Distribucion de medias muestrales y TLC PDF

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Distribución de medias muéstrelas y el Teorema de limite central por medio de la indagación de libros....

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UNIVERSIDAD DE CUENCA

Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas

Estadística II

AE 02-02

Tema: “Distribución de medias muestrales y Teorema del límite Central”

Estudiantes: Campoverde Anthony Guanuchi Marina Ortega Nube Sinche David Yanza Karla

Docente: Eco. Lucia Domínguez

Cuenca, 6 de diciembre del 2016

Contenido Introducción..........................................................................................................................................3 Objetivos...............................................................................................................................................3 Objetivo General................................................................................................................................3 Objetivos Específicos.........................................................................................................................3 Conceptos básicos.................................................................................................................................3 Población...........................................................................................................................................3 Muestra.............................................................................................................................................3 Muestreo...........................................................................................................................................3 Error de muestreo.............................................................................................................................3 Parámetro..........................................................................................................................................3 Estadístico..........................................................................................................................................3 Distribuciones muestrales....................................................................................................................4 Distribución de medias muestrales........................................................................................................4 Características:......................................................................................................................................5 Formulas:...............................................................................................................................................5 Usos.......................................................................................................................................................7 Ejercicios................................................................................................................................................8 Teorema del límite central:..................................................................................................................15 Características:....................................................................................................................................16 Usos.....................................................................................................................................................16 Formulas:.............................................................................................................................................16 Ejercicios..............................................................................................................................................17 Conclusión...........................................................................................................................................22

Bibliografía........................................................................................................................................23 Anexos.................................................................................................................................................24

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Introducción. El estudio de una población recoge información con más exactitud, sin embargo, esta presenta diferentes inconvenientes, en especial cuando es muy numerosa como para estudiar a todos sus individuos, ya que, consume mayor cantidad de recursos como el tiempo y otras formas que afecten económicamente a dicho estudio. Por esta razón es que se recurre a la estadística inferencial para poder estimar las características de la población, las cuales son recolectadas, agrupadas y examinadas según la información recolectada de la muestra de dicha población. Esta muestra debe ser representativa para el estudio y para que dichas estimaciones sean válidas.

Objetivos Objetivo General Recolectar información acerca de la “Distribución de medias muéstrales y el Teorema de limite central” por medio de la indagación de libros. Objetivos Específicos -

Organizar la información y así llegar a una conclusión acerca del porque la muestra es la forma más factible de conocer a la población.

-

Analizar cómo se elabora una distribución de medias muestrales.

-

Entender la importancia del teorema del límite central.

-

Realizar diversos ejercicios para poner en práctica la investigación.

Conceptos básicos Población: Es la totalidad de individuos, medidas, y objetos de interés, esta puede ser finita o infinita. Se simboliza con “N”. Muestra: Hace referencia a una porción o a un conjunto de la población. Se simboliza con “n”. Muestreo: Es el procedimiento por medio del cual se estudia una parte de la población llamada muestra para inferir con respecto a toda la población. Error de muestreo: Es la diferencia entre el parámetro poblacional y el estadístico de la muestra utilizado para estimar la población. Parámetro: Es una medida usada para describir alguna característica de la población. Estadístico: Es una medida usada para describir alguna característica de la muestra. El estadístico se utiliza como estimador del parámetro.

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Tabla Nº 1: Simbología para cada medida. Medida Media aritmética Varianza Desviación típica o estándar Número de elementos

Parámetro µ σ σ

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Estadístico ´x 2 S S

N

n

Fuente: Estadística aplicada a los negocios y la economía, (2012). Elaboración: Equipo de trabajo.

Distribuciones Muestrales Corresponden a una distribución de todas las muestras que pueden ser escogidas conforme a un esquema de muestreo especificado. La selección de los elementos que van a conformar la muestra debe hacerse al azar, mediante un generador de números aleatorios, usando cualquier método: ya sea sorteo, tablas de números aleatorios, una calculadora o mediante EXCEL. Las muestras obtenidas son impredecibles por lo tanto una muestra obtenida de una población no va a tener la misma media muestral con respecto a otra muestra de la misma población; o incluso dichas medias pueden ser completamente parecidas. Por esa variación se requiere estudiar la distribución de todos los valores del estadístico.

Distribución de medias muestrales “Distribución de probabilidad de todas las posibles medias de las muestras de un determinado tamaño muestral de población” (Marchall, 2012, p. 275). Al aproximar un estadístico a un parámetro se presentan posibles errores de muestreo en los resultados, es decir, las medias muestrales cambian o varían de una muestra a otra, por esta razón las medias son aproximadamente iguales a las de la población pero no son iguales ni parecidas. La distribución muestral de la media es organizar todas las muestras posibles en una distribución de probabilidad, Mario (2004) afirma: “El valor de un estadístico, como la media ´ depende de los valores particulares incluidos en la muestra, y generalmente muestral X varia de una muestra a otra. Tal variabilidad de un estadístico se denomina variabilidad de muestro” (p. 252).

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Poblacion

Tabla Nº 2: Distribución muestral de medias.

Muestra 1

Muestra 2

Muestra 3

Muestra n

Distribución muestral de medias Fuente: Estadística y muestreo, (2012). Elaboración: Equipo de trabajo.

Características: -

La media de las medias de las muestras es exactamente igual a la media de la población.

-

Aunque no seleccionemos todas las muestras podemos esperar que la media de la distribución normal de medias se aproxime a la media de la población.

