Dasar-dasar Getaran Mekanis.pdf PDF

Preview

Summary

C DASAN-DASAR GEMMEITANIS Tunggo Bhimodi Koryoso Penerbit ANDI Yogyokorto Dosor-dosor Geloron Mekonis Oleh: Tunggo BK q[3 '470 KATA PENGANTAR lnrc /r/zorz Hok Cipto O 201 I podo Penulis Editor : Fl. Sigit Suyontoro Setting : Sri Mulonto Desoin Cover : Bowo Korektor : Suci Nurosih f Aktor Sodewo ...

Description

C

DASAN-DASAR

GEMMEITANIS Tunggo Bhimodi Koryoso

Penerbit ANDI Yogyokorto

Dosor-dosor Geloron Mekonis Oleh: Tunggo BK Hok Cipto O 201

I

podo

KATA PENGANTAR

q[3 '470 lnrc /r/zorz

Penulis

Editor : Fl. Sigit Suyontoro Setting : Sri Mulonto Desoin Cover : Bowo Korektor : Suci Nurosih f Aktor Sodewo Hok Cipto dilindungi undong-undong. Dilorong memperbonyok otou memindohkon sebogion otou seluruh isi buku ini dolom bentuk opopun, boik secoro elektronis moupun mekonis, termosuk memfotocopy, merekom otou dengon sistem penyimponon loinnyo, tonpo izin tertulis dori Penulis. Penerbir: C.V ANDI OFFSET (Penerbit ANDI) Jl. Beo 38-40,Telp. (O2741 56188.l (Hunting), Fax. (O274\ 588282 Yogyokorro

5528

r

Percetokon: ANDI OFFSET Jl. Beo 38-40,Ielp.(O27a) 56.l88.l (Hunting), Fax.(O274lr 588282 Yogyokorro

5528

r

Puji syukur kepada Tuhan Pencipta Alam saya panjatkan dengan terbihrya Bul< !fi-+rrra .E * IlO(} >< !07 l{y'rrr? r: I (} crrr (*)

{tt}

hka k", menyatakan konstanta pegas ekuivalen sistem, maka:

L=r*( l-* 'l: k., I k, k, ) , t't

4w(kt+k:) k,k ,

k,k.

a(k,+ k,)

Persamaan getaran dengan kekakuan ekuivalen menjadi sebagai berikut:

-

m x+k",, x =0

Gambsr 2.7u Bebou patln bctrrang lrcist Sebuah pabrik menggunakan mesin pengangkat dan pemindah barang tipe sebuah batang sebagai bentangan yang dapat

ioisl. Hoist digantungkan pada

bergerak sepanjang lintasan. Beban diikatkan pada kabel. Idealisasi sifat pegas pada hoist diberlakukan untuk beam dan kabel yang dihubung seri. Model hoist seperti pada Gambar 2.7(a).

Tentukan:

\

Frekuensi natural sistem ketika hoist digunakan untuk mengangkat benda sebesar 800 kg dengan panjang tali 9 m.

f Dasar-Dasar Getaran Mekanis

60

c

Jawab: Langkah pertama yang dilakukan adalah membuat asumsi agar persoalan ini dapat dijawab dengan menempatkan hoist di tengah bentangan batang. Konstanta kekakuan dapat ditentukan menjadi:

.

l-

Getaran Bebas Sistem Satu Der

_

48EI

4r(2oox to' Nf m'\(:,s* to-'m'\

"n- t

(s,t,r)'

C(ms' + cs + k) =o

(2.22)

Karena ' C ' tidakboleh berharga nol maka persamaan 2.22menjadi:

=1,13*10'L m

ms'+cs+k:0

(2.23)

Persamaan 2.23 dlkenal sebagai persamaan karakteristik dan persamaan ini mempunyai dua akar dai runrus ABC, yaihs:

Konstanta kekakuan kabel menjadi:

k =AE _r(o,t "L9nt

Dalam hal ini, dan s adalah konstanta yang akan dicari. Substitusikan persamaan 2.7 ke dalam persamaan 2.21 sehingga persamaannya menjadi:

*)'(zo.o"to'wf

*')

=6,98*t0,L

c

c - --

2m

-L f,

_l

cl t-'

(2.24)

2*)

Dengan kondisi kekakuan bentangan dan kabel dipasang seri maka:

k- 11 I k,,'k, l,l3xtTsN/m

=9,73r

cq

10'

