Diseño de Estructuras de Concreto Reforzado PDF

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Equation Chapter 1 Section 1 INSTITUTO TECNOLOGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY ESCUELA DE INGENIERIA Y CIENCIAS DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL DISEÑO DE ESTRUCTURAS DE CONCRETO REFORZADO Notas del curso DR. LUIS ORTA MAYO 2019 CONTENIDO 1. INTRODUCCIÓN ......................................

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Equation Chapter 1 Section 1 INSTITUTO TECNOLOGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY ESCUELA DE INGENIERIA Y CIENCIAS DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL

DISEÑO DE ESTRUCTURAS DE CONCRETO REFORZADO Notas del curso

DR. LUIS ORTA MAYO 2019

CONTENIDO

1.

INTRODUCCIÓN .......................................................................................................................... 4

2.

TEORÍA ÚLTIMA DE DISEÑO................................................................................................... 5

3.

PROPIEDADES DE LOS MATERIALES................................................................................... 8

4.

COMPORTAMIENTO DE VIGAS SUJETAS A FLEXIÓN .................................................. 11

5.

COMPORTAMIENTO A FLEXIÓN DE VIGAS DE CONCRETO REFORZADO ............ 12

6.

BLOQUE RECTANGULAR DE WHITNEY ............................................................................ 21

7.

MÉTODO DEL ACI318 PARA EL CÁLCULO DE MN ......................................................... 26

8.

VIGAS RECTANGULARES SIMPLEMENTE REFORZADAS ........................................... 29

9.

VIGAS T ........................................................................................................................................ 35

10. VIGAS RECTANGULARES DOBLEMENTE REFORZADAS ............................................ 42 11. DISEÑO POR CORTANTE ........................................................................................................ 56 12. DETALLADO DEL REFUERZO ............................................................................................... 65 13. COLUMNAS ................................................................................................................................. 73 14. LOSAS............................................................................................................................................ 94 15. DEFLEXIONES EN VIGAS ...................................................................................................... 108 16. PROBLEMAS PROPUESTOS .................................................................................................. 113

2

17. RESPUESTAS PARCIALES A PROBLEMAS SELECCIONADOS ................................... 131 18. APÉNDICE A: DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN .............................................................. 133 19. APÉNDICE B: COEFICIENTES PARA EL DISEÑO DE LOSAS. ..................................... 145 20. APÉNDICE C: MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO ................................ 146 21. APÉNDICE D: FORMULARIO ............................................................................................... 147 22. APÉNDICE E: CÓDIGO MATLAB® PARA DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN ........... 149 23. APÉNDICE F: CÓDIGO MATLAB® PARA CALCULAR UN PUNTO DE LA GRÁFICA MOMENTO-CURVATURA.............................................................................................................. 150

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1.

Introducción

El concreto es un material compuesto de agregado grueso, agregado fino, cemento, agua y aditivos. La Figura 1 muestra la distribución de agregados y pasta del concreto.

Figura 1 Concreto El concreto es un material resistente a esfuerzos de compresión, pero débil a la tensión. Cuando el esfuerzo de tensión excede la resistencia del material éste se fractura (separación de moléculas) formando una grieta perpendicular al esfuerzo de tensión que actúa. Los elementos de concreto se refuerzan con varillas de acero para: (1) Soportar los esfuerzos de tensión y (2) controlar el ancho de las grietas. A esta combinación de concreto y acero se le llama concreto reforzado. Las características básicas de una estructura son: Resistencia, rigidez, económica, estética y sustentable. La resistencia se dice que es adecuada cuando la fuerza resistente es mayor que las fuerzas internas, F R ≥ FU. La rigidez se dice que es adecuada cuando los desplazamientos son menores a la tolerancia, max ≤ tol. Las estructuras tienen que ser económicas, no baratas. Deberá de proporcionarse el refuerzo mínimo sin comprometer la seguridad o rigidez de la estructura. La estética es un aspecto importante debido a que las comunidades se identifican a través de la infraestructura que poseen. Finalmente el aspecto de sustentabilidad deberá ser considerado en todo el proceso de diseño, construcción, operación y conservación de las estructuras. El objetivo es minimizar el impacto ambiental y no comprometer los recursos naturales para futuras generaciones de la comunidad.

