Cuadriláteros - resúmenes de la clasificación de angulo,cuadriláteros y polígonos. PDF

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 aaxbb ABCD yCUADRILÁTEROSLos cuadriláteros son polígonos que tiene cuatro lados y dos diagonales, pueden ser convexos y no convexos. ● Convexo:● No Convexo:PROPIEDADES Suma de Ángulos Internos Suma de ángulos exteriores CASOS ESPECIALESEn todo cuadrilátero.CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROSLos cua...

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Geometría

I.E 16488 JORGE BASADRE GROHMANN”– Chirinos

Cuadriláteros

CUADRILÁTEROS Los cuadriláteros son polígonos que tiene cuatro lados y dos diagonales, pueden ser convexos y no convexos. ● Convexo: C 

B



  



 180°

x+y=180° φ



 

A

D

● No Convexo: B

En todo cuadrilátero.  > 180°  

PQRS es un paralelogramo

D A

C

PROPIEDADES 1. Suma de Ángulos Internos 





 = 360° 

CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS Los cuadriláteros convexos se clasifican en tres grandes grupos que son los

2. Suma de ángulos exteriores z

paralelogramos, los trapecios y los trapezoides, cada uno de estos grupos

x + y + z + w = 360°

y

tienen sus propias características. I.

w

PARALELOGRAMO Es aquel cuadrilátero que tiene sus

x

lados opuestos paralelos e iguales. Se

CASOS ESPECIALES

llama base a cualquiera de sus lados,

C a°

B 

su altura es la distancia que existe

a°

B B dos lados opuestos. entre C

P

C

x  A

b° b°

D

A

D

A

Q PQ: altura

AB // CD; BC // AD AB, BC, CD, AD: bases Prof: Frankler Miller Mundaca Gonzales

D

Geometría

I.E 16488 JORGE BASADRE GROHMANN”– Chirinos

Cuadriláteros

Propiedades de los paralelogramos B

C

2. Rombo:

Los lados opuestos son congruentes. AB = CD BC = AD A

Es aquel paralelogramo que tiene los cuatro lados iguales, y sus

D

diagonales

B

son

desiguales,

C α

perpendiculares y bisectrices de

β Los ángulos opuestos son congruentes. mA ≈ mC y mB ≈ mD α

β A

C

A Las diagonales se intersecan en su punto medio. AO = OC y BO = OD

O

A

β

a

D B

B

B sus ángulos.

β β

a

a

α α

C A

α

α

D

D

D

AC < BD

AB = BC = CD = AD

Si M es punto medio

C

β β

a

β

α α

de BC, se cumple que: PD=2BP

3. Rectángulo o cuadrilongo:

Es Si M y F son puntos

aquel

lados

medios, se cumple

paralelogramo

consecutivos

no

cuyos son

congruentes, sus cuatro ángulos

que: BP=PQ=QD

interiores miden 90º cada uno y las

Clasificación de los

diagonales son congruentes.

paralelogramos B

1. Romboide:

C

B

C

Es aquel paralelogramo que tiene sus

lados B

paralelos,

consecutivos tiene

las

no

C mismas

propiedades de un paralelogramo. M

A

M D

A

AB = CD

BC = AD

Prof: Frankler Miller Mundaca Gonzales D

A

D

AM = BM = CM DM

Geometría

I.E 16488 JORGE BASADRE GROHMANN”– Chirinos

Propiedad

Cuadriláteros

c) 62º d) 42º e) 56º

 

3. Calcular “x”.

a) 2

C

M

B

b) 4 c) 3

2

d) 6 4. Cuadrado:

e) 5

Es aquel cuadrilátero que tiene sus lados

congruentes,

sus

bisectrices

son de

ángulos

B perpendicularesC entre B sí. 45° 45°

D

x

perpendicular a la diagonal AC, la medida del ángulo que forman las

congruentes,

sus

A

4. En un rectángulo ABCD se traza BH

ángulos

interiores miden 90° cada uno, las diagonales

45°

diagonales del rectángulo es 140º.

y C

45° 45°

Calcular la m∢HBD. a) 30º e) 50º

O

b) 20º

c) 40º

d) 37º

5. Indique el valor de verdad de las

45°

45° A

D

A

45°

45°

siguientes proposiciones. D

I. Todo paralelogramo equilátero es

un cuadrado.

