Dario Croccolo, Massimiliano De Agostinis, Giorgio Olmi - Esercizi di Comportamento meccanico dei materiali ed Elementi delle macchine (2013 , Esculapio) PDF

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libro di esercizi per preparare macchine ...

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Dario Croccolo Massimiliano De Agostinis Giorgio Olmi

Esercizi di

Comportamento meccanico dei materiali ed Elementi delle macchine

ISBN 978-88-7488-631-9

Prima edizione: Settembre 2013 Ristampa corretta: Gennaio 2016

Responsabile produzione: Alessandro Parenti Redazione: Giancarla Panigali e Carlotta Lenzi

Le fotocopie per uso personale (cioè privato e individuale, con esclusione quindi di strumenti di uso collettivo) possono essere effettuate, nei limiti del 15% di ciascun volume, dietro pagamento alla S.I.A.E del compenso previsto dall’art. 68, commi 4 e 5, della legge 22 aprile 1941 n. 633. Tali fotocopie possono essere effettuate negli esercizi commerciali convenzionati S.I.A.E. o con altre modalità indicate da S.I.A.E. Per le riproduzioni ad uso non personale (ad esempio: professionale, economico o commerciale, strumenti di studio collettivi, come dispense e simili) l'editore potrà concedere a pagamento l'autorizzazione a riprodurre un numero di pagine non superiore al 15% delle pagine del volume. CLEARedi - Centro Licenze e Autorizzazioni per le Riproduzioni Editoriali Corso di Porta Romana, n. 108 - 20122 Milano - e-mail: [email protected] - sito: http://www.clearedi.org.

40131 Bologna - Via U. Terracini 30 - Tel. 051-63.40.113 - Fax 051-63.41.136 www.editrice-esculapio.it

Prefazione In questo libro sono raccolti 15 esempi di esercizi proposti come temi d’esame o come problemi applicativi durante le esercitazioni nei corsi di Comportamento Meccanico dei Materiali e di Elementi delle Macchine tenuti presso la sedi di Bologna e di Forlì della Scuola di Ingegneria ed Architettura dell’Università degli Studi di Bologna. Le tracce di soluzione proposte sono state realizzate considerando che il lettore sia già a conoscenza degli argomenti teorici trattati nei corsi citati, con particolare riferimento a quelli contenuti nel libro di testo: Dario Croccolo, Nicolò Vincenzi, “Lezioni di Fondamenti e Tecnica della Progettazione Meccanica”, Soc. Ed. Esculapio, Bologna. Ciò nonostante vi sono frequenti riferimenti e commenti ad aspetti teorici al fine di migliorare la comprensione delle procedure di calcolo e di aiutare il lettore alla preparazione complessiva delle prove d’esame. Gli esercizi, e le relative soluzioni, sono stati suddivisi e raggruppati in tre capitoli che corrispondono, nella sostanza, a tre dei principali argomenti teorici affrontati durante le lezioni. Il capitolo 1 riguarda le strutture isostatiche: viene mostrato come ricavare le caratteristiche della sollecitazione ed il coefficiente di sicurezza nel punto maggiormente sollecitato. Il capitolo 2 verte sulla determinazione di baricentri e momenti d’inerzia, per arrivare alla stima delle tensioni normali e tangenziali in alcuni punti di sezioni di travi. Il capitolo 3 riguarda le strutture iperstatiche e mostra la procedura per il calcolo delle incognite iperstatiche, fino alla verifica strutturale. Ciascun esercizio proposto risulta, in ogni caso, indipendente dagli altri e risolvibile anche se considerato singolarmente. Tutti i risultati numerici sono stati arrotondati per eccesso o per difetto in modo da rimanere sempre a favore di sicurezza e da ottenere cifre significative che possiedono valore ingegneristico.

Gli Autori

Indice Indice

iii

1 Strutture isostatiche 1.1 Esercizio 1 . . . . . 1.2 Esercizio 2 . . . . . 1.3 Esercizio 3 . . . . . 1.4 Esercizio 4 . . . . . 1.5 Esercizio 5 . . . . . 2 Sezioni di travi 2.1 Esercizio 1 . 2.2 Esercizio 2 . 2.3 Esercizio 3 . 2.4 Esercizio 4 . 2.5 Esercizio 5 .

e . . . . .

