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UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS – UFAM FACULDADE DE TECNOLOGIA – FT ENGENHARIA ELÉTRICA – TELECOMUNICAÇÕES

MODULAÇÃO FM

MANAUS-AM 2017

DIEGO GIOVANNI DE ALCÂNTARA VIEIRA

MODULAÇÃO FM Relatório técnico para obtenção de nota parcial

na

disciplina

Laboratório

de

Princípios de Comunicações Analógicas no período 2017/1.

Prof. Dr. Ayres Mardem Almeida do Nascimento

MANAUS-AM 2017

LISTA DE ILUSTRAÇÕES Figura 1 - Funções de Bessel de primeira espécie. Fonte: própria. ................................ 11 Figura 2 - Circuito modulador FM. Fonte: própria. ....................................................... 13 Figura 3 - Forma de onda do ponto A. Fonte: própria.................................................... 14 Figura 4 - Configuração do potenciômetro. Fonte: própria. ........................................... 14 Figura 5 - Sinal no ponto A. (a) Chave aberta (b) Chave fechada. Fonte: própria......... 15 Figura 6 - Sinal FM. Fonte: própria................................................................................ 15

RESUMO Circuitos moduladores FM são aqueles que realizam de forma física o processo da modulação em frequência. Esse presente relatório tem por objetivo realizar a simulação por meio de Software Multisim e Proteus. Avalia-se os sinais ao longo do circuito, em entrada, saída e processos-chave, tanto no domínio do tempo quanto no domínio da frequência. Palavras-chave: Modulação em Frequência; Domínio do Tempo; Domínio da Frequência.

ABSTRACT FM Modulator circuits are those that physically implement the frequency modulation process. This present report aims to simulate by Multisim and Proteus software. The signals along the circuit are evaluated in input, output and key stages in both the time and frequency domains. Keywords: Amplitude Modulation; Time Domain; Frequency Domain.

Sumário INTRODUÇÃO .............................................................................................................. 7 1 Modulação FM ............................................................................................................. 8 1.1 Propriedades de modulação em frequência .......................................................... 9 1.1.1 Constância da Potência transmitida ............................................................... 9 1.1.2 Não linearidade do processo .......................................................................... 9 1.1.3 Irregularidade das raízes ................................................................................ 9 1.1.4 Disfarce do sinal modulante .......................................................................... 9 1.1.5 Desempenho aprimorado para largura de banda de transmissão com ruído.. 9 1.2 Modulação FM de faixa estreita ......................................................................... 10 1.3 Modulação FM de faixa larga ............................................................................. 10 2 Simulações ................................................................................................................. 13 2.1 Modulador FM ........................................................................................................ 13 2.1.1 Objetivo ....................................................................................................... 13 2.1.1 Resumo Teórico ........................................................................................... 13 2.1.2 Roteiro do Experimento............................................................................... 13 Conclusão ..................................................................................................................... 16

INTRODUÇÃO A modulação em frequência faz parte de um conceito de modulação chamado modulação angular, em que a portadora pode ser alterada proporcionalmente a frequência ou fase do sinal modulante. Considerando a expressão generalizada da portadora, têm-se: 𝑒𝑜 (𝑡) = 𝐸𝑜 ⋅ cos 𝜔𝑜 𝑡

(1)

𝑒(𝑡) = 𝐸𝑜 ⋅ cos φ (𝑡)

(2)

O sinal modulado em ângulo, deve ter como expressão genérica: Em que 𝜑(𝑡) é a fase instantânea de 𝑒(𝑡).

Se a velocidade angular instantânea variar constantemente com o tempo, tem-se para essa nova situação, de que a fase instantânea pode ser calculada realizando a seguinte integração: 𝜑𝑖 (𝑡) = ∫ 𝜔𝑖 (𝑡)𝑑𝑡

(3)

Com base no conceito de modulação angular, pode-se fazer algumas considerações, a primeira delas é que se trata de um processo não linear. No contexto de comunicações analógicas, esse processo tem duas implicações: 

A análise espectral da modulação angular é complicada de ser feita.



A implantação da modulação angular é custosa.

A largura de banda de um sinal modulado de forma angular possui, na teoria, comprimento infinito. Dado que a amplitude da portadora é mantida constante, pode-se esperar que um ruído adicional pode afetar o desempenho do processo de forma menos significativa em relação à modulação em amplitude.