Propiedad

II. Si las diagonales de un cuadrilátero son perpendiculares entre si, el cuadrilátero es un rombo.

x = 90°

III. Si un paralelogramo es un rectángulo, el rectángulo es un paralelogramo. EJERCICIOS DE APLICACIÓN

a) Sólo I y II

1. En un cuadrilátero ABCD los ángulos

interiores miden: m∢A=x; m∢B=2x; m∢C=x+10°;

m∢D=3x.

¿Cuánto

2. Calcular “x”.

 x

a) 96º



e) I, II y III

6. Calcular “x”; si ABCD es un cuadrado.

a) 4

e)

6

B

C

c) 6 d) 7 e) 3



d) Sólo III

c)

b) 5

mide el mayor de estos ángulos? a) 145º b) 130 º c) 155º d) 150º 160º

Sólo I

b) Sólo II y III

37° A

x

D

7. En un romboide ABCD, las bisectrices

interiores de B y C se cortan en un punto

b) 52º 112°

124° Miller Mundaca Gonzales Prof: Frankler

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de CD, si AB=3,5; hallar el perímetro del

Cuadriláteros

d)

romboide. a) 24 e) 20

b) 23

c) 25

d) 21

e)

8. En el gráfico, calcule "x", si ABCD es

un cuadrado.

13. Dado un cuadrado ABCD; se ubica M

punto medio de CD y se traza CN

a) 65º

perpendicular a BM (N AD). Calcule:

b) 60 º c) 63º d) 66º

si: Q es la intersección de NC con

e) 64º 9. En un cuadrilátero convexo ABCD,

m∢B=70º,

m∢C=110º.

Hallar

la

BM. a) 1

b) 2

c) 3

d) 5

e)

medida del ángulo formado por las

4

bisectrices interiores de los ángulos

14. En el gráfico, calcule " ", si ABCD es

un rombo. MH = 1 u, y D dista de BC

A y B. a) 105º b) 100 º e) 75º 10. Se

tiene

un

c) 85º

3 u.

d) 95º

a) 15º

rombo

ABCD

y

se

construye exteriormente el cuadrado BEFC,

tal

que:

m∢ECD

=

b) 56º

c) 18º

89º. d) 26,5º

Calcular la m∢AEC. a) 68º

b) 10º

c) 72º

d) 58º

e) 62º 11. En un romboide ABCD, M es punto

e) 30º 15. En el gráfico,

medio de CD y en BM se ubica el

calcule: PS + RS.

punto P tal que PD AD. Calcule AP si

a) 65º

BP=a y PM=b

b) 60 º

a) a+b b) a N.A

c) a+2b

d) a-b

e)

b) c)

c) 63º d) 66º

12. Del gráfico, calcule “x”. Si: 2α+β=90°

a) 2

y

e) 64º 16. En un cuadrilátero convexo ABCD, el

ángulo m∢A=9° y m∢B=4°. Calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos C y D. Prof: Frankler Miller Mundaca Gonzales

Geometría

I.E 16488 JORGE BASADRE GROHMANN”– Chirinos

a) 6° 30' 55'

b) 7° 20' d) 9°

c) 7°

Cuadriláteros

entonces el cuadrilátero es un

e) 12°

paralelogramo.

17. Del gráfico, calcule “x”

II. Si las diagonales de un cuadrilátero

a) 75º

son perpendiculares entre si, entonces el cuadrilátero es un

b) 70 º

cuadrado. c) 73º

III. Ningún polígono tiene 3 vértices

d) 72º

colineales a) FFF

c) VFF d) FVV e) VVV 21. En un cuadrilátero convexo ABCD se

e) N.A 18. En el gráfico, ABCD y EFCR son un

b) VFV

cumple

que

CD=8,

m∢ACB=22°,

paralelogramo y un cuadrado, BO

m∢ACD=37°, m∢BAC=m∢CAD=23°,

2 u, DE=1. (O: intersección de las

Calcular BC.

diagonales

del

paralelogramo). a) 4

b)

c)

d) 8

e)

22. En el cuadrilátero ABCD mostrado,

BM=MC, AC bisectriz del ángulo A, Calcule la m∢FCD.