4

La seguridad estructural de elementos de concreto reforzado será el principal tema de este curso. Si la resistencia es mayor que las fuerzas internas entonces la estructura es segura, si son iguales entonces está en estado límite y si es menor entonces es insegura; esto es: Resistencia > Fuerzas internas



Estructura es segura

Resistencia = Fuerzas internas



Estructura está en el límite

Resistencia < Fuerzas internas



Estructura es insegura

Para asegurar la resistencia de estructuras existen dos teorías de diseño: (1) Teoría de esfuerzos permisibles y (2) Teoría de estados límite últimos. En este curso se utiliza la teoría de estados límites últimos.

2.

Teoría última de diseño

La filosofía de diseño es sencilla: las resistencias nominales se reducen y las cargas o fuerzas internas se amplifican. Se dice que una estructura es segura si cumple con el siguiente requisito: Rn ≥ U

[1]

Es decir, la resistencia factorizada es mayor o igual a la fuerza última.  es el factor de resistencia ( 306 kNm



La viga es segura

Si Mn = 306 kNm



La viga está en el límite

Si Mn < 306 kNm



La viga es insegura

(2) La viga está sujeta a momento positivo (tensiones en las fibras inferiores) y a momento negativo (tensiones en las fibras superiores). Cualquier zona de la viga sujeta a tensiones tiene que ser reforzada con varillas; entonces el refuerzo esperado en la viga es:

7

A

B

C

PTC

La posición del punto teórico de corte (PTC) corresponde al punto de inflexión del diagrama de momentos (x = 4.82 m). (3) A partir de la observación (2) se concluye que el refuerzo de elementos de concreto depende de la magnitud y dirección (positivo o negativo) del momento interno. (4) El refuerzo del lecho inferior tendrá que proveer una resistencia igual o mayor a 306 kNm y el refuerzo del lecho superior tendrá que proveer una resistencia igual o mayor a 48 kNm. Es de esperarse que la viga tenga más varillas en el lecho inferior que en el lecho superior (asumiendo el mismo tamaño de varillas).

3.

Propiedades de los materiales

Propiedades físicas nominales del concreto: Densidad = 2400 kg/m3 Peso volumétrico = 24 kN/m3 Coeficiente de expansión térmica = 10 5 /°C Las propiedades mecánicas reciben un estudio más profundo debido a que de éstas depende la resistencia nominal de elementos de concreto reforzado. La resistencia a compresión se estima a través de ensayos de cilindros de concreto. Se registra la carga y desplazamiento durante el ensayo y se grafica el esfuerzo versus la deformación. La Figura 2 muestra la gráfica esfuerzo-deformación del ensayo típico de cilindros de concreto. El esfuerzo máximo se denomina f c y la deformación máxima se denomina cu. La deformación a la cual ocurre el máximo esfuerzo se denomina 0. La curva se puede considerar lineal-

8

elástica hasta aproximadamente 0.45f c. La pendiente en cualquier punto de la gráfica se denomina el módulo de elasticidad, Ec.  [MPa]

  2  f c  f c  2  2   o o 

f’c

0.45f’c Ec o

cu

 [m/m]