8

1 Modulação FM

Seja 𝜃𝑖 (𝑡) o ângulo de uma portadora modulada em um tempo t, assume-se que a função

do sinal que carrega a informação. Expressa-se o sinal modulado como: 𝑠(𝑡) = 𝐴𝑐 cos[𝜃𝑖 (𝑡)]

(4)

Em que 𝐴𝑐 é a amplitude da portadora. Uma oscilação completa ocorre quando o ângulo

𝜃𝑖 (𝑡) assume o valor de 2𝜋 radianos. Se 𝜃𝑖 (𝑡) cresce de forma monotônica com o tempo, então a frequência média em Hertz, dada sobre um pequeno intervalo de t até 𝑡 + Δ𝑡 é dado por: 𝑓Δ𝑡 (𝑡) =

𝜃𝑡 (𝑡 + Δ𝑡) − 𝜃𝑖 (𝑡) 2𝜋Δ𝑡

(5)

Diminuindo o intervalo Δ𝑡 de forma que se aproxime de zero leva a seguinte definição

de frequência instantânea do sinal modulado de forma angular s(t): 𝑓𝑖 (𝑡) = lim 𝑓Δ𝑡 (𝑡) Δ𝑡→0

𝑓𝑖 (𝑡) = lim [ Δ𝑡→0

𝜃𝑡 (𝑡 + Δ𝑡) − 𝜃𝑖 (𝑡) ] 2𝜋Δ𝑡

(6) (7)

1 𝑑 𝜃 𝑖 (𝑡 ) (8) ⋅ 𝑑𝑡 2𝜋 De acordo com a equação 7, pode-se interpretar que o sinal de modulação angular s(t) 𝑓𝑖 (𝑡) =

como um fasor girante de comprimento 𝐴𝑐 e ângulo 𝜃𝑖 (𝑡). A velocidade angular de tal fasor é

o termo derivativo de equação 8. Para uma portadora não-modulada, o ângulo 𝜃𝑖 (𝑡) é dado por: 𝜃𝑖 (𝑡) = 2𝜋𝑓𝑐 𝑡 + 𝜙𝑐

(9)

Há um número infinito de possibilidades as quais o ângulo 𝜃𝑖 (𝑡) pode ser variado de

alguma maneira pelo sinal modulante. De qualquer forma, considera-se apenas as duas formas mais usuais, modulação em fase e modulação em frequência, esta última, objeto deste relatório.

A modulação em frequência (FM) é a forma de modulação angular em que a frequ6encia

instantânea 𝑓𝑖 (𝑡) é variada linearmente com o sinal modulante m(t), como mostrado: 𝑓𝑖 (𝑡) = 𝑓𝑐 + 𝑘𝑓 𝑚(𝑡)

(10)

O termo constante 𝑓𝑐 representa a frequência da portadora não modulada; a constante 𝑘𝑓

representa o fator de sensibilidade de frequência do modulador, expresso em Hertz/Volts, assumindo que m(t) é uma forma de onda de tensão. Integrando a função mostrada na equação 10 e multiplicando o resultado por 2𝜋, tem-se:

9

𝑡

𝜃𝑖 (𝑡) = 2𝜋 ∫ 𝑓𝑖 (𝜏)𝑑𝜏

(11)

0

𝑡

𝜃𝑖 (𝑡) = 2𝜋𝑓𝑐 𝑡 + 2𝜋𝑘𝑓 ∫ 𝑚(𝜏)𝑑𝜏

(12)

0

Em que o segundo termo determina o crescimento ou decrescimento da fase instantânea devido ao sinal modulante. A forma de onda modulada em frequência é descrita pela equação: 𝑡

𝑠(𝑡) = 𝐴𝑐 cos [2𝜋𝑓𝑐 𝑡 + 2𝜋𝑘𝑓 ∫ 𝑚(𝜏)𝑑𝜏 ]

(13)

