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Nociones físico-matemáticas de repaso

Parte I

Operaciones elementales 1.

Potencias m

La potencia m-ésima de a es am = a · a · · ·⌣ · · · a. Ejemplo: 23 = 2 · 2 · 2 = 8. √ √ √ √ La raíz n-ésima de a es a1/n = n a. Ejemplos: 21/3 = 3 2 ≃ 1,26; 25/3 = 3 25 = 3 32 ≃ 3,17. a−m =

1 m. a

Ejemplo 2−3 = 1/8.

am · an = am+n . Ejemplo: 23 · 24 = 27 . am · a−n = am−n =

am . an

Entonces, a0 = 1, cuando m = n (excepto si a = 0).

(a · b)m = am · bm . Ejemplo: 152 = 25 · 9 = 225.

2.

Logaritmos ln (x) es el logaritmo natural o de Neper (John Napier, matemático escocés nacido en 1550). La base es el número e ≃ 2, 71828182846, es decir, ln (x) = loge (x). Cuando la base es 10, log10 (x), suele escribirse abreviadamente log (x). Logaritmo en base 10 ó logaritmo decimal: y = log10 (x), de manera que x = 10y . Ejemplo: log10 (1000) = 3; log 10 (5000) ≃ 3,699. Entonces: x = 10log10 (x) . En base e o logaritmo natural: y = loge (x) ≡ ln (x), entonces x = ey . Ejemplo: ln (e4 ) = 4,

siendo e4 ≃ 54,6 y el número e ≃ 2,718281828459. Entonces: x = eln(x) .

El logaritmo en cierta base de un número determina el exponente de dicho número cuando es expresado como potencia en dicha base.

1

En general, y = loga (x), luego x = ay . Es la función inversa de la potencia. Propiedades • log (am ) = m log (a); log (1/am ) = −m log (a) • log (ab) = log (a) + log (b) • log (a/b) = log (a) − log (b) • log10 (x) = ln (x) log10 (e), pues eln x = x • PERO: log (a + b) 6= log (a) + log (b), etc.

Parte II

Geometría en el plano 3. 3.1.

Rectas Ecuación y representación gráfica de una recta y = mx+n abscisa, x (eje horizontal); ordenada, y (eje vertical). m es la pendiente (tangente del ángulo θ de inclinación con respecto al eje X, cf. Fig. 1a) n es el valor de la ordenada en el origen (en x = 0) Conocidos dos puntos cualesquiera de la recta, de coordenadas (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ), puede hallarse la ecuación de ésta y2 − y1 x2 − x1 y1 x2 − y2 x1 n= x2 − x1

m=

2

(1) (2)

Y Q

y2

θ y

1

n

P x1

x2

X

(a) Recta en el plano XY.

(b) Intersección de las rectas y = 2x − 1 (rojo), y = 1 − x (verde) en el punto de coordenadas (2/3, 1/3).

Figura 1

3.2.

Intersección de dos rectas

Dadas las rectas y = m1 x + n1 , y = m2 x + n2 No existe intersección si tienen igual pendiente: m1 = m2 (son la misma recta si además n1 = n2 ) Si tienen diferente pendiente, existe un solo punto de intersección, de coordenadas (x0 , y0 ), que se obtiene al resolver el sistema de ecuaciones. Igualando y y despejando para x: x0 =

n2 − n1 m1 − m2

(3)

y sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones para hallar la ordenada y0 =

m1 n2 − m2 n1 m1 − m2

(No memorice las fórmulas (2), (3), (4); aprenda a resolver las ecuaciones.)

3.3.

Ejercicios

1. Resuelva las ecuaciones para hallar los resultados dados por las fórmulas (2), (3) y (4). 2. Dibuje las rectas y = 3 y x = 2 y determine su punto de intersección. 3. Dibuje las rectas y = 2x − 1, y = 3 − x. Determine su punto de intersección. 4. Dibuje las rectas 2y = x + 2, 3y = −1. Determine su punto de intersección. 3

(4)

4.

Triángulos

4.1.

Área

Considere un lado cualquiera del triángulo como base, b (Fig. 2). Su altura h es la distancia del vértice opuesto V hasta la base. El área A del triángulo es: 1 A = bh 2

(5)

V

h

b b h V V

b

h

Figura 2: Bases b y alturas correspondientes h de un mismo triángulo. La altura h es la distancia del vértice V a la recta que contiene a la base (de longitud b, en el lado que no contiene al vértice).

4.2.

Teorema de Pitágoras en triángulo rectángulo c 2 = a 2 + b2

(6)

donde a y b son las longitudes de los catetos (lados perpendiculares) y c, la de la hipotenusa (Fig. 3 central).

