Deber#U3 Angie Garcia Vaque CUVG3 PDF

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Materia: Cálculo de una Variable.

Trabajo de Investigación: tarea U4

Docente: Pablo Antonio Salvatierra Villavicencio

Alumna: Angie Fernanda García Vaque.

Grupo #3

Guayaquil, Ecuador 2018-2019

Vol úme ne sdes ól i do sd er e v ol uc i ónu s a nd oe l mé t o dode : d i s c o , a r a n de l a , e n v o l v e nt eyc or t e st r a n s v e r s a l e s .

 Método de discos: Al cortar un sólido mediante planos perpendiculares al eje de giro las secciones que se obtienen son discos, con lo cual su volumen viene determinado por dv = πr2dx, o bien, dv = πr2dy, si el eje de giro es frontera a la región que gira; y por dv = π(r2 2 − r2 1) dx, o bien, dv = π(r2 2 − r2 1) dy, si el eje de giro es exterior a la región que gira. En consecuencia:

(Giro de trapecio curvilíneo). Si un trapecio curvilíneo limitado por la curva y = f(x), el eje Ox y las verticales por los puntos x = a y x = b gira alrededor del eje Ox, entonces el volumen del cuerpo de revolución que se engendra viene definido por la fórmula:

(Giro de región entre dos curvas). Si la región limitada por las curvas y = f1(x), e y = f2(x), siendo 0 ≤ f1(x) ≤ f2(x), y las verticales por los puntos x = a y x = b gira alrededor del eje Ox, entonces el volumen del cuerpo de revolución que se engendra viene definido por la fórmula:

Ejemplo:

 Método de Arandelas: Este método consiste en hallar el volumen de un sólido generado al girar una región R que se encuentra entre dos curvas como se muestra en la siguiente figura:

Sí la región que giramos para formar un sólido no toca o no cruza el eje de rotación, el sólido generado tendrá un hueco o agujero. Las secciones transversales que también son PERPENDICULARES AL EJE DE ROTACIÓN son arandelas en lugar de discos.

El radio exterior (radio más grande) lo determina la función y el radio interior (radio más pequeño) lo determina la función. Como en la sección anterior (método del disco) hallamos el área de la arandela así:

Definición: El volumen del sólido generado al girar la región R sobre el eje x o algún eje paralelo a él viene dado por:

 Método de Envolvente o Corteza:

Este método sirve para encontrar el volumen de sólidos de revolución, muchas veces este método es más fácil de aplicar que el método de discos o el de arandelas, debido a que en estos dos últimos métodos es difícil despejar las variables de la función y ponerlas en términos de una variable en específico dependiendo del eje de rotación.

 Método de cortes transversales:

Para secciones transversales de área A(x) perpendiculares al eje OX: Si el área de la sección de un sólido situado entre los planos verticales x = a y x = b en el plano perpendicular al eje OX, en el punto de abscisa x, viene dada por la función continua A(x), entonces, el volumen del sólido es:

Para secciones transversales de área A(y) perpendiculares al eje OY: Si el área de la sección de un sólido situado entre los planos horizontales y=c y y = d en el plano perpendicular al eje OY, en el punto de ordenada y, viene dada por la función continua A(y), entonces, el volumen del sólido es:

Ejemplo:

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Comprueba que el volumen de una pirámide con base cuadrada de lado L y altura h es:

 Longitud de arco y Superficies de revolución. •

Longitud de arco:

Se utilizan las integrales definidas para hallar las longitudes de arco de las curvas y las áreas de superficies de revolución Sea la función y= f(x) que representa una curva suave en el intervalo [a, b]. Entonces la longitud de arco de f entre a y b es:

 Una curva rectificable es aquella que tiene una longitud de arco finita. Se observará que una condición suficiente para que la gráfica de una función f' sea continua [a, b]. Dicha función tiene derivada continua sobre [a, b], y su gráfica en el intervalo de [a, b] es una curva suave.

Se puede aproximar la gráfica de f por n segmentos de recta cuyos puntos terminales son determinados por la partición.

 Superficies de revolución: Cuando se gira un arco de curva alrededor de un eje se genera una superficie de revolución. Sea y = f(x) con derivada continua en el intervalo [a, b], el área S de la superficie de revolución formada al girar la gráfica de f alrededor de un eje es:

donde f(x) es la distancia entre la gráfica de f y el eje de revolución.

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Ejemplo:...