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1 1 8 16 22 33

tensioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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45 45 56 66 77 95

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107 . 107 . 123 . 138 . 160 . 178

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3 Strutture iperstatiche 3.1 Esercizio 1 . . . . . . 3.2 Esercizio 2 . . . . . . 3.3 Esercizio 3 . . . . . . 3.4 Esercizio 4 . . . . . . 3.5 Esercizio 5 . . . . . .

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Capitolo 1

Travi, travature reticolari e strutture isostatiche 1.1

Esercizio 1

Figura 1.1: Schema strutturale del telaio Il portale schematizzato in Fig. 1.1 è vincolato in A e in B rispettivamente con una cerniera ed un carrello ed è sollecitato nel punto C da due forze concentrate F=10.000N . Sapendo che la lunghezza L=1.000mm e che il portale è costituito da tratti di trave a sezione

2

CAPITOLO 1. STRUTTURE ISOSTATICHE

circolare piena di diametro d=110mm, determinare le reazioni vincolari in A e B, disegnare i diagrammi completi delle sollecitazioni ( N, T, Mf ) e calcolare il coefficiente di sicurezza minimo per un acciaio avente un limite di snervamento Sy =250MPa . Soluzione Poiché la struttura è isostatica il calcolo delle reazioni vincolari può essere eseguito utilizzando e risolvendo le sole tre equazioni di equilibrio (due alla traslazione lungo l’asse verticale Y e lungo l’asse orizzontale X ed una alla rotazione attorno ad un qualunque punto della trave). Si considerano, dunque, due reazioni per il vincolo di cerniera in A (una orizzontale XA , ed una verticale YA ) ed una reazione per il vincolo di carrello in B (solo verticale YB). Come punto di equilibrio alla rotazione si sceglie il punto A in modo da annullare il momento generato dalle due reazioni incognite del vincolo stesso.

Figura 1.2: Schema strutturale dei vincoli e dei carichi

Si può, quindi, scrivere il sistema di equazioni di equilibrio della struttura secondo i versi delle reazioni vincolari indicati in figura 1.2.

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1.1. ESERCIZIO 1 ⎧ ⎪ ⎪ YA + YB − F = 0 ⎨

XA − F = 0 ⎪ ⎪ ⎩

(1.1)

YB · 2 · L − F · L + F · L = 0

Risolvendo il sistema di equazioni 1.1 si ottengono le seguenti reazioni vincolari: ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ YB = 0

Y = F = 10.000N

A ⎪ ⎪ ⎩ X = F = 10.000N A

(1.2)

La reazione YB risulta pari a 0 così come indicato dalla risoluzione del sistema di equazioni 1.1, quindi il vincolo può essere eliminato (Fig. 1.3). Di seguito si disegnano i diagrammi delle sollecitazioni agenti sulla struttura considerando convenzionalmente positive le reazioni concordi a quelle rappresentate sul concio di trave di Fig. 1.4. Il diagramma del momento flettente si disegna dalla parte delle fibre tese con pendenza negativa ancorché il taglio, cioè la sua derivata T = dM risulti positivo; dx dunque la pendenza del diagramma dei momenti si disegna sempre, per convenzione, con segno opposto a quello del taglio. I diagrammi dei momenti flettenti si disegnano dopo avere stabilito la linea tratteggiata delle fibre tese che stabilisce il segno positivo così come indicato in Fig. 1.5. Ne consegue che sulla struttura agisce nel punto E uno sforzo normale massimo pari a N=10.000N , un taglio massimo pari a T=10.000N ed un momento flettente massimo pari a Mf =20.000Nm . Poiché la trave è costituita da una sezione circolare piena possono essere a questo punto calcolate le tensioni nel modo seguente: σN _max = τT _max =

4 · 10.000 N = = 1MPa A π · 1102

4 T 4 4 · 10.000 = 1MPa · = · 3 A 3 π · 1102

σM f_max = ±

Mf 32 · 20.000.000 = ±153MPa =± Wf π · 1103

(1.3)