L m

6,98x108N/m

Jadi frekuensi natural sistem adalah:

rE-

'r=l;=

9,73x107N/m

=3,49 xl02

rad/detik

I

2.3 Getoron Bebos SDOF dengon Viscous Domping

a. Sistem getaran

b. DBB

Gombar 2.7b Sistern pegas-massa redamqn viscous

Sebuah sistem getaran bebas dengan redaman viscous SDOF dinyatakan pada Gambar 2.7(b). Jika ' x ' diukur dari posisi kesimbangan terhadap gerakan naik-turun massa ' m ', maka dengan menggunakan hukum

Dua akar dari persamaan karekteristlk2.Z4 adalah akar dari persamaan 2.21 yang dikenal sebagai eigenvalue. Bentuk solusi umum dari persamaan

Newton-2 diperoleh persamaan umum getaran bebas teredam dengan

tersebut adalah:

redaman viscous untuk satu derajat kebebasan, yaitu:

md2x/dt2+cdx/dt

+k x

(2.2r)

Seperti untuk solusi defleksi SDOF tanpa redaman, solusi persamaan getaran SDPF dengan peredam dapat diperoleh dengan asumsikan bentuk eksponensial yaitu:

x(t\:9""

(2.7)

x(r)=

C,e"" +C,e"'

Substitusikan persamaan2 .24 padapersamaan 2.25 menghasilkan:

x(t)

=

C,.n-;.'[{i"1'

-' * *

r,.n-*-@

(2.26)

t 62

Dasar-Dasar Getaran Mekanis

C1 dan C2 adalah konstanta yang dihitung dari kondisi awal x (0) dan dx/dt untuk t : 0. Solusi defleksi dengan mengasumsikan eksitasi berupa gaya sama dengan nol disebut sebagai solusi transien atau x,(t). Solusi defleksi dengan mempertimbangkan hubungan atau pengaruh F(t), yaitu eksitasi dari variasi bentuk asumsi gaya akan dibahas pada Bab III. Solusi defleksi ini disebut solusi Sready State dengan notasi x.(t). Defleksi total merupakan penjumlahan dari x,(t) dengan x.(t).

(Cr coS 1116 (t)

e

Cz sin

roa

(t)

)

Parameter evaluasi dari persamaan getaran berikut Persamaan

1.

4.

Rasio Frekuensi Rasio frekuensi adalah perbandingan antara frekuensi redaman terhadap frekuensi pribadi, sesuai persamaan berikut:

p:

coo

Akar

I

cDn

(2.31)

persamaan

(2.24) sekarang dinyatakan dalam

ini

s,, =(-(

diperoleh dari

Redaman kritis dengan notasi, 'c"' Selain frekuensi pribadi dengan notasi rll,,, parameter baru yaitu redaman kritis c" sebagai redaman maksimum yang memungkinkan sistem getaran masih dapat meredam gerakan, sehingga:

!"@-)r,

Solusi defleksi dengan asumsi .fungsi ekponensial sederhona untlk solusi transien (asumsi tanpa eksitasi gaya) dapat dinyatakan dalam tiga

tipe. Ketiga solusi ini semuanya dapat diaplikasilan. Masing-masing

(2.33a) (2.33b)

l2m)

2.

(2.33c)

k nt

(2.28)

= 2ma

Rasio Redaman

Rasio redaman dengan notasi

(

didefinisikan sebagai perbandingan antara konstanta redaman terhadap konstanta redaman lcritis, sehingga rasio redaman sama dengan:

rc

(2.2e)

5-

cr,

Substitr.rsikan persamaan 2.28 ke persamaan 2.27 sehingga:

C /ilt --L 3.

-C", Znt

-

dapatdibuat

-L(D

(2)

05

Konstanta C1 dan C2 diperoleh dari pengamatan atau asumsl pengamatan untuk dua kondisi di mana getaran terjadi. Asumsi utuk kedua konstanta ini tidak hanya untr-rk defleksi pada wakh-r tertentu, tetapi juga dapat dilakukan untuk percepatan dan kecepatan pada waktu yang ditentukan. Tentu saja asumsi untuk kecepatan dan percepatan berhubungan dengan kondisi turunan pertama atau turunan kedua dari salah satu persamaan 2.33(a) sampai persamaan 2.33(c) yang dipilih. Setelah kedua konstanta ini dapat ditentukan dari kondisi batas yang diberikan (asumsi atau memang pengamatan), maka plot Respons Dinamik SDOF ( tampilan kurva percepatan, kecepatan, defleksi, Edyz, atau a(t), v(t), x(Q,