Figura 2 Gráfica esfuerzo-deformación del concreto La magnitud de f c dependen de la proporción de ingredientes que forman el concreto (grava, arena, cemento y agua). Como regla general entre mayor sea la relación agua/cemento la resistencia disminuye. Los valores comunes que se utilizan en la industria de la construcción son: 20, 25, 28, 35 y 42 MPa. La resistencia nominal puede estimarse como fc  fc  8MPa , donde fc es la resistencia promedio de una serie de pruebas de laboratorio. La magnitud de o y cu no es tan sensible a la proporción de los ingredientes y se utilizan los siguientes valores de forma nominal: 0 = 0.00218 y cu = 0.003, a menos de que se especifiquen otros valores. El módulo de elasticidad del concreto se puede estimar de forma nominal como: EC = c1 f c

[3]

donde c1 = 4750 (MPa)½ . La resistencia a tensión del concreto no es nula, pero su magnitud es muy pequeña. Ésta se puede estimar a través del módulo de ruptura, f r = c2 C f c . Donde c2 = 0.625 (MPa)½, C es un factor igual a 1.0 para concretos de peso normal y 0.85 para concretos ligeros.

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Las propiedades físicas nominales del acero comúnmente utilizado para fabricar varillas de refuerzo son: Densidad = 7850 kg/m3 Peso volumétrico = 77 kN/m3 Coeficiente de expansión térmica = 10 5 /°C Observe que los coeficientes de expansión nominales son los mismos para el concreto y el acero. Es ésta la principal razón de utilizar varillas de acero. La resistencia a tensión se estima a través de ensayos de probetas de varillas. Se registra la carga y desplazamiento durante el ensayo y se grafica el esfuerzo versus la deformación. La Figura 3 muestra la gráfica esfuerzo-deformación del acero de refuerzo utilizando un modelo bilineal. El esfuerzo de fluencia se denomina fy y la deformación de fluencia se denomina y.  [MPa]

f s  E s s  f y

fy

ES

 [m/m]

y

Figura 3 Gráfica esfuerzo-deformación del acero La magnitud de fy depende de la proporción de ingredientes (carbono, hierro, zinc, etc) que forman el tipo de acero del cual están fabricadas las varillas. El acero común utilizado en la industria de la construcción tiene una resistencia a la fluencia fy = 414 MPa. Para fines de diseño este valor puede variar entre 400 y 420 MPa. La resistencia a compresión se puede considerar que es igual a la de tensión siempre y cuando no ocurra pandeo por compresión. El módulo de elasticidad del acero, ES, tiene una magnitud nominal de 200 GPa. La deformación de fluencia (y = fy/ES) no es muy sensible a los valores de fy y de forma nominal se utiliza y = 0.002, a menos que se indique otro valor.

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4.

Comportamiento de vigas sujetas a flexión

Para el estudio de vigas a flexión se analiza una viga simplemente apoyada con dos cargas puntuales de la misma magnitud localizadas a los tercios medios, ver Figura 4. El segmento AB está sujeta a fuerza cortante constante y momento flector. El segmento BC está sujeto únicamente a momento flector y se denomina zona de flexión pura. Se puede decir que el comportamiento de este segmento se debe exclusivamente al momento interno.

P

P B

C

L

A

D

Figura 4 Viga simplemente apoyada La sección transversal está sujeta a esfuerzos de tensión en las fibras inferiores y esfuerzos de compresión en las fibras superiores. Las deformaciones varían linealmente a partir del eje neutro; positivas para tensiones y negativas para compresiones. La ecuación que describe las deformaciones es:  = – y; donde  es la deformación en cualquier punto de la sección transversal, y es la posición del punto donde nos interesa conocer la deformación (medida a partir del eje neutro) y  es la pendiente de la recta (curvatura de la viga). El signo negativo es para indicar que curvaturas positivas producen compresiones en las fibras por arriba del eje neutro. La Figura 5 muestra la distribución de esfuerzos, , y de deformaciones, , en la sección transversal de la viga. En esta figura se asume que el material es elástico lineal y por lo tanto el diagrama de esfuerzos es simplemente una escala del diagrama de deformaciones;  = E, conocida como la Ley de Hooke.