4.3.

Aplicación del álgebra vectorial

Sea c = a + b, entonces c2 = a2 + b2 + 2a · b

(7)

N

N

N

c

c

b

c

b

b

a

M

θ

θ

θ P

a

P

M

P

a

M

Figura 3: Triángulos cuyos lados a y b son de igual longitud, pero tienen diferentes orientaciones relativas. La longitud c del tercer lado disminuye a medida que aumenta al ángulo θ que forman los otros −−→ −−→ −−→ dos. Los vectores son a = P M , b = M N y c = P N . Recuerde que a · b = ab cos θ y que cos θ es negativo para los ángulos comprendidos entre 90º (π/2) y 180º (π rad).

4

5.

Sector circular

5.1.

Perímetro

Para la circunferencia de radio R completa, que abarca un ángulo de 360º ó 2π radianes L = 2πR

(8)

L′ = θR

(9)

para el sector circular de ángulo θ

(es la definición de ángulo en el plano).

θ R

R

L’

Figura 4: Sector circular: “triángulo”, uno de cuyos lados es un arco de circunferencia con centro en el vértice opuesto.

5.2.

Área

Para el círculo (abarca 2π rad) A = πR2 para el sector circular de ángulo θ A′ =

1 2 θR 2

(Note que A′ = 21 L′ R: “triángulo” de base curva de longitud L′ y altura R).

5

(10)

(11)

Parte III

Trigonometría 6.

Seno, coseno y tangente Atendiendo a los triángulos rectángulos de la Fig. 5, se definen sin θ = s cos θ = c tan θ = t

(12)

seno, coseno y tangente, respectivamente, y de ellas csc θ = 1/sin θ sec θ = 1/cos θ cot θ = 1/tan θ

(13)

cosecante, secante y cotangente. De esta definición y de la figura, para ángulos θ pequeños1 (θ ≪ 1): sin θ ≈ tan θ De ésta y del teorema de Pitágoras, es evidente que sin2 θ + cos2 θ = 1 Además, puesto que α + θ = π/2: sin θ = cos α, cos θ = sin α, tan θ = cot α. 1

Recuerde que los ángulos se expresan en radianes y que 1 rad≈57º, pues 360º equivalen a 2π rad.

6

(14)

cot t

csc t

1 s θ

α c sec

Figura 5: Seno (s), coseno (c), tangente (t), cosecante (csc), secante (sec) y cotangente (cot) en el círculo de radio unidad.

7.

Fórmulas del ángulo suma

sin (α + β) = sin β cos α + cos β sin α cos (α + β) = cos β cos α − sin β sin α

7.1.

Demostración geométrica

Atendiendo a la Fig. 6, y considerando que OA = OB = 1, tenemos: sin α = BC, sin β = AE, sin (α + β) = AD cos α = OC, cos β = OE, cos (α + β) = OD −→ − − → − − → −−→ Los lados AE y AD forman entre sí el ángulo α, puesto que AE ⊥ OE y AD ⊥ OD.

7

(15)

A α B E

β

α D

O

C

Figura 6: Demostración trigonométrica ángulo suma

Por tanto sin (α + β) = AE cos α + OE sin α = sin β cos α + cos β sin α y cos (α + β) = OE cos α − AE sin α = cos β cos α − sin β sin α En particular, si α = β, tenemos sin 2α = 2 sin α cos α cos 2α = cos2 α − sin2 α 2

2

2

De la relación pitagórica OB = OC + BC , es inmediato que 1 = cos2 α + sin2 α por lo que podemos escribir 1 + cos 2α = 2 cos2 α 1 − cos 2α = 2 sin2 α

8

7.2.

Otras identidades trigonométricas sin2 θ + cos2 θ = 1

cos2 θ − sin2 θ = cos 2θ sin 2θ = 2 sin θ cos θ

tan (α ± β) =

tan α ± tan β 1 ∓ tan α tan β

sin 3θ = 3 sin θ − 4 sin3 θ cos 3θ = 4 cos3 θ − 3 cos θ tan 3θ =

3 tan θ − tan3 θ 1 − 3 tan2 θ !

θ−ϕ θ+ϕ cos sin θ + sin ϕ = 2 sin 2 2 !

!

θ+ϕ θ−ϕ cos θ + cos ϕ = 2 cos cos 2 2 !

!

θ+ϕ θ−ϕ cos θ − cos ϕ = −2 sin sin 2 2

Parte IV

Funciones elementales 8.

Propiedades y representación gráfica Potencial: y = xn (Fig. 7)

9

!

