Dominio e Imagen - Resuelto PDF

Preview

Summary

ejercicios de dominio e imagen resueltos...

Description

RESUELTO Dominio e imagen de funciones multivariable 1. Hallar el dominio e imagen de las funciones f1 y f2 2

(a) f1 : R −→ R/f1 (x, y) =

ex+y x2 −2xy+y 2 x+y 2

e (b) f2 : R −→ R/f2 (x, y) = x2 −2xy+2y 2

2. Dada la funci´on f3 definida como: f3 : R −→ R/f3 (x, y) =

Sabiendo que ϕ : R −→ R :

(−1)  2 (x + 5)2 + ϕ(y )

(1)

(a) ¿Que tiene que cumplir ϕ(y) para que Df3 = R2 ? Exhibir por lo menos una funci´on ϕ que cumpla lo pedido. (b) Calcular la imagen de f3

1. (a) Anotamos la funci´on nuevamente y arrancamos con el an´alisis. 2

ex+y f1 (x, y) = 2 x − 2xy + y 2

(2)

Para analizar el dominio observamos el denominador, y buscamos los valores para los cuales x2 −2xy +y 2 6= 0. Generalmente es mas f´acil o directo buscar el complemento de ese conjunto, entonces vamos a buscar los pares (x, y ) tales que x2 − 2xy + y 2 = 0. x2 − 2xy + y 2 = 0

(3)

As´ı como est´a es dif´ıcil encontrar los valores, mejor expresemos ese polinomio de otra manera, utilizando el m´etodo algebraico de completaci´ on de cuadrados. x2 − 2xy + y 2 = 0

−→

(x − y)2 = 0

(4)

−→

(5)

Ahora es muchisimo mas facil, nos queda que: (x − y)2 = 0

−→

x−y = 0

x=y

Por lo tanto el dominio queda definido por la ecuaci´on (6): Df1 = R2 − {(x, y) ∈ R2 /x = y} 1

(6)

En cuanto a la imagen, tenemos que analizar cuales son los valores que puede tomar la funci´on (o z, ll´amenlo como mas les guste). Entonces, en este caso, 2 como ex+y > 0, y (x − y)2 > 0 (no es ≥ ya que estamos excluyendo del dominio los pares (x, y) que anulan el denominador), la imagen queda: Im(f1 ) = R > 0

(7)

(b) Escribamos la funci´on aqu´ı abajo para recordarla: 2

ex+y f2 (x, y) = 2 x − 2xy + 2y 2

(8)

Si bien es muy parecida a la f1 , NO es igual, no hay error de tipeo, no tome falopa, nada raro. Ese 2y 2 cambia bastante si hablamos del dominio, en cuanto a la imagen ya veremos que no afecta en nada... Bien, como hicimos antes, analizemos el denominador de la funci´on e igual´emoslo a 0. x2 − 2xy + 2y 2 = 0

(9)

Ahora si completamos cuadrados, ya no nos queda el binomio al cuadrado solamente. Hag´amoslo (si es que todav´ıa no lo hicieron).

x2 − 2xy + 2y 2 = 0

(x2 − 2xy + y 2 ) + y 2 = 0

−→

(x − y)2 + y 2 = 0

(10)

Ya no es tan f´acil como antes que ten´ıamos que despejar y ya, en la ecuaci´on (10) podemos ver que tenemos una suma de t´ erminos positivos, esto conduce a que, en cualquier suma de t´ erminos positivos, la u ´ nica manera que se anulen (o sea, que esa suma de 0) es cuando ambos t´ erminos son 0 a la vez (en simultaneo). Entonces, se nos arma el siguiente sistema: 

(x − y )2 = 0 (y )2 =0

−→ −→

x=y y=0

(11)

Dado que la segunda condici´on nos determina que y = 0, reemplazando esta igualdad en la primera condici´on (x = y) nos queda que: (x − y )2 + y 2 = 0

si

(x, y) = (0, 0)

(12)

Por lo tanto, el dominio queda: Df2 = R2 − {(0, 0)}

(13)

Esta situaci´on de suma de t´erminos positivos igualada a 0 no es poco com´un, de hecho suele pasar seguido dependiendo el ejercicio. Una manera de generalizar todos los casos posibles es: (14) 

α(x, y)

2



+ β(x, y )

2 2

=0

=⇒

 

   2 β(x, y) 2 = 0 =0 α(x, y)

2

Hablando de la imagen, el numerador es el mismo (ex+y ) y el numerador cambia apenas, pero no quita la condici´on de que (x− y)2 + y 2 > 0, entonces la imagen queda: Im(f2 ) = R > 0

(15)

2. (a) Bien, teniendo descripta a f3 como: f3 : R −→ R/f3 (x, y) =

(−1)  2 (x + 5)2 + ϕ(y )

(16)

En primera instancia, nos piden que condici´on debe cumplir ϕ(y) para que el dominio sea todo R2 . Recordando un poco lo que hicimos en el ejercicio (1), analiz´abamos el denominador de la funci´on, luego ve´ıamos para que pares de (x, y) se anulaba, y los exclu´ıamos del dominio. Ahora, si queremos que el dominio sea todo R2 , justamente buscamos que NO haya pares (x, y) que anulen el denominador. Veamos que pasa en este caso. 2



(x + 5) + ϕ(y )

2

=0

=⇒

(

(x + 5)2 = 0  2 ϕ(y ) =0

(17)

Entonces, para que la igualdad NO se cumpla, buscamos que el sistema de dos ecuaciones tampoco se cumpla. La primera condici´on es inevitable, ya que si x = −5 se hace cero, pero cuando observamos la segunda condici´on, nos damos cuenta que nosotros tenemos el ”poder ” de decidir sobre ϕ(y), por lo tanto, le vamos a pedir a ϕ que NO se anule en ning´ un momento, matem´aticamente, esta petici´on quedar´ıa: ϕ(y) 6= 0 ( ∀ y ∈ R )

(18)

Como ejemplo podemos poner miles, tantos como se nos de la gana: ϕ(y) = ey ϕ(y) = y 2 + 1 etc. Lo que respecta a la imagen, podemos ver que el numerador es siempre negativo ( (−1) < 0 ) y el denominador es siempre positivo ( (x + 5)2 +  2 (−) ϕ(y ) > 0, por lo tanto: (+) = (−) Im(f3 ) = R < 0

(19)

Espero que les sirva 3

Nahuel...