Y

Y

Y

y

Z





Eje neutro

Figura 5 Distribución de esfuerzos y deformaciones 11

Para el caso de elementos de concreto reforzado la Ley de Hooke no aplica debido a que: (1) La gráfica esfuerzo deformación no es lineal para el concreto, (2) el concreto se agrieta para esfuerzos de tensión, (3) las varillas en tensión pueden estar fluyendo. Sin embargo, el diagrama de deformaciones se asume que es válido para elementos de concreto reforzado y éste sirve para evaluar el comportamiento a flexión de vigas de concreto reforzado.

5.

Comportamiento a flexión de vigas de concreto reforzado

El objetivo de esta sección es evaluar la resistencia a la flexión, Mn, de una viga de concreto reforzado sujeta a una curvatura conocida, . Las suposiciones del comportamiento son: (1) se desprecia la resistencia a tensión del concreto, (2) se conocen las gráficas esfuerzo-deformación de los materiales y (3) el diagrama de deformaciones es lineal en la sección transversal de la viga (secciones planas permanecen planas antes y después de la deformación). La Figura 6 muestra el análisis que se requiere hacer para calcular el momento resistente, Mn, de una viga de concreto reforzado. La Figura 6a muestra la sección transversal de ancho b, peralte h y con acero de refuerzo en el lecho inferior. El peralte efectivo d representa la distancia de la fibra más alejada en compresión al centroide de las varillas en tensión. La Figura 6b muestra la distribución de deformaciones; la ecuación que describe las deformaciones en cualquier punto de la sección transversal es:  = −   y = − ( sup / c )  y

[4]

Donde sup denota la deformación de la fibra superior, c se define como la profundidad del eje neutro medido a partir de la fibra más alejada en compresión y  es la curvatura de la viga. Observe que la deformación de las varillas se calcula con la ecuación [4] evaluada en y = − (d – c); esto es: S = (sup/c)(d – c)

[5]

12

Y

sup

Y

h

compresión



c

y



Z

Fc

fc

y d

tensión

Y

fs

Fs

s b (a)

(b)

(c)

Mn

jd

(d)

(e)

Figura 6 Análisis de la sección transversal La Figura 6c muestra la distribución de esfuerzos. Esta distribución es parabólica en el concreto en compresión, nula en el concreto a tensión y uniforme en las varillas de refuerzo. La ecuación que define los esfuerzos en el concreto es:

 2  2  f C  f C   2   0 0 

[6]

y la ecuación que define los esfuerzos en el acero es: fS = ES  S ≤ fy

[7]

La Figura 6d muestra las fuerzas resultantes en el concreto y acero. La fuerza en el concreto es:

FC   fc  dA

[8]

y está localizada en el centroide de la parábola1 que define la distribución de esfuerzos, es decir

y

 f  y  dA  f  dA c

[9]

c

1

Para secciones transversales rectangulares

13

La fuerza en las varillas de refuerzo está dada por: FS = AS  fS

[10]

donde AS representa el área total de las varillas de refuerzo a tensión y esta fuerza está ubicada a una distancia d. La distancia entre las dos fuerzas se conoce como el brazo de palanca, jd. Como la viga no está sujeta a una carga interna axial entonces la magnitud de la fuerza de compresión y tensión tienen que ser iguales2; FC = FS

[11]

A estas dos fuerzas con misma magnitud, misma dirección y sentido opuesto se le llama par de fuerzas. Dicho par puede ser sustituido por un momento de magnitud fuerza multiplicado por su brazo de palanca, Mn = FS  (jd)

[12]

En conclusión, el momento interno puede ser calculado numéricamente si se conoce la siguiente información: (1) Geometría y dimensiones de la sección transversal: b, h (2) Cantidad y posición del acero de refuerzo: AS, d (3) Propiedades mecánicas de los materiales: f c, 0, fy (4) La deformación superior sup o la curvatura .