√ Figura 7: (a) y = x; (b) y = x2 ; (c) y = x3 ; (d) y = + x = x1 /2

√ • n > 0, para 0 < x < 1 es x > x > x2 > x3 √ • n > 0, para x > 1, es x < x < x2 < x3 Exponencial: y = ex (Fig. 8a)

10

(b) (a) y = sin x; (b) y = cos x; (c) y = tan x. La abscisa está representada en radianes, no en grados. Note que las funciones tangente (curva c) y seno (a) son prácticamente iguales en torno a 0 rad.

(a) (a) y = x; (b) y = ln (x) ; (c) y = ex ; (d) y = 1/x = x−1 . Note que la representación gráfica de la función logarítmica natural (curva b) es la imagen especular de la función exponencial (c), respecto de la recta y = x (a) en el plano XY.

Figura 8

• ex > xn , para n > 0 y x ≥ 0 (la exponencial crece más rápidamente que cualquier polinomio).

Logarítmica (natural): y = ln x (Fig. 8a) • ln (x) es el logaritmo natural o de Neper. La base es el número e ≃ 2, 71828182846, es

decir, ln (x) = loge (x). Cuando la base es 10, log10 (x), suele escribirse abreviadamente log (x).

• función inversa de la exponencial: eln x = x; ln (ex ) = x • ln (x · y ) = ln (x) + ln (y); ln

  x y

= ln (x) − ln (y); a · ln x = ln (xa)

Circulares: y = sin x; y = cos x (Fig. 8b) • periódicas, de período 2π: sin x = sin (x + 2π ) • sin 30º = cos 60º = 1/2; sin 60º = cos 30º =

√ 3/2;

sin 45º = cos 45º =

√ 2/2

(conviene

recordar). Dada la función f (x) monótona creciente —por ejemplo, ex , ln (x) , f (m) > f (n).

11

√

x—, si m > n, entonces

Dada la función g (x) monótona decreciente —por ejemplo, 1/x—, si m > n, entonces g (m) < g (n).

9.

Derivadas

9.1.

Definición

Indica el “ritmo” de variación de la función y = f (x) dy dx f (x + ∆) − f (x) = l´ım ∆−→0 ∆

y ′ = f ′ (x) =

Ejemplos: Lineal f (x) = x (x + ∆) − x ∆ = l´ım = l´ım 1 = 1 ∆− →0 ∆ ∆ ∆−→0

y ′ = l´ım

∆−→0

Parábola f (x) = x2 (x + ∆)2 − x2 2x∆ + ∆2 = l´ım = 2x y = l´ım ∆−→0 ∆−→0 ∆ ∆ ′

Potencial f (x) = xm m∆xm−1 + 21 m (m − 1) ∆2 xm−2 + · · · + ∆m (x + ∆)m − xm = mxm−1 = l´ım ∆−→0 ∆−→0 ∆ ∆

y ′ = l´ım

Y y +dy 0

R f(x)

Q θ

y

0

P x 0 x 0+dx X

Figura 9: Diferencial: aproximación lineal de una función.

12

La diferencial dy = f ′ (x0 ) dx es la ecuación de la recta de aproximación de la función f (x) en el punto P (x0 , y0 ) y − y0 = f ′ (x0 ) [x − x0 ] cuya pendiente es f ′ (x0 ) = tan θ. Mediante la aproximación se llega al punto Q, de coordenadas (x, y), en lugar de al propio de la función, R, de coordenadas (x, f (x)), cf. Fig. 9.

9.2.

Derivada de la función inversa

Sea y = f (x), entonces x = f −1 (y) es su función inversa. La derivada de la función f (x) es y ′ = f ′ (x) =

dy dx

Comoquiera que 1=

dy dy dx = dx dy dy h

= f ′ (x) f −1 (y ) = [y ′ (x)] [x′ (y )]

i′

= y ′ x′ el producto de las derivadas de una función dada y de su inversa es la unidad. Sea y = f (x) = ex , su inversa es x = f −1 (y) = ln y; entonces i′

h

x′ = f −1 (y) = luego [ln y]′ =

d dy

[ln y] =

f′

1 1 1 1 = x = ln y = y (x) e e

1 y

Sea y = f (x) = sin x, su inversa es x = f −1 (y) = arcsin y; entonces h

i′

x′ = f −1 (y) = luego [arcsin y]′ =

9.3.

d dy

f′

[arcsin y] = √

1 1 1 1 = √ = = √ 2 1 − y2 (x) cos x 1 − sin x

1 1−y 2

Aproximaciones de funciones de Taylor: f (x) = f (0) + f ′ (0) · x + 21f ′′ (0) · x2 + . . . • sin (x) ≈ x − 31 x3 13

• cos (x) ≈ 1 − 12 x2 • ex = 1 + x + 12 x2 + 3!1 x3 + · · · de McLaurin: f (a + x) = f (a) + f ′ (a) · x + 21f ′′ (a) · x2 + . . . 