Damping Frekuensi dengan notasi ro6 Damping frekuensi merupakan parameter sesuai hubungan berikut ini: cD,i:{.0,-(1

sehingga

(2.32)

(c )' k | ' I ---0 m = 2nt

(

(2127)

2.27,yaitu:

atau c

63

persamaan (2.24) menl adi:

Solusi persamaan transien dalam bentuk lain dapat diberikan, yaitu: -{o,,(t) +

x,(t):

Getaran Bebas Sistem Satu Derajat Kebebasan

Q30)

fO,

sebagai fungsi dari waktu) dari getaran bebas

s

Evaluasi kinerja getaran lamp mass terdiri dari dua bagian, yaitu evaluasi dari kurva respons dinamik, dan evaluasi dari kurva respons frekuensi (F(t) / x(t) sebagai fungsi dari roa r o,.). Respons frekuensi dibahas pada kondisi getaran dengan penerapan eksitasi. Eksitasi berupa gaya dan perpindahan

ini

dapat bekerja pada setiap asumsi pemodelan

H

rr

64

Dasar-Dasar Getaran Mekanis

lamp mass. Akar karakteristik 's1 dan s2' adalah akar alami dari dari solusi persamaan 2.30 ter-

persamaan 2.30, sehingga perilaku

Getaran Bebas Sistem Satu Derajat Kebebasan

Persamaan ini menunjukkan bahwa frekuensi getaran teredam adalah sama dengan:

gantung pada besaran redaman.

1_

Tiga kasus kondisi respons getaran benda terhadap beban luar yang diberikan sebagai beban kejut dari tiga harga ' ( '. Kasus ini dinyatakan dalam nomor '5' , '6' , dan nomor '7', berikut ini:

5.

65

Under Danrped

Utder dtunping atau kondisi teredam Getaran adalah kondisi osilasi

a,,

=!=a,,J1-e'

Solusi altematif dari persamaan 2.34 adalah:

*(t)=

71u-{''lo"'t

t'n(a4t + Qn)

atau gerakan getaran benda dengan sistem getaran yang ada mampu meredam getaran tersebut sampai berhenti. Ideal waktu berhenti adalah tak berhingga. Kondisi ini dicapai dengan syarat ( < 1.0 . Untuk kasus ini, '( (2-l )' menjadi negatif dan akar persamaan karakteristik menjadi

(2.36)

L

dengan,

(2.37)

, Ir, q ,,, *

A

t

'l' ,n

,r,t

(2.38)

)

sebagai berikut:

s,=(-( +i,,[r()r,,

(2.34)

=

(2.3e)

l*n+(a,*,, )

Jika akar persamaan ini dimasukkan ke persamaan2.30 maka menjadi:

x(r)

dan. g., = tatt-t[---a"l-l

Getaran yang digambarkan oleh persamaan 2.35 adalah gerakan harmonik dari frekuensi getaran teredam a6tetapi dengan adanya faktor

c,."(-c.''[4)'"' * r..nl'-t'[4)'"'

n-(.o" Persamaan ini sama dengan persamaan 2.33(a). Persamaan di atasjuga dapat ditulis seperti salah satu dari kedua bentuk

t . Amplitudo

gerakan harmonik menjadi semakin mengecil

secara eksponensial terhadap waktu, sesuai Gambar 2.8.

berikut: * (t) = A."-c",,' si = s-(,"" Persamaan

t

u(r[1

.r,., * O)

(c,.sin"[4.r,.t + C,cosr[1

.r,,.r)

ini sama dengan persamaan 2.33(b).

Konstanta 'C1 dan C2' ditentukan dari Initial Condition atau kondisi awal misalnya, t : 0, x(0) dan dr/dt= xa . Persamaan 2.33(b) menjadi:

x(t)

=s

-r,,,,( x(0)+( t

a,,

xo

n. r,-(n r,,

a,,rll -e' -------r,,,,,[]

t+

[ -r,,, ) x,,cosr[q

I

) (2.3s)

Gfrmbar 2.8 Getaran teredam

C

< I,0

Untuk kasus gerak berosilasi under damped, amplitudo osilasi mengalami penurunan secara logaritmik 6. Dan ' 5 ' didefenisikan sebagai perbandingan amplitudo getaran satu dengan gelaran berikutnya secara berurutan yang dapat diekspresikan menjadi sebagai berikut:

