2-Dominio e curvas de nível PDF

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IFCE ENGENHARIA DE MECATRÔNICA -2017-1 CÁLCULO III – Domínio e Curvas de Nível – Funções Multivariáveis DOMÍNIO

Uma função de duas variáveis pode ser representada graficamente como uma superfície no espaço, fazendose z = f ( x, y ). Ao fazer o gráfico de uma função de x e y, tenha em mente que, embora o gráfico seja tridimensional, o domínio da função é bidimensional – consiste nos pontos do plano xy para os quais a função é definida.

64  x 2  y 2 .

1 ) Determine o domínio e a imagem da função f ( x,y ) = Resolução:





64 x 2  y 2  0  x 2  y 2  64D f  x ,y R 2 :x 2  y 2  64

Temos pois : x² + y²  8² ( círculo ) logo, Im f  z  R : 0  z  8 ou Imf = [ 0; 8 ].

Exercicios: 1) Dada a função f(t) = ln t e g(x, y) = x2 + y, ache h(x, y) se h = f 0 g e determine o domínio de h.

x 2  y 2  z 2  4 ache f o g e seu domínio.

2) Dada a função f(x) = sen-1x e g(x) = 3) Determine o domínio de: a) f (x, y) 

1 2

1 x  y

b) f(x,y) = cos-1 (x – y )

c) f(x , y, z) = ln (z – y) + xy sen z

2

d) f (x, y)  1  x 2  1  y 2

e) f (x, y) 

g) Encontre o domínio natural de r(t) =

y  x2 1 x 2

f) f(x, y) = ln(9 – x2 – 9y2)

ln t 1 , e t , t  (ln t 1 i  e t j  tk)

h) Esboce o domínio natural da função f(x, y) = ln(x2 – y) i) Encontre o domínio de f(x,y,z) = ln(25 – x2 - y2 - z2) R.: Domínio: (ℝ³) 0 ≤ 𝑥² + 𝑦² + 𝑧² < 25 Logo, percebemos que o domínio será uma esfera maciça, de raio menor do que 5 (sendo a casca esférica que sobrepõe a esfera fora do domínio).

j) Determine e esboce o domínio da função f(x,y) = 4) Sabendo que a função T(x y) = 30  (x2  determinada pela elipse x 2 

y  x2 1 x

2

R.: {(𝑥, 𝑦)|𝑦 ≥ 𝑥2 , 𝑥 ≠ ±1} .

y2 ) representa a temperatura nos pontos da região 4

y2  1 , pergunta-se: 4

a) Em que ponto (x, y) a temperatura é a maior possível; b) Em que ponto (x, y) a temperatura é a mais baixa possível. CURVAS DE NIVEL As curvas de nível de uma função F de duas variáveis,são funções do tipo f(x,y)=K, onde K é uma constante. Em outras palavras, é como “cortar” o gráfico da função em diferentes alturas e depois planificar as imagens encontradas. Esboce as curvas de nível da função 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) =

9  x2  y2 para K = 0,1,2 e 3.

K = 0 ,temos z = 0 ; 9 − 𝑥² − 𝑦² = 0 → 9 = 𝑥² + 𝑦² , temos: Circunferência de raio 3 K = 1, temos z = 1 ; 9 – 𝑥2 − 𝑦² = 1 → 𝑥² + 𝑦² = 8, temos: Circunferência de raio 2 2 K = 2, temos z = 2 ; 9 – 𝑥2 − 𝑦² = 4 → 𝑥² + 𝑦² = 5, temos: Circunferência de raio K = 3, temos z = 3; 9 − 𝑥² − 𝑦² = 9 → 𝑥² + 𝑦² = 0, temos: ponto (x,y) = (0,0)

5

Curvas de nível da função f(x,y).

• • • •

CURVAS DE NÍVEL SÃO LINHAS QUE UNEM PONTOS DE IGUAL ALTITUDE NA SUPERFÍCIE REPRESENTADA Quanto mais próximas estiverem as curvas de nível, mais inclinado é o terreno; Quanto mais afastadas, menor será a inclinação do terreno. Curvas de nível indicam a altitude e a inclinação do terreno. Os intervalos existentes entre as curvas de nível são equidistantes, pois possuem a mesma diferença de altitude.

Exemplo: 7) Desenhe as curvas de nível de a) z = x2 – y2 ( Um parabolóide hiperbólico (sela de cavalo).

Curvas de nível

Gráfico

a) f(x, y) = x2 + y2 ( parabolóide elíptico de revolução):

Curvas de nível c) z = 4x2 + 9y2 (Um parabolóide elíptico magrinho)

d) z = |y| ( Uma asa de avião em formato cilíndrico reto).

Curvas de nível

Gráfico

e) z = x2 + 2 (Uma asa de avião em formato cilíndrico)

Curvas de nível

Gráfico

f) z= sen(x – y) ( Telhas)

Curvas de nível 2 2 8. Descreva a função f (x, y)  xe  x  y no Maple:

Gráfico

9. Ache uma função f(x, y) que tem a curva y  > plot3d(3/x^2,x=-3..3,y=-3..3);

10.Considere a função f dada por z =

3 como uma curva de nível. x2

y x 1

a) Determine o domínio e a imagem

b)Desenhe as curvas de nível

12.Considere a função z = f(x, y) = ln(ex y  1) . Faça um esboço do domínio de f e uma descrição de suas curvas de nível. > plot3d(ln(exp(x+y)-1),x=-3..3,y=-3..3, scaling=constrained);

Atividades no MAPLE: Gráfico de: a)

x2 y2 z2   1 36 16 9

> implicitplot3d(x^2/36+y^2/16+z^2/9=1,x=-6..6,y=-6..6,z=-6..6,numpoints=1000); b) x + y = 6 e xy = 5 (em conjunto) > implicitplot({x+y=6,x*y=5},x=-10..10,y=-10..10); c) r = θ > plot([t,t, t=0..2*Pi], coords=polar, scaling=constrained); d)

With(plots): Implicitplot3d(z-x2-y2=0,x=-2..2,y=2..2,z=2..2,Numpoints=3000,axes=normal);

With(plots): Implicitplot3d(z2-x2-y2=0,x=-2..2,y=2..2,z=2..2,Numpoints=3000,axes=normal);

e) z = 9  y2 > plot3d(sqrt(9-y^2),x=-3..3,y=-3..6);

2

g) 2  x2  y2  ex (cos( x2  y2 ), 0  x  1 e 0  y  1 > plot3d({2-x^2-y^2,exp(-x^2)*cos(x^2+y^2)},x=-1..1,y=-1..1);...