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CAPITOLO 1. STRUTTURE ISOSTATICHE

Figura 1.3: Schema strutturale dei vincoli e dei carichi

Figura 1.4: Convenzione sui segni

1.1. ESERCIZIO 1

Figura 1.5: Convenzione sulla fibra tesa per il momento flettente

Figura 1.6: Diagramma dello sforzo normale

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CAPITOLO 1. STRUTTURE ISOSTATICHE

Figura 1.7: Diagramma del taglio

Figura 1.8: Diagramma del momento flettente

La tensione τ di taglio è trascurabile rispetto alla tensione σmax data dalla somma della tensione di momento flettente e di sforzo normale massime. Il coefficiente di sicurezza risulta, dunque, calcolato dalla Eq. 1.4.

1.1. ESERCIZIO 1

CS =

250 Sy Sy = 1, 62 = = 154 σ + σ σmax N _max M f_max

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(1.4)

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1.2

CAPITOLO 1. STRUTTURE ISOSTATICHE

Esercizio 2

La trave schematizzata in Fig. 1.9, di lunghezza L=1.000mm e di sezione rettangolare h·b = 20·15 , è vincolata in A e in B rispettivamente con una carrello ed una cerniera ed è sollecitata da un carico N uniformemente distribuito q=400m (diretto lungo le Y negative rispetto al sistema di riferimento) dal punto C di mezzeria all’estremità B e da una coppia concentrata M=100Nm agente in B. Determinare le reazioni vincolari in A e B, disegnare i diagrammi delle sollecitazioni sulla trave e calcolare il coefficiente di sicurezza minimo per un acciaio avente un limite di snervamento Sy =300MPa .

Figura 1.9: Schema strutturale

Soluzione Poiché la struttura è isostatica il calcolo delle reazioni vincolari può essere eseguito utilizzando e risolvendo le sole tre equazioni di equilibrio (due alla traslazione lungo l’asse verticale Y e lungo l’asse orizzontale X ed una alla rotazione attorno ad un qualunque punto della trave). I carichi q ed M possono essere considerati agenti sia contemporaneamente sia singolarmente e poi applicare il principio di sovrapposizione degli effetti alle reazioni vincolari ottenute. La soluzione proposta terrà conto, prima dell’azione contemporanea dei carichi e poi, per confronto, dei carichi agenti singolarmente. Si considerano, dunque, due reazioni per il vincolo di cerniera in B (una orizzontale XB , ed una verticale YB) ed una reazione per il vincolo di carrello in A (solo verticale YA ). Come punto di equilibrio alla rotazione si sceglie il punto A, in modo da annullare il momento generato dalla reazione incognita del vincolo stesso, oltre a quello prodotto dalla reazione XB in corrispondenza dell’altro

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1.2. ESERCIZIO 2

vincolo. Per la determinazione delle reazioni vincolari il carico distribuito viene assunto equivalente ad un carico concentrato Q di intensità pari al prodotto del carico distribuito stesso q per la lunghezza su cui è distribuito L e applicato nel baricentro della distribuzione; pertanto Q 2 risulta applicato ad una distanza pari a L dal vincolo B come indicato 4 in Fig. 1.10 con un modulo pari a Q=q· L2 =400·0,5=200N .

Figura 1.10: Schema strutturale dei vincoli e dei carichi

Si può, quindi, scrivere il sistema di equazioni di equilibrio della struttura secondo i versi delle reazioni vincolari indicati in figura 1.10. ⎧ ⎪ ⎪ ⎨YA + YB − Q = 0

XB = 0 ⎪ ⎪ ⎩Y · L − Q · 3 B

4

(1.5)

·L+M =0

Risolvendo il sistema di equazioni 1.5 si ottengono le seguenti reazioni vincolari: ⎧ ⎪ ⎪ ⎨XB = 0

YB · 1.000 = 200 · 34 · 1.000 − 100.000 = 50N ⎪ ⎪ ⎩ YA = 200 − 50 = 150N

(1.6)

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CAPITOLO 1. STRUTTURE ISOSTATICHE

La reazione XB risulta dunque pari a 0 così come indicato dalla risoluzione del sistema di equazioni 1.5, quindi il vincolo può essere eliminato (Fig. 1.11).