-

La dispersión de la distribución muestral de la media es menor que la dispersión de distribución poblacional.

-

La distribución muestral de la media suele tener forma de campana y se aproxima a la distribución de probabilidad normal.

Formulas: 

Fórmula para calcular el número de muestras posibles k =CnN = k =N n

N! n ! ( N−n )!

Sin reemplazo Con reemplazo

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Donde k es el número de muestras en la distribución muestral Fórmula para calcular la media poblacional.



μ=

∑X N

X= Observaciones N=Tamaño de la población Fórmula para calcular la media de todas las medias muestrales



μx´ =

∑ x´ k

Desviación típica de la población



√

σ=

∑ (x−´x )2 N

Como calcular la varianza de la media muestral



σ 2 ( ´x ) = σ n

2

σ 2 = Varianza de la población n= Tamaño de la muestra

La desviación típica (Se llama error estándar de



´ X

)

Para poblaciones infinitas σ ´x = σ

σ √n

= Desviación estándar de la población

n= Tamaño de la muestra 

Si el tamaño de la muestra, n, no es pequeño en comparación con el tamaño de la población, N, el error estándar de ´x es Para poblaciones finitas σ ´x =

√

σ N−n . √ n N −1

Cuando n˃5%N

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n= Tamaño de la muestra y

√

N −n N −1

= factor de corrección

Usos Es posible calcular la probabilidad de que la media de una muestra se encuentre dentro de cierto margen. Aplique esta fórmula para convertir cualquier distribución normal en una distribución normal estándar. Z=

x−μ σ “Sin embargo, la mayor parte de las decisiones de negocios se refieren a una muestra, no a una sola observación. Así, lo importante es la distribución de, la media muestral, en lugar de X, el valor de una observación. Éste es el primer cambio en la fórmula. El segundo consiste en emplear el error estándar de la media de n observaciones en lugar de la desviación estándar de la población. Después consulte la tabla para localizar la probabilidad de que una media muestral caiga dentro de determinada región:” (Marchal, 2012, p.287).

Z=

´x −μ σ / √n

´x

= Media de la muestra

μ = Media de la población σ /√ n

= desviación estándar de la distribución muestral de las medias.

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Ejercicios Ejercicio Nº 1 (Lind Marchal Wathen pág. 278) El despacho de abogados Tybo y Asociados conste de 6 socios. En la siguiente tabla se incluye en número de caso que en realidad atendió cada socio en los tribunales durante el mes pasado.

a) ¿Cuántas muestras de 3 son posibles? b) Enumere todas las posibles muestras de 3 y calcule el número medio de casos en cada muestra c) Compare la media de la distribución muestral de las medias con la de la media poblacional Solución Calculamos el número de muestras posibles para 3 mediante con

CNn =

N! N ( n ! −n ) !

720 =20 36 6! CnN = ¿

3 !( 6−3) !=¿=

Enumeramos todas las posibles muestras para 3 y calcularemos el número medio de casos en cada muestra Muestra

Combinación de valores (x)

Sumatoria ∑x

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

3,6,3 3,6,3 3,6,0 3,6,1 3,3,3 3,3,0 3,3,1 3,3,0 3,3,1 3,0,1 6,3,3 6,3,0 6,3,1 6,3,0 6,3,1 6,0,1 3,3,0 3,3,1 3,0,1 3,0,1

12 12 9 10 9 6 7 6 7 4 12 9 10 9 10 7 6 7 4 4

Media de las ∑X muestras n 12/3=4 12/3=4 9/3=3 10/3=0.33 9/3=3 6/3=2 7/3=2.33 6/3=2 7/3=2.33 4/3=1.33 12/3=4 9/3=3 10/3=3.33 9/3=3 10/3=3.33 7/3=2.33 6/3=2 7/3=2.33 4/3=1.33 4/3=1.33

Distribución de frecuencias ´X F 0.33 1 1.33 3 2 3 2.33 4 3 4 3.33 2 4 3

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Comparamos la media de la distribución muestral de las medias con la media poblacional μx´ = μ=

53.3 =2.67 20

3+6 + 3 +3 + 0 +1 =2.67 6

La media de las medias poblacionales es igual a la media muestral Ejercicio Nº 2 Una siderúrgica está produciendo actualmente cables para suspensión de puentes. La característica más importante de este producto es su resistencia, el peso que puede soportar antes de que se reviente. Por experiencias pasadas se sabe que el promedio de la resistencia es 3 de 6 toneladas con desviación típica de de tonelada. Para efectos de control se 4 selecciona una muestra de 9 cables y se adopta la siguiente regla de decisión: Si la resistencia promedio está por encima de 6.5 toneladas o por debajo de 5.5 se suspende el proceso. Si esta entre 5.5 y 6.5 se deja tal como está. a) ¿Cuál es la probabilidad de detener el proceso si la media de producción es aun de 6 toneladas? b) ¿Cuál es la probabilidad de detener el proceso si la media ya no es 6 toneladas sino 6.18 toneladas? c) ¿Cuál es la probabilidad de continuar el proceso si el promedio es en realidad de 6.4 toneladas? ¿Si es de 5.8 toneladas? Solución μ=6 toneladas

Media poblacional

σ =0.75 toneladas

Desviación estándar de la población

n=9

Tamaño de la muestra

a) P(´x 6.5 )=? b) (´x 6.5) =? c) (5.5...