0

1.1 Propriedades de modulação em frequência Formas de onda moduladas angularmente carregam importantes características que serão usadas para discutir o processo. 1.1.1 Constância da Potência transmitida A potência média transmitida de uma onda FM é dada por: 1 2 (14) 𝐴𝑐 2 Assumindo-se que a carga aplicada é de 1 ohm, tal como determina o teorema de Parseva 𝑃𝑎𝑣 =

visto no relatório 1. 1.1.2 Não linearidade do processo Outra propriedade importante da modulação FM já mencionada na introdução é a nãolinearidade do processo. A onda FM viola o princípio da superposição. 1.1.3 Irregularidade das raízes A consequência de permitir que o ângulo instantâneo dependa do sinal modulante, conforme a equação 12. Isso leva ao fato de que o sinal modulante não tem um espaçamento regular entre suas raízes no domínio do tempo. 1.1.4 Disfarce do sinal modulante Foi visto que nos tipos de modulação em amplitude, o sinal modulante se apresenta como um envelope na onda modulada, com índice de modulação menor ou igual a 100%. Isso não ocorre na modulação em frequência, e também pode ser atribuído a não-linearidade do processo. 1.1.5 Desempenho aprimorado para largura de banda de transmissão com ruído Uma vantagem da modulação FM em relação à modulação AM é a capacidade de fazer um desempenho melhorado em relação a uma transmissão com ruído. Essa vantagem é atribuída

10

ao fato de quem a transmissão do sinal FM é menos sensível à presença de ruído aditivo, pelo fato de que o modulador não soma ponto a ponto os sinais modulante e portadora, como é conhecido pelos moduladores AM. Em contrapartida, a largura de banda do FM é bem maior que a usada em AM. 1.2 Modulação FM de faixa estreita O FM faixa estreita tem por objetivo reduzir a taxa de variação de frequência angular de modo a reduzir a largura de banda. Seja a equação do sinal modulado FM: 𝑒(𝑡) = 𝐸𝑜 cos(𝜔𝑜 𝑡 + 𝛽 sin 𝜔𝑚 𝑡)

𝑒(𝑡) = 𝐸𝑜 cos 𝜔𝑜 𝑡 cos(𝛽 sin 𝜔𝑚 𝑡) − 𝐸𝑜 sin 𝜔𝑜 𝑡 cos(𝛽 sin 𝜔𝑚 𝑡)

(15) (16)

Prosseguindo com a expressão:

𝑒(𝑡) = 𝐸𝑜 cos 𝜔𝑜 𝑡 − 𝛽𝐸𝑜 sin 𝜔𝑜 𝑡 sin 𝜔𝑚 𝑡

(17)

Resolvendo o produto entre senos:

𝛽𝐸𝑜 [cos(𝜔𝑜 − 𝜔𝑚 )𝑡 − cos(𝜔𝑜 − 𝜔𝑚 )𝑡] 2 𝛽𝐸𝑜 𝛽𝐸𝑜 𝑒(𝑡) = 𝐸𝑜 cos 𝜔𝑜 𝑡 − cos(𝜔𝑜 − 𝜔𝑚 )𝑡 + cos(𝜔𝑜 + 𝜔𝑚 )𝑡 2 2 𝑒(𝑡) = 𝐸𝑜 cos 𝜔𝑜 𝑡 −

(18) (19)

Em que a equação 19 é o comportamento de um sinal modulado em FM de faixa estreita (FMFE). É inevitável a associação desse sinal com o AM-DSB, com a diferença é que agora há uma inversão de fase na banda lateral inferior. 1.3 Modulação FM de faixa larga Tomando a equação 16, não se pode efetuar mais as simplificações feitas para o FMFE. Para resolver esse problema, utiliza-se as Funções de Bessel de primeira espécie, dadas por: cos(𝛽 sin 𝜔𝑚 𝑡)

(20)

= 𝐽𝑜 (𝛽) + 2 ⋅ 𝐽2 (𝛽) ⋅ cos 2𝜔𝑚 𝑡 + 2𝐽4 (𝛽) ⋅ cos 4𝜔𝑚 𝑡 +⋯

sin(𝛽 sin sin 𝜔𝑚 𝑡)

= 2 ⋅ 𝐽1 (𝛽) ⋅ sin 2𝜔𝑚 𝑡 + 2𝐽3 (𝛽) ⋅ sin 3𝜔𝑚 𝑡 + 2𝐽5 (𝛽) ⋅ sin 5𝜔𝑚 𝑡 + ⋯

(21)

Os coeficientes 𝐽𝑛 (𝛽) podem ser obtidos através do gráfico das funções de Bessel visto

a seguir:

11

Figura 1 - Funções de Bessel de primeira espécie. Fonte: própria. As funções de Bessel possuem algumas propriedades úteis para o desenvolvimento da equação do FMFL, são elas: 1ª propriedade: Para 0 ≤ 𝛽 ≤ 29:

𝐽𝑜2 (𝛽) + 2 ⋅ 𝐽12 (𝛽) + 2 ⋅ 𝐽22 (𝛽) + ⋯ + 2 ⋅ 𝐽𝑛2 (𝛽) = 1

Em que: 𝑛 = ∞.