Figura 1.11: Schema strutturale dei vincoli e dei carichi

Di seguito si disegnano i diagrammi delle sollecitazioni agenti sulla struttura considerando convenzionalmente positive le reazioni concordi a quelle rappresentate sul concio di trave di Fig. 1.12. Il diagramma del momento flettente si disegna dalla parte delle fibre tese con pendenza negativa ancorché il taglio, cioè la sua derivata T = dM risulti positivo; dx dunque la pendenza del diagramma dei momenti si disegna sempre, per convenzione, con segno opposto a quello del taglio. Si ricorda inoltre che  dT il carico distribuito risulta essere la derivata prima del taglio q = dx ed essendo il taglio, a sua volta, la derivata prima del momento flettente, il equivale alla derivata seconda del momento flettente   carico2 distribuito d M q = dx2 . Di conseguenza, dove è presente un carico distribuito l’andamento del taglio sarà lineare, mentre il diagramma del momento risulterà parabolico. Il valore massimo del momento flettente si ha in corrispondenza della mezzeria della trave ovvero nel punto C in cui è applicata la coppia concentrata M. Tale punto risulta essere un punto di discontinuità del diagramma del momento, pertanto il valore del momento calcolato immediatamente a sinistra di tale punto ( Mf_sx) risulta essere differente dal valore del momento calcolato immediatamente a destra ( Mf _dx ).

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1.2. ESERCIZIO 2

Figura 1.12: Convenzione sui segni

Figura 1.13: Diagramma del taglio

I due valori differiscono di una quantità pari al valore del momento concentrato M . Il calcolo del momento massimo eseguito partendo dal punto A è il seguente: Mf _sx = YA ·

L = 150 · 500 = 75.000N mm = 75N m 2

(1.7)

Il valore del momento flettente immediatamente a destra del punto B vale invece: Mf _dx = Mf _sx − Mf = 75 − 100 = −25N m

(1.8)

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CAPITOLO 1. STRUTTURE ISOSTATICHE

Figura 1.14: Diagramma del momento flettente

Infine, nel tratto parabolico del diagramma il valore del momento flettente in corrispondenza del punto D in cui il taglio si annulla (punto di massimo relativo) può essere calcolato una vota definita la distanza X del punto D rispetto al punto B. Tale distanza si calcola come segue:

YB − q · X = 0

=⇒

X=

50 YB = 125mm = 0, 4 q

(1.9)

Il valore del momento in D risulta, dunque, pari a:

Mf _D = YB ·X −q · X ·

125 X = 50·125 −0, 4·125· = 3, 125N m (1.10) 2 2

Ne consegue che sulla trave agisce nel punto C uno sforzo di taglio massimo pari a T=150N ed un momento flettente massimo pari a Mf =75Nm. Poiché la trave è costituita da una sezione rettangolare piena possono essere a questo punto calcolate le tensioni nel modo seguente: 3 T 3 150 = 1MPa · = · 15 · 20 2 A 2 Mf 6 · 75.000 = ±75MPa =± =± Wf 15 · 202

τT _max = σM f_max

(1.11)

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1.2. ESERCIZIO 2

La tensione τ di taglio è trascurabile rispetto alla tensione σ da momento flettente. Il coefficiente di sicurezza minimo risulta, dunque, calcolato dalla Eq. 1.12. CS =

Sy 300 =4 = σM f_max 75

(1.12)

Di seguito si calcolano le reazioni vincolari applicando il principio di sovrapposizione degli effetti. L’azione della sola coppia concentrata M in mezzeria produce sui vincoli A e B le seguenti reazioni per le quali il pedice M indica le reazioni dovute al momento. ⎧ ⎪ ⎪ ⎨XB_M = 0

+Y

Y

=0

A_M B_M ⎪ ⎪ ⎩Y B_M · 1.000 + M = YB_M · 1.000 + 100.000 = 0

⎧ ⎪ ⎪ ⎨XB_M = 0

YB_M = −100N ⎪ ⎪ ⎩

(1.13)

(1.14)