AD=4AL;

si

m∢ACD=90°;

AD+2AB=18

y

m∢BAC=m∢CAD,

entonces la longitud de ML es. a) 3,5 b) 4 a) 18,5° b) 8°

c) 7,5°

d) 22,5°

e)

26,5°

d) 5,5 e) 6

19. En un romboide ABCD, se traza BP y

DQ perpendiculares a AC, tal que: AB=PQ y m ∢ABP=53°. Calcule la

23. Exteriormente a un rombo ABCD se

construye el triángulo equilátero BEC. Calcular m∢AED. a) 45º

m∢PCB. a) 18,5° b) 8°

c) 4,5

c) 7,5°

d) 22,5°

e)

b) 30º

c) 56º

d) 48º

60º 24. En la figura hallar m∢PAC , si

26,5°

PB=AB=BC y m∢BPC = 5º 20. Indique el valor de verdad de las

siguientes proposiciones. I. Si los lados opuestos de un

a) 91º b) 92º c) 93º

cuadrilátero son congruentes, Prof: Frankler Miller Mundaca Gonzales

e)

Geometría

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Cuadriláteros

d) 94º BC + AD MN = 2 2. En todo trapecio el segmento que une

e) 95º 25. Del gráfico mostrado, ABCD es un

los puntos medios de las diagonales

cuadrado. Si: BH=2, ND=3 y NP=11.

de un trapecio, es paralelo a las

Calcule "xº".

bases.

a) 30º

b

B

b) 16º

C

c) 15º d) 18,5º

P

x

Q

e) N.A A

D

a

II. TRAPECIO

MN // AD // BC

Es aquel cuadrilátero que tiene sólo un par de lados paralelos, a los cuales se

MN =

les denomina bases. Se llama altura del

P y Q son puntos medios de AC y BD

trapecio a la distancia entre las bases. B

BC - AD 2

respectivamente.

C

B

C

P

En todo trapecio se cumple: RECUERDA A

D A

Q

D

BC // AD

m=n

n

m

PQ: altura

BC es la base menor AD es la base mayor

Clasificación de los trapecios

Propiedades de los trapecios 1. En todo trapecio la mediana, base media, o paralela media es paralela

1. Trapecio Escaleno Es

aquel

trapecio

laterales tienen diferente longitud.

a sus bases y su longitud es igual a la

C

B

AB  CD

semisuma de las longitudes de dichas bases.

A

Es aquel trapecio escaleno, en

b M

A

D

2. Trapecio Rectángulo

C

B

cuyos lados

donde

N

x

uno

de

los

lados

no

paralelos es perpendicular a las D

a

B bases.

C

MN // AD // BC Prof: Frankler Miller Mundaca Gonzales A

D

BC

AB

AD

AB

Geometría

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a) 3 e) 5 3. En

m∢D=53º,

BC=8;

B

C

c) 14.5

d) 12

e)

14.5

C

α 4. En

θ

θ

D

A

A

D AC = BD

AB = CD

un

Cuando

e) 25

sus

diagonales

es

mediatriz de la otra, el trapezoide se llama simétrico o bisósceles.

b) 22

las

E

b) 120º

C B

Trapezoid e simétrico C

A

c) 80º

B  

d) 140º

un

F

C



60º

e) 110º 6. En

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

d) 21

40º

D

A

D D

c) 24

5. Calcular “θ”; si BC // ED // AD.

a) 100º

B

trapecio

ABCD,

BC//AD;

AB=BC=CD; AD=2.AB. encontrar la medida del ángulo A.

Calcular “x”; BC // AC. a) 4

de

longitud de la base menor. a) 23

A

suma

longitudes de las bases es 60 y el

tiene ningún par de lados paralelos. de

la

las diagonales mide 8. Encontrar la

TRAPEZOIDE

una

trapecio

segmento que une los puntos medios de

Es aquel cuadrilátero convexo que no

1.

d) 1

trapecio rectángulo ABCD,

a) 13.5 b) 12.5

paralelos son congruentes.