• sin x +

π 2



≈ 1 − 21 x2

• ln (1 + x) ≈ x − 21 x2 √ • 1 + x ≈ 1 + 12 x r  q   √ √ 1 ◦ Ejemplo: 65 = 64 + 1 = 64 1 + 64 = 8 1 + 641 ≈ 8 1 + √ 8, 06250. Con la calculadora, se tiene 65 ≃ 8, 06226

14

1 128



= 8+

1 16

=

10. 10.1.

Galería de gráficas de funciones trigonométricas y trigonométricas inversas (Fig.10)

Figura 10: Funciones trigonométricas y trigonométricas inversas

15

10.2.

potencias y raíces (fig.11)

funciones reales de variable real las raíces de números reales negativos son complejas

Figura 11: Funciones de potencias y raíces

16

10.3.

exponenciales y logarítmica (Fig.12)

Figura 12: Funciones exponenciales y logarítmica

17

10.4.

hiperbólicas (Fig.13)

eθ − e−θ 2 θ e + e−θ cosh θ = 2 eθ − e−θ tanh θ = θ e + e−θ sinh θ =

Figura 13: Funciones hiperbólicas

18

10.5.

sinc(θ) y análogas (Fig.14) sinc (θ) =

sin (θ) θ

Figura 14: Funciones sinc (θ) y análogas

Parte V

Complejos 11.

Expresiones forma binómica z = x + iy, con i = • x = ℜ (z),

√

−1 la unidad imaginaria

y = ℑ (z) partes real e imaginaria

forma polar, de Euler, z = Aeiφ , donde eiφ = cos φ + i sin φ; la amplitud o módulo es √ A = x2 + y 2 , con A ≥ 0. h

Dado que el valor principal de arctan θ está en − 2π , π2

i

• la fase φ = arctan xy − π2 [1 − sign (x)] sign (x) ; con esa definición, se tiene φ en el rango h  − π2 , 3π2 19

• la fase φ = arctan xy − donde el signo de x es

π 2

[1 − sign (x)] sign (x) sign (y) ; se tiene φ en el rango [−π, π)

◦ sign (x) = 1 para x > 0

◦ sign (x) = −1 para x < 0 ◦ sign (x) = 0 para x = 0

que es particularmente útil para hacer cálculos mediante Scilab, Matlab y Octave.

z2

Im A2

z=x+iy A 2φ −z½

φ/2

y

φ x

Re

−1

A

z −1

−z

z*=x−iy

Figura 15: Representación de complejos (A > 1)

sin θ =

eiθ − e−iθ 2i

cos θ =

eiθ + e−iθ 2

complejo conjugado z ∗ = x − iy = Ae−iφ complejo inverso z −1 =

x − iy x y 1 = = 2 −i 2 x + y2 x + iy (x + iy) (x − iy) x + y2 z −1 =

1 1 = e−iφ iφ A Ae

1. complejos cuyo conjugado es igual a su inverso Dado z = Aeiφ , debe ser Ae−iφ = unidad.

1 −iφ e , A

por lo que debe ser A = 1: todos los de módulo

20

12.

Operaciones

Dados z = x + iy = Aeiφ y z1 = u + iv = Beiθ

12.1.

suma

z + z1 = (x + u) + i (y + v) z − z1 = (x − u) + i (y − v) z + z ∗ = 2x = 2ℜ (z) z − z ∗ = 2yi = 2iℑ (z )

12.2.

producto y cociente

zz∗ = Aeiφ Ae−iφ = A2 = x2 + y 2 zz1 = (xu − yv ) + i (xv + yu)

zz1 = ABei(φ+θ) z Aeiφ = = ei2φ z ∗ Ae−iφ

xv − yu z zz∗ xu + yv −i 2 = 1∗ = 2 u + v2 z1 z1 z 1 u + v2 z A = ei(φ−θ) z1 B

12.3.

potencias y raíces 

z n = An einφ i = eiπ/2

eiφ

n

= (cos φ + i sin φ)n = cos nφ + i sin nφ

i2 = −1 = eiπ

z 1/n = A1/n eiφ/n √

i = i1/2 = eiπ/2

√ 3

i = i1/3 = eiπ/2

h

h

√ n i1/2

i1/3

z=

√ n

i3 = −i = ei3π/2

i4 = 1 = ei2π = ei4π = · · ·

A eiφ/n

= eiπ/4 = cos 45º + i sin 45º = = eiπ/6

21

√ 2 + 2

i

√ 2 2...