YA_M = 100N

Per quanto riguarda l’azione del carico distribuito sulla metà di destra della trave questa produce in A e in B le seguenti reazioni per le quali il pedice Q indica le reazioni dovute al carico distribuito. ⎧ ⎪ ⎪ ⎨XB_Q = 0

YA_Q + YB_Q − Q = YA_Q + YB_Q − 200 = 0 ⎪ ⎪ ⎩Y 3 3 B_Q · L − Q · 4 · L = YB_Q · 1.000 − 200 · 4 · 1.000 = 0 ⎧ ⎪ ⎪ ⎨XB_Q = 0

= 150N

Y

B_Q ⎪ ⎪ ⎩Y = 50N

(1.15)

(1.16)

A_Q

Le reazioni complessive dei vincoli A e B dovute all’effetto combinato della coppia concentrata e del carico distribuito possono essere calcolate come somma algebrica delle reazioni dovute ai singoli effetti. Pertanto le reazioni totali in A e B sono pari a:

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CAPITOLO 1. STRUTTURE ISOSTATICHE

⎧ ⎪ ⎪ ⎨XB = 0

Y =Y

+Y

= −100 + 150 = 50N

B B_M B_Q ⎪ ⎪ ⎩Y = Y A A_M + YA_Q = 100 + 50 = 150N

(1.17)

La soluzione coincide con quella ricavata dall’analisi della trave considerando entrambe le azioni agenti contemporaneamente.

Figura 1.15: Schema strutturale con coppie spostate (tratteggiate)

Figura 1.16: Diagramma dei momenti con coppia spostata (1)

1.2. ESERCIZIO 2

15

Figura 1.17: Diagramma dei momenti con coppia spostata (2)

Infine è bene sottolineare che, nel caso in cui la coppia concentrata venga spostata rispetto alla mezzeria come indicato dalle coppie tratteggiate riportate in Fig. 1.15, l’unico effetto prodotto è quello di modificare il diagramma del momento flettente. I digrammi che ne derivano sono riportati rispettivamente in Fig. 1.16 e Fig. 1.17. In particolare si può notare che il massimo relativo del momento flettente rimane sempre nel punto D e, nel caso dello schema di Fig. 1.17 corrispondente ad una coppia concentrata in B, esso corrisponde anche al valore di massimo assoluto pari a Mmax 100+3,125=103,125Nm .

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CAPITOLO 1. STRUTTURE ISOSTATICHE

1.3

Esercizio 3

La struttura schematizzata in Fig. 1.18 è realizzata mediante una trave a cassone in acciaio saldata nei punti A e B e caricata nei punti C e D con forze d’intensità F=2.000N . Conoscendo la lunghezza L=1.000mm dei tratti di trave e le dimensioni esterne ( b1 =60mm, h1 =100mm) ed interne ( b2 =50mm, h2 =90mm) calcolare le reazioni vincolari in A e B, disegnare i diagrammi delle sollecitazioni ( N, T, Mf ) e calcolare il coefficiente di sicurezza minimo per un acciaio avente un limite di snervamento Sy =250MPa .

Figura 1.18: Schema della struttura Soluzione Poiché la struttura è isostatica il calcolo delle reazioni vincolari può essere eseguito utilizzando e risolvendo le sole tre equazioni di equilibrio (due alla traslazione lungo l’asse verticale Y e lungo l’asse orizzontale X ed una alla rotazione attorno ad un qualunque punto della trave). Si considerano, dunque, due reazioni per il vincolo di cerniera in A (una orizzontale XA , ed una verticale YA ) ed una reazione per il vincolo di carrello in B (solo orizzontale XB ). Come punto di equilibrio alla

1.3. ESERCIZIO 3

17

rotazione si sceglie il punto A in modo da annullare il momento generato dalle due reazioni incognite del vincolo stesso.

Figura 1.19: Schema strutturale dei vincoli e dei carichi Si può, quindi, scrivere il sistema di equazioni di equilibrio della struttura secondo i versi delle reazioni vincolari indicati in figura 1.19. ⎧ ⎪ ⎪ ⎨YA − 2 · F = 0

XA + XB + 2 · F = 0 ⎪ ⎪ ⎩

(1.18)
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