III.

un

c) 4

CD=15. Hallar la mediana

Es aquel trapecio cuyos lados no

α

b) 2

m∢A=m∢B=90º;

3. Trapecio Isósceles

B

Cuadriláteros

a) 30º 53º

C

B

b) 60º

c) 45º

d) 37º

e)

b) 5 7. Calcular “x”; ABCD es trapecio.

c) 6 30º

d)

A

D 4

x

e)

a) 16

45º

C

B

b) 9







 9

7

c) 32 d) 2

2.

En

un

trapecio

PQRS,

(QR//PS),

e) 8

A B

x4

D C

m∢Q=110º, m∢S=40º, RS=8. hallar la medida

del

segmento

que

une

puntos medios de las diagonales.

los

8. Encontrar 10 el la

ecio.

a) 15

37° Prof: Frankler Miller Mundaca Gonzales A

45° D

Geometría

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Cuadriláteros

b) 12

opuestos con los puntos medio de las

c) 20

diagonales, se forma un

d) 24

paralelogramo. IV. Al unir los puntos medios de los

e) 18 9. En

un

trapecio

recto

ABCD,

m∢A=m∢B=90º, AB=4, BC=2, CD=5. Encontrar la medida de la base mayor

cuatro lados de un trapecio isósceles se forma un rombo. a) FFVV

d) FVVV

del trapecio. a) 3

b) 5

c) 4

b) VVFF

c) FVFV e) VVVV

13. En un trapecio ABCD, la base menor

d) 6

AB es igual a la altura AH; si: m∢A=135°

e) 8

y m∢B=150°. Calcule el perímetro del 10. En el trapecio ABCD. Hallar AD si

trapecio, si: AB=AH=20 a) 195,920

AB=6 y BC=4. a) 11

B

b) 12

182,920

C

c)

d) 162,920

e)

170,500

2 

c) 10

14. En un trapecio ABCD, la base mayor

d) 9 e) 8

b) 200



es AD. Al trazarse las bisectrices del D

A

ángulo

B

y

prolongación en P y Q respectivamente.

la

ángulos

Si: AB + BC=24 y CD + AD=30, calcule

interiores es 60° y la base mayor mide

la longitud del segmento que une los

12. Encontrar la longitud de la base

puntos medios de PC y BQ.

menor.

a) 1

a) 1

de

b) 2

los

c) 4

b) 2

d) 6

e) 3

c) 3 5

AD

y

a

C,

paralelos y su base son congruentes, si uno

base

exterior

intersectan

de

la

ángulo

11. En un trapecio isósceles, sus lados no

medida

a

el

d) 4

su

e)

15. Determine el valor de verdad de las

12. Determine el valor de verdad delas

siguientes proposiciones: I. Un trapezoide simétrico es un polígono convexo. II. Si las diagonales de un cuadrilátero se bisecan, entonces dicho cuadrilátero es un paralelogramo. III. Si en un trapezoide convexo se unen los puntos medios de dos lados

siguientes proposiciones: I. Un

cuadrilátero

convexo

es

un

trapecio isósceles si y solo si sus diagonales son congruentes. II. Un cuadrilátero convexo no es un paralelogramos si y sólo si sus diagonales no se bisecan. III. Un

cuadrilátero

convexo

trapezoide simétrico.

Prof: Frankler Miller Mundaca Gonzales

es

un

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I.E 16488 JORGE BASADRE GROHMANN”– Chirinos

a) FFF

b) VFV

c) FVF

d) FVV

e)

VVV

y la mediana ME del trapecio mide 6 (M en AD) se ubica sobre AD el punto P, tal

16. En un trapecio ABCD (AB // CD). Si:

que: PB=PC y m∢BPC=90°. Calcule MP. a) 1

AB=8; BC=6; AD=10 y CD=18; las bisectrices de los ángulos A y D se intersectan

en

el

punto

M

y

las

bisectrices de los ángulos B y C se intersectan en el punto N. Calcule MN. a) 4

17. En

b) 5

c) 6 5,5

d) 4,5