2

Es decir: Fx = 0. Para el caso de columnas, Fx = Fn, donde Fn es la intensidad de la carga axial.

14

Ejemplo 2.

La viga que se muestra en la figura se refuerza con 4#8. La resistencia del concreto es de

30 MPa y la del acero 410 MPa. Determine el momento interno, Mn, y la curvatura, , cuando la sección transversal se sujeta a las siguientes deformaciones a compresión en la fibra superior. Considere 0 = 0.00208. ( a ) sup = 0.0002 ( b ) sup = 0.0004 590 650

( c ) sup = 0.0010

4#8

( d ) sup = 0.0020

250

( e ) sup = 0.0030

Solución: EC = 4750√30 = 26017 MPa AS = 4  507 = 2028 mm2 ( a ) sup = 0.0002 fc = ECsup = 260170.0002 = 5.2 MPa  fc < 0.45f c  La distribución de esfuerzos es lineal (ver Figura 2) FC = (½)  5.2  250  c = 650c

(ver Figura 5)

FS = ASfS = ASESS = ASESsup (dc)/c = (20282000000.0002)(590/c1) = 81120(590/c1) FC = FS



c = 216 mm

fS = ESS = ESsup (d/c1) = 200000  0.0002  (590/2161) = 69 MPa < fy = 410 MPa  o.k. 𝑦̅ = (2/3)c = (2/3)  (216) = 144 mm

jd = d  (c  𝑦̅) = 518 mm

Mn = FS  (jd) = 140422  518 = 72.7X106 Nmm = 72.7 kNm

 = sup/c = 0.0002 / 216 = 0.926X106 mm1 = 0.926 km1

15

( b ) sup = 0.0004 fc = ECsup = 260170.0004 = 10.4 MPa  fc < 0.45f c  La distribución de esfuerzos es lineal FC = (½)  10.4  250  c = 1300c FS = ASESsup (dc)/c = (20282000000.0004)  (590/c1) = 162240  (590/c1) 

FC = FS

c = 216 mm

fS = ESS = 200000  0.0004  (590/2161) = 138 MPa < fy = 410 MPa  o.k. (ver Figura 3) 𝑦̅ = (2/3)c = (2/3)  (216) = 144 mm

jd = d  (c  𝑦̅) = 518 mm

Mn = FS  (jd) = (280844)(518) = 145.5 kNm

 = sup/c = 0.0004 / 216 = 1.85 km1 ( c ) sup = 0.0010 fc =ECsup = 260170.0010 = 26 MPa  fc > 0.45f c  La distribución de esfuerzos NO es lineal  = (sup/c)y = 0.0010(y/c) fc = f ′c (2

ε

ε0

ε2

− ε2 ) = 28.85(y/c)  6.93(y/c)2 0

𝑐

Fc = ∫ fc dA = ∫0 [28.85(𝑦/𝑐) − 6.93(𝑦/𝑐)2 ]  b  d𝑦 = 3028c

FS = ASESsup (dc)/c = (2028)(200000)(0.0010)(590/c1) = 405600(590/c1) 

FC = FS

c = 222 mm

fS = ESS = (200000)  (0.0010)  (590/2221) = 331 MPa < fy = 410 MPa  o.k.

𝑦̅ =

𝑐

𝑦

𝑦 2

∫0 𝑦[28.85( 𝑐 )−6.93( 𝑐 ) ]bd𝑦 𝑐

𝑦

𝑦 2

∫0 [28.85( 𝑐 )−6.93( 𝑐 ) ]bd𝑦

= 0.651c = 0.651(222) = 144.5 mm

jd = d  (c  𝑦̅) = 512.5 mm

Mn = FS  (jd) = (672265)(512.5) = 344.5 kNm

 = sup/c = 0.0010/222 = 4.5 km1

16

( d ) sup = 0.0020  = (sup/c)y = 0.0020(y/c) fc = f ′c (2

ε

ε0

ε2