Chimie - Les nombres complexes PDF

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Cours de chimie sur les nombres complexes...

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Les nombres complexes

Introduction : Les nombres complexes permettent de prolonger l’ensemble des réels. En effet, composés d’une partie réelle et d’une partie dite "imaginaire", ces derniers sont utilisés en géométrie et sont représentée par des points à deux coordonnés dans un plan, alors appelé "plan complexe". On définit ainsi le nombre complexe i, dont le carré est égal à −1, permettant alors de définir une solution à l’équation normalement irrésolvable dans R : x2 = −1. i2 = −1

Table des matières 1 Généralités

1

2 Module, argument et conjugué d’un nombre 2.1 Module d’un nombre complexe . . . . . . . . 2.2 Complexe conjugué d’un nombre complexe . . 2.3 Argument d’un nombre complexe . . . . . . .

complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 2 3 3

3 Notation trigonométrique d’un nombre complexe non nul

5

4 Relation entre notations complexe et trigonométrique d’un complexe 4.1 Produit de deux nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Complexe conjugué d’un nombre complexe non nul sous forme exponentielle . . . . . .

5 5 6

1

Généralités

Un nombre complexe z a une écriture dite algébrique unique, s’écrivant sous la forme suivante : z = a + ib ; a ∈ R, b ∈ R a est appelé partie réelle de z, notée Re(z) b est appelé partie imaginaire de z, notée Im(z). • Les nombres complexes de la forme bi, avec b ∈ R sont alors appelés imaginaires purs. • Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelle et complexe sont égales. • Un nombre complexe sans partie imaginaire est dit réel.

1

Posons un repère orthonormé (O ; ~i ; ~j) quelconque. Le complexe z = a + ib peut alors être représenté par le point Z, de coordonnées (a ; b) :

b

Z(a ; b)

θ j

O

a

i

• Z(a ; b) est appelé image ponctuelle de z. • ~v (a ; b) est appelé image vectorielle de z . ~ ont pour affixe z . • Le point Z(a ; b) et le vecteur OZ

2 2.1

Module, argument et conjugué d’un nombre complexe Module d’un nombre complexe

On appelle module du nombre complexe z = a + ib ; a ∈ R, b ∈ R, le réel positif tel que : |z| =

p

a2 + b2

~ Il s’agit en réalité, si l’on reprend l’exemple précédent, de la norme du vecteur OZ.

b

Z(a ; b)

θ j

O

a

i

On peut ainsi déduire quelques propriétés du module d’un nombre complexe : |z| = 0 ⇐⇒ z = 0

|z| = | − z|

|z + z ′ | ≤ |z| + |z ′ |

|zz′ | = |z| · |z ′ |

1 1 | |= z |z|

|z| z | ′| = ′ z |z |

2

2.2

Complexe conjugué d’un nombre complexe

On appelle complexe conjugué du nombre complexe z = a + ib ; a ∈ R, b ∈ R le nombre complexe tel que : z = a − ib

b

Z

θ j

O

a

i θ

b

Z

Dans le plan complexe, si l’on considère le point Z d’affixe z, et le point Z ′ , d’affiche z, alors on constate que ces deux points sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses. Quelques propriétés : • Le produit d’un nombre complexe avec son nombre complexe conjugué est égal au carré de leurs modules respectifs : (a + bi) · (a − bi) = a2 − bi · a + bi · a + b2 = a2 + b2 = z 2 = z 2 • Posons z = a + bi, et z ′ = a′ + b′ i. Le conjugué de la somme de ces deux nombres complexes est égal la somme des conjugués de ces derniers : z + z ′ = z + z ′ = (a + a′ ) − i(b + b′ ) • Posons z = a + bi, et z ′ = a′ + b′ i. Le conjugué du produit de ces deux nombres complexes est égal au produit des conjugués de ces derniers : z · z ′ = z · z ′ = (a · a′ + b · b′ ) − i(b · a′ + b′ · a)

2.3

Argument d’un nombre complexe

3

b

Z(a ; b)

θ j

O

a

i

L’argument d’un nombre complexe z = a + ib ; a ∈ R∗ , b ∈ R∗ correspond à une mesure de l’angle ~ et ~i. θ (en radians), de l’angle formé entre les vecteurs OZ ~ ; ~i) = θ mod 2π ( OZ Remarque : L’argument d’un nombre complexe z n’est pas unique. En effet, ce dernier dernier est défini modulo 2π. Si θ est argument de z, alors on notera arg z = θ[2π ]. On définit alors la notion d’argument principal de z comme étant l’argument de z appartenant à ] − π ; π].

′

′

Pour z ∈ C et z ∈ C, on a z = z ⇐⇒



|z| = |z ′ | arg z = arg z ′ [2π ]

Soient deux vecteurs u ~ et ~v , d’affixes respectives z et z ′ : On peut alors écrire : (~ u, ~v ) = arg z − arg z ′ [2π ] z et z ′ étant deux nombres complexes non nuls, on a : • arg(zz ′ ) = arg(z) + arg(z ′ ) [2π ] ! z • arg = arg(z ) − arg(z ′ ) [2π] z′ • arg(z) = − arg(z) [2π ] ! 1 = − arg(z) [2π ] • arg z • arg(z n ) = n · arg(z) [2π ] • arg(−z ) = arg(z ) + π [2π]

4

3

Notation trigonométrique d’un nombre complexe non nul

Un complexe non nul z = a + ib ; a ∈ R∗ , b ∈ R∗ peut s’écrire sous une forme trigonométrique comme présentée ci-dessous : z = r · (cos θ + i sin θ)

4

Relation entre notations complexe et trigonométrique d’un complexe

La formule du célèbre mathématicien Euler permet de relier les notations exponentielle et trigonométrique d’un complexe z = a + ib ; a ∈ R∗ , b ∈ R∗ , reliant en réalité l’exponentielle complexe avec le cosinus et le sinus dans le plan complexe : ∀θ ∈ R, eiθ = cos θ + i sin θ On peut d’ailleurs remarquer la périodicité suivante, selon le cercle trigonométrique : eiθ+2π = eiθ . Pour tout nombre complexe z, de module r non nul et d’argument principal θ, on peut alors écrire : z = r · (cos θ + i sin θ) = r · eiθ • Si r > 0 : |z| = r

;

arg z = θ[2π ]

• Si r < 0, on peut alors écrire : z = r · eiθ · (−1)2 , ce qui conduit à : z = (−r) · (eiπ ) · eiθ = (−r) · ei·(π+θ) On peut donc noter |z| = r, et arg z = (θ + π)[2π ].

4.1

Produit de deux nombres complexes

Soient z et z ′ , deux nombres complexes non nuls. ′

′

zz′ = reiθ · r ′ eiθ = rr ′ei(θ+θ ) On sait cependant que r > 0 et r ′ > 0. On peut dès lors déterminer les module du produit de z et z ′ : |zz′ | = |z| · |z ′ | = rr ′ On peut aussi déterminer l’argument du produit de deux nombres complexes : arg(zz′ ) = (arg z + argz′ ) [2π] = (θ + θ ′) [2π ]

5

4.2

Complexe conjugué d’un nombre complexe non nul sous forme exponentielle

Soit z = a + ib ; a ∈ R∗ , b ∈ R∗ , un complexe dont la forme exponentielle est de la forme z = r · eiθ . Le complexe conjugué du nombre complexe z, sous sa forme exponentielle, s’écrit alors : z = r · ei(−θ)

i Z θ

1

1 0

-θ

Z -i

6...