Curva normale 1 e 2 PDF

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Descrizione della curva normale...

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CURVA NORMALE Curva normale:

La distribuzione normale (o distribuzione Gaussiana) è la distribuzione continua più utilizzata in statistica. La distribuzione normale ha alcune importanti caratteristiche: 1. È stata proposta da K. F. Gauss (1809), che la utilizzò per primo nello studio degli errori di misurazione relativi alla traiettoria dei corpi celesti (per questo è chiamata anche gaussiana) 2. È detta anche curva degli errori (accidentali) in quanto la distribuzione degli errori commessi nel misurare ripetutamente una stessa grandezza, è molto bene approssimata da questa curva. 3. La distribuzione normale ha una forma campanulare e simmetrica. 4. Le sue misure di posizione centrale (valore atteso, mediana) coincidono. 5. La variabile aleatoria con distribuzione normale assume valori compresi tra -∞ e + ∞.

Importanza curva normale: molti fenomeni aleatori sono ben interpretati dal modello normale; tramite trasformazioni (o come distribuzione limite), anche fenomeni che generalmente hanno distribuzioni differenti, possono essere ricondotti al modello normale; la forma matematica della funzione di densità possiede delle proprietà che la rendono particolarmente maneggevole. Esempio curva errori: Considerando il modo in cui si distribuiscono gli errori accidentali riscontrabili nella misurazione ripetuta di una stessa grandezza, si nota che le n misure non sono tutte uguali, ciascuna è affetta da ERRORI. Errori accidentali (casuali): sono determinati da numerose cause non controllabili e quindi non eliminabili. Errori sistematici: sono dovuti a una causa ben precisa e sono eliminabili una volta individuata la causa dell’errore. Gli errori casuali si distribuiscono secondo una variabile casuale gaussiana.

Espressione algebrica della curva normale: Parametri:

-N numero delle osservazioni da cui dipende l’AMPIEZZA della curva (area sotto la curva normale). -µ parametro di posizione da cui dipende lo SLITTAMENTO della curva (distanza, in valore assoluto, di ciascun punto di flesso dal punto di massimo). -σ parametro di forma da cui dipende l’APPIATTIMENTO della curva (ascissa del punto di massimo)

Caratteristiche:

-È positiva per ogni x reale -L’area sottesa alla curva è N -È simmetrica unimodale, per cui µ non è solo la media, ma anche la mediana (µ lascia a sinistra e a destra un’area pari alla metà di N) e la moda -La curva ha due punti di flesso (cambia la concavità) in µ + σ e in µ - σ -Quando x tende a +- infinito la curva tende a zero (senza mai diventare esattamente zero: l’asse delle ascisse è un asintoto della curva) - È simmetrica rispetto alla retta di equazione x = µ

Curva normale standardizzata: Al variare dei tre parametri le curve normali, pur conservando la forma a campana, assumono molteplici configurazioni. Per finalità pratiche è opportuno ricondurre le infinite curve normali ad un’unica curva normale: la curva normale standardizzata. Equazione della curva normale standardizzata: Parametri c.n.s.: Standardizzazione variabili:

-N= 1

-µ= 0

-σ= 1

Caratteristiche c.n.s.:

-Assume valori sempre positivi -Punto di massimo M -Ha due punti di flesso: -Curva asintotica rispetto all’asse delle ascisse (dominio illimitato): Le misurazioni, e quindi gli errori casuali commessi, possono assumere qualsiasi valore. -Curva crescente fino a un max (x = µ) e poi decrescente (è più probabile commettere errori piccoli, in modulo, che non errori grandi). -Curva con concentrazione dei valori intorno alla media e diradare degli stessi verso “le code”: l’errore più probabile è quello nullo (valore risultante dalla distribuzione e valore esatto coincidono). -Curva simmetrica rispetto all’asse delle ordinate: La probabilità di commettere errori casuali in eccesso o in difetto (uguali in modulo) è uguale.

Aree della curva:

L’area della superficie compresa tra l’asse delle ascisse e la curva gaussiana fornisce la probabilità che la variabile casuale gaussiana assuma qualsiasi valore reale x. La frequenza dei valori compresi tra a e b sarà data dall’integrale da a a b della funzione della curva normale: Tale integrale si può ricondurre all’integrale della curva normale standardizzata. Standardizzando la variabile si ottiene:...