E

Dasar-Dasar Getaran Mekanis

66

Kondisi awal,

I

t:

0 dengan xu dan ,r o, maka persamaan 2.38 menjadi:

r xo+o),,xoll \l

*(r)=lr,*l (2.40)

iil penurunan

logaritmik 'rf ini diperoleh dari hasil pengukuran dengan alat ukur osiloskop, dan damping rasio riil dapat dihitung Secara

L

\

))

(2.46)

"-'',

Terlihat jelas bahwa persamaan 2.43 adalahtidak periodik, karena untuk e-""'t )0 pada t -+@. Getaran kondisi dengan gerakan menuju nol dapat diamati pada Gambar 2.9(a).

x(r)

dengan persamaan berikut:

(2.41)

Redaman Kritis

Data riil kecepatan x(t) durgan 'x dot ataudx/dt ' dan data percepatan dari x(t) dengan 'x clubble dot atilr df ld( Juga dapat digrrnakan r.ntuk menghitung parurunan logaritmik 6, yaitu dengan persamaan berikut: Gambar 2.9a Getaran dengan redaman

(

D=/rlouo, )

(2.42)

I

Ix(r + {, ).J

dx'ldt' \

b:/rl r(r + I

I

(2.43)

I

4,

x = e'o"' {[ *(0 ) + a,x( 0 )t + x(0

Gambar 2.9(b) menunjukkan tiga kemungkinan jenis respons dengan

).,1

simpangan awal x(0).

o ;

*(o>>

harga sama, sehingga karakterisitik menjadi sebagai berikut:

*(o\ 0.

Gambor 3.3 Kwta amplittulo retsio SDOF tanpa redanrun

Respons sistem terhadap eksitasi harmonik mendekati nol.

Dari Gambar 3.3 dapat kita identifikasi respons sistem menjadi 3 tipe, yaitu:

F(t): 4

J.

4.

<

Eksitasi Sistem Satu Derajat Kebebasan

5.

l.

6.

Harga pengurangan rasio amplitudo pada atau dekat resonansi ini penting untuk menentukan harga c benda dengan cara hasil perhitungan teori ini dibandingkan dengan hasil plot MF dari percobaan. Suatu perangkat lunak evaluasi harga c dilakukan dengan bantuan statistik.

7.

co

= ro n

t-2e'

(3.33)

'X'

-(

dapat diperoleh untuk

,.: [*),,,,.,

=

I ;e

r=

x\ ta I t_l \

rr / O=O,,

t

-2c

satu sama lain perlu diteliti untuk memastikan pilihan

Akibatnya, amplitudo getaran akan satu phase dengan gaya eksitasi. Jika

kondisi dengan sudut beda phase untuk r ))1, maka sudut phase resonansi mendekati 900 untuk semua nilai redaman.

(3.34) 9.

(

ini

Apabila satu kondisi dengan harga 'r' tertenhr memberikan sudut beda phase '$' tertenfu, memberikan ampitudo dinantik'X' dari fungsi eksitasi gaya F(t) tertentujuga. Satu kondisi ini bersesuaian dengan satu kurva prestasi kinerja evaluasi getaran yaitu, Kurva Respons Dinamik yaihr x(t) untuk gaya eksitasi F(t) tertentu. Jika harga Fe diasumsikan relatif kecil, maka harga r dianggap kecil. Untuk harga r yang sangat besar, maka sudut beda phase mendekati harga 180 derajat, sehingga Kurva Respons Frekuensi pada frekuensi resonansi naik secara asymtot.

Harga rasio amplitudo atau MF pada kondisi maksimum displacement atau

(idealisasi model getaran tanpa damper),

Harga sudut beda phase tergantung pada parameter sistem getaran yaitu, harga m, c, k, dan frekuensi gaya eksitasi ol. Pengaruh empat karak-

teristik

Harga 'co' dari persamaan 3.33 menjadi lebih rendah daripada frekuensi ini disebut Frekuensi

=',,r1-l

'e ,lJr'

parameter terbaik untuk produk dengan syarat tanpa terjadi getaran. Sebagai contoh, getaran SDOF te4'adi dan proporsional kasat mata dari displacement yang timbul. Terlihat jika nilai rasio frekuensi positif antara 0.1 sampai 0.9, maka rasio redaman dapat menyebabkan rasio frekuensi menjadi bilangan imajiner yaitu,2l2 < 0.99 sampai 2e'.0.19.

natural tak teredam, atau harga '{rJ,,'. Frekuensi Natural Teredam dengan notasi ' rD4 ', dan:

'r,

Untuk kondisi

grafik' X ' tidak memiliki puncak. Kondisi kedua dengan '(:0' (yang berarti kondisi benda diam), terjadi diskontinu pada r: l. Kedua kondisi ini merupakan penjelasan dari hasil perhitungan teori.