(22)

2ª propriedade: ainda para 0 ≤ 𝛽 ≤ 29:

𝐽𝑜2 (𝛽) + 2 ⋅ 𝐽12 (𝛽) + 2 ⋅ 𝐽22 (𝛽) + ⋯ + 2 ⋅ 𝐽𝑛2 (𝛽) ≈ 0.98

Onde 𝑛 = 𝛽 + 1.

(23)

Essa observação das propriedades leva a conclusão de que os termos de ordem superior

a 𝛽 + 1 são praticamente desprezíveis ao desenvolvimento das funções de Bessel.

Retomando o desenvolvimento da equação 16 e substituindo as funções de Bessel: 𝑒(𝑡) = 𝐸𝑜 ⋅ cos 𝜔𝑜 𝑡

⋅ [𝐽𝑜 (𝛽) + 2 ⋅ 𝐽2 (𝛽) ⋅ cos 2𝜔𝑚 𝑡 + 2𝐽4 (𝛽) ⋅ cos 4𝜔𝑚 𝑡

+ ⋯ ] − 𝐸𝑜 ⋅ sin 𝜔𝑜 𝑡

⋅ [2 ⋅ 𝐽1 (𝛽) ⋅ sin 2𝜔𝑚 𝑡 + 2𝐽3 (𝛽) ⋅ sin 3𝜔𝑚 𝑡 + 2𝐽5 (𝛽)

⋅ sin 5𝜔𝑚 𝑡 + ⋯ ]

Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição:

(24)

12 𝑒(𝑡) = 𝐽𝑜 (𝛽) ⋅ 𝐸𝑜 ⋅ cos 𝜔𝑜 𝑡 − 2 ⋅ 𝐽1 (𝛽) ⋅ 𝐸𝑜 ⋅ sin 𝜔𝑜 𝑡 ⋅ sin 𝜔𝑚 𝑡 + 2

⋅ 𝐽2 (𝛽) ⋅ 𝐸𝑜 ⋅ cos 𝜔𝑜 𝑡 ⋅ sin 2𝜔𝑚 𝑡 − 2𝐽3 (𝛽) ⋅ 𝐸𝑜 ⋅ sin 𝜔𝑜 𝑡

(25)

⋅ sin 3𝜔𝑚 𝑡 + 2𝐽4 (𝛽) ⋅ 𝐸𝑜 ⋅ cos 𝜔𝑜 𝑡 ⋅ cos 4𝜔𝑚 𝑡 − 2𝐽5 (𝛽)

⋅ 𝐸𝑜 ⋅ sin 𝜔𝑜 𝑡 ⋅ sin 5𝜔𝑚 𝑡 + ⋯

Usando as identidades trigonométricas para desenvolver os produtos dos cossenos e senos: 𝑒(𝑡) = 𝐽𝑜 (𝛽) ⋅ 𝐸𝑜 ⋅ cos 𝜔𝑜 𝑡 − 𝐽1 (𝛽) ⋅ 𝐸𝑜

⋅ [cos(𝜔𝑜 − 𝜔𝑚 )𝑡 − cos(𝜔𝑜 + 𝜔𝑚 )𝑡] + 𝐽2 (𝛽) ⋅ 𝐸𝑜

(26)

⋅ [cos(𝜔𝑜 − 2𝜔𝑚 )𝑡 + cos(𝜔𝑜 + 2𝜔𝑚 )𝑡] − 𝐽3 (𝛽) ⋅ 𝐸𝑜

⋅ [cos(𝜔𝑜 − 3𝜔𝑚 )𝑡 − cos(𝜔𝑜 + 3𝜔𝑚 )𝑡] + 𝐽4 (𝛽) ⋅ 𝐸𝑜

⋅ [cos(𝜔𝑜 − 4𝜔𝑚 )𝑡 + cos(𝜔𝑜 + 4𝜔𝑚 )𝑡] − 𝐽5 (𝛽) ⋅ 𝐸𝑜

Finalmente:

⋅ [cos(𝜔𝑜 − 5𝜔𝑚 )𝑡 − cos(𝜔𝑜 + 5𝜔𝑚 )𝑡] + ⋯

𝑒(𝑡) = 𝐽𝑜 (𝛽) ⋅ 𝐸𝑜 ⋅ cos 𝜔𝑜 𝑡 − 𝐽1 (𝛽) ⋅ 𝐸𝑜 ⋅ cos(𝜔𝑜 − 𝜔𝑚 )𝑡 + 𝐽1 (𝛽) ⋅ 𝐸𝑜 ⋅ cos(𝜔𝑜 + 𝜔𝑚 )𝑡 + 𝐽2 (𝛽) ⋅ 𝐸𝑜 ⋅ cos(𝜔𝑜 − 2𝜔𝑚 )𝑡 + 𝐽2 (𝛽) ⋅ 𝐸𝑜 ⋅ cos(𝜔𝑜 + 2𝜔𝑚 )𝑡 − 𝐽3 (𝛽) ⋅ 𝐸𝑜

⋅ cos(𝜔𝑜 − 3𝜔𝑚 )𝑡 + 𝐽3 (𝛽) ⋅ 𝐸𝑜 ⋅ cos(𝜔𝑜 + 3𝜔𝑚 )𝑡 + 𝐽4 (𝛽) ⋅ 𝐸𝑜 ⋅ cos(𝜔𝑜 − 4𝜔𝑚 )𝑡 + 𝐽4 (𝛽) ⋅ 𝐸𝑜

⋅ cos(𝜔𝑜 + 4𝜔𝑚 )𝑡 − 𝐽5 (𝛽) ⋅ 𝐸𝑜 ⋅ cos(𝜔𝑜 − 5𝜔𝑚 )𝑡 + 𝐽5 (𝛽) ⋅ 𝐸𝑜 ⋅ cos(𝜔𝑜 + 5𝜔𝑚 )𝑡 + ⋯

A equação 27 representa um sinal modulado em FM de faixa larga.

(27)

13

2 Simulações 2.1 Modulador FM 2.1.1 Objetivo Avaliar o funcionamento e as características de um modulador FM 2.1.1 Resumo Teórico A modulação em frequência consiste na variação da frequência da portadora em proporcionalmente à variação do sinal de informação. 2.1.2 Roteiro do Experimento a) Montar o circuito. O circuito montado no Proteus segue na figura 2:

Figura 2 - Circuito modulador FM. Fonte: própria. O circuito foi montado usando o software Proteus pela disponibilidade do CI 566. O transistor BF254 foi substituindo por um equivalente, o BF494. b) Com a chave K aberta, verificar a influência de Vx na forma de onda no ponto A. Medindo com o osciloscópio o sinal no ponto A, temos uma forma de onda referente a influência da tensão Vx, como se segue:

14

Figura 3 - Forma de onda do ponto A. Fonte: própria. Essa forma de onda é devido à saída quadrada do VCO LM566 sendo cortada e saturada pelo capacitor C3. c) Com a chave K aberta, ajustar no potenciômetro a tensão Vx = 6V. A tensão de 6V em Vx é obtida com o potenciômetro a 16%.

Figura 4 - Configuração do potenciômetro. Fonte: própria. d) Fechar a chave K e injetar um sinal senoidal a(t) com 6 Vpp e frequência de 1kHz.

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Observar a forma de onda no ponto A:

Figura 5 - Sinal no ponto A. (a) Chave aberta (b) Chave fechada. Fonte: própria. Devido as características da modulação em frequência, não é possível observar o comportamento do sinal no ponto B por meio de capturas de tela, já que o sinal fica se deslocando na tela do osciloscópio. Para ter uma ideia do entendimento, coloca-se uma figura com uma calibração do osciloscópio um pouco maior, para observar o rastro que esse deslocamento provoca:

Figura 6 - Sinal FM. Fonte: própria.

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Conclusão A modulação FM é um processo mais complexo em relação a modulação AM, o que trouxe uma série de situações interessantes a se destacar no experimento. A primeira delas, o uso de circuito integrado VCO e transistores de efeito de campo forçou a simulação a ser feita através de software Proteus, de biblioteca de componentes mais complexa, porém com maiores dificuldades de usabilidade. A principal dificuldade na observação do sinal modulado em FM no osciloscópio é a capacidade de o mesmo se deslocar ao longo da tela do osciloscópio, dificultando a calibração do dispositivo, além do fato de que não é possível relatar o comportamento do sinal através de capturas de tela. Essa característica foi discutida no item 1.1.4....