par 𝑧 = 𝑎−𝑏𝑖 Exemple :

Remarque : Pour tout nombre complexe z, on a : 𝑧 = z

II)

Opération sur les nombres complexes

On admettra que l’on définit dans l’ensemble des nombres complexes ℂ une addition, une soustraction et une multiplication pour lesquelles les règles de calcul sont les mêmes que dans l’ensemble des réels ℝ avec i² = -1. 1) Addition, soustraction et multiplication Exemple : Soit z1 = 2 + 5i

et z2 = 4 - i deux nombres complexes.

On a : z1 + z2 = (2 + 5i) + (4 – i) = 2 + 5i + 4 – i = 6 + 4i

« on additionne séparément les parties réelles et les parties imaginaires »

On a : z1 - z2 = (2 + 5i) - (4 – i) = 2 + 5i - 4 + i = -2 + 6i

« on soustrait séparément les parties réelles et les parties imaginaires »

On a z1×z2 = z1z2 = (2 + 5i)(4 – i) = 8 – 2i + 20i + 5 = 13 + 18i « on applique la double-distributivité en se souvenant que i² = -1 et en réduisant les parties réelles et imaginaires » Recommencer avec z 1’ = -5 + 3i 1 1 Recommencer avec z 1’’ = + i 2 3

et et

z2’ = 3i + 8 2 z2’’ = 4 – i 5

Un cas important : Propriété : Soit z = a + bi un nombre complexe. On a alors : z×𝑧 = a² + b² (et est un nombre positif) Preuve :

Exemple : Avec les nombres de l’exercice précédent, on obtient : z1×𝑧1 = 2² + 5² = 4 + 25 = 29 … 2) Inverse et quotient Propriété : Soit z = a + bi et z’ = a’ + b’i deux nombres complexes (avec z’ ≠ 0). 𝑧 1 1 L’inverse de z est un nombre complexe noté . Sa forme algébrique se calcule à partir de l’égalité : = z z 𝑧×𝑧 Le quotient des nombres z’ par z se note

z’ 𝑧′×𝑧 z’ . Sa forme algébrique se calcule à partir de l’égalité : = z z 𝑧×𝑧

Exemple :

3) Complexe conjugué et opérations. Propriété : Soit z et z’ deux nombres complexes. 𝑧 +𝑧′ = 𝑧 + 𝑧′

Le conjugué d’une somme est égale à la somme des conjugués.

𝑧 ×𝑧′ = 𝑧 × 𝑧′

Le conjugué d’un produit est égal au produit des conjugués.

𝑧

( )= 𝑧′

𝑧 𝑧′

III)

Représentation géométrique d’un nombre complexe

Le conjugué d’un quotient est égal au quotient des conjugués.

Dans toute la suite du cours, le plan est muni d’un repère orthonormé (O ; 󰇍𝑢, 𝑣). 1) Point image Définition : A tout nombre complexe z = a + bi, on associe, dans le repère orthonormé (O ;󰇍𝑢, 𝑣) le point M de coordonnées (a ; b). On dit que le complexe z = a +bi a pour image M(a ; b) et que z = a + bi est l’affixe du point M(a ; b). Dessin avec : repère, point M(z), a=Re(z) et b = Im(z), axe des réels, axe des imaginaires purs et M’(𝑧) Préciser que l’image de 𝑧 est le symétrique de l’image de z par rapport à l’axe (O ; 𝑣 ) Propriété : Soit A et B les points d’affixes respectives z A et zB. Soit I le milieu de [AB] et zI son affixe. zA + zB On a alors : zI = 2 2) Vecteur image Définition : 󰇍󰇍 de coordonnées  A tout nombre complexe z = a + bi, on associe, dans le repère orthonormé (O ;󰇍𝑢, 𝑣) le vecteur 𝑤 On dit que le complexe z = a +bi

a pour vecteur image 󰇍󰇍𝑤

a a et que z = a + bi est l’affixe du vecteur 󰇍󰇍𝑤 b  . b

Propriété : 󰇍󰇍 𝑒𝑡 𝑤 󰇍󰇍 ′ deux vecteurs d’affixes respectives z et z’ et k un réel. Soit 𝑤 Soit A et B deux points d’affixe respectives z A et zB. 𝑤 󰇍󰇍 +𝑤 󰇍󰇍 ′ a pour affixe z + z’

𝑘𝑤 󰇍󰇍 a pour affixe k×z

Exemple :

IV)

Forme trigonométrique d’un nombre complexe

1) Module

2) Argument

3) Forme trigonométrique

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 𝐴𝐵 a pour affixe zB - z A

a . b...