Getaran SDOF dengan redaman mempunyai amplitudo maksimum untuk harga 'r dan ro' yaitu: dan

Persamaan 3.34 dapat digunakan untuk menentukan redaman sistem secara eksperimental. Dalam pengujian getaran, jika respons amplitudo

maksimum dengan notasi ' X,,* ' dapat diukur dan tercatat dari alat percobaan, rasio redaman sistem dapat ditentukan dengan persamaan 3.34. Sebaliknya, jika redaman diketahui maka getaran amplitudo maksimum dapat diestimasikan.

1, atau

SDOF dengan redaman merupakan idealisasi damper dengan 'harga c'. Redaman ini dapat mengurangi MF sehingga MF tidak mencapai berhingga untuk r : I secara teoretik. Redaman memperkecil harga rasio amplitudo atau harga 'X/6,1 ' untuk semua harga frekuensi dai gaya eksitasi yang diterapkan.

f=

109

(3.3s)

Kurva Respons Frekuensi merupakan kurva kinerja getaran dengan harga resonansi pada kondisi ( co < o,,). Sudut beda phase '$' bertambah berbanding lurus dengan nilai redaman. Pertambahan redaman ini dalam kondisi riil, berarti pergantian sistem damper pada sistem SDOF dalam kondisi resonansi untuk ( (D o)n ). Hal ini menyebabkan sudut beda phase berkurang.

)

111

Eksitasi Sistem Satu Deraiat Kebebasan Dasar-Dasar Getaran Mekanis

110

Jadi displacement total SDOF dengan gaya eksitasi fungsi cosinus sederhana merupakan penjumlahan displacement dari persamaan transien ditambah displacement dari persamaan steady state. Persamaan displacement dari persamaan getaran satu derajat kebebasan untuk sistem dengan redaman yang dikenai eksitasi harmonik menjadi:

,(r)= xre-1'"' cot(a,,t -0r)* xco.s(ror-S)

r ,, -q' . , =- , dan persamaan 3.32. ' X6 dan Q6 ' dengan. o,/ = 0, tl I

'X

dan

/'

Gambar 3.11 dinyatakan terbalik, sebagai base seharusnya dibawah. Perpindahan arah y(t) memberi efek untuk kondisi turunan pertama dart y(t) tetapi tidak demikian halnya y(t) diberlakukan untuk turunan kedua. .v(t)

I

t(r -.v)

(3.36)

dari gerakan base yang diasumsikan sebagai simpangan harmonik sederhana. Pakar Fourier memberi solusi dengan menyatakan bahwa, bentuk eksitasi

serumit apapun dapat dijabarkan sebagai sejumlah

'n'

deret dalam bentuk

dua kelompok fungsi harmonik, yaitu bentuk sinus dan cosinus. Sistem pegas-massa SDOF mengalami gerakan harmonik seperti dinyatakan sesuai Gambar 3.11. Jika y(t) dinotasikan sebagai displacemnet dari base (yang nantinya dapat dikonversi menjadi gaya) dan x(t) displacement dari massa dari posisi keseimbangan getaran SDOF pada waktu tertentu, yaitu 't' dalam detik, maka perpanjangan relatif pegas-damper 'x-y' dengan kecepatan antara dua redaman adalah

;'; , dan dengan mengikuti

aturan

diagram benda bebas (DBB). Dari Gambar 3.11, kita dapatkan persamaan getaran SDOF sebagai berikut:

(3.37)

v)

+*

(a)

(b)

Gtmbor 3.11 SDOF eksilasi dari displacement bose

3.4 Respons SDOF dengon Eksitosi Hormonik Bose Berikut ini adalah SDOF getaran dengan input eksitasi dari pergerakan base, landasan, atau fondasi. Dua contoh sistem ini yaitu: gempa, dan mobil yang melaju pada gelombang jalan yang lumayan keriting. Untuk evaluasi sederhana dan bentuk kriting jalan atau bentuk goyangan landasan yang tidak menentu, analisis getaran ini diawali dari asumsi bentuk fungsi eksitasi

r(r -

H,

mengiku...