5- Curvas de nível e de indiferença PDF

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Professor Celso Campos...

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5- Curvas de nível e curvas de indiferença

Sejam f uma função definida num subconjunto D do R² e c um dos valores da função em D. O conjunto dos pontos (x, y)  D e tais que f(x, y) = c é, em geral, uma curva, e recebe o nome de curva de nível da função f, correspondente ao nível c. Exemplos: 1) Representar graficamente a função z = y – x, com (x, y)  R² no nível c = 1 y – x = 1  y = x + 1:

2) Idem para a função z = y – x², no nível c = 0 z = y – x² = 0  y = x²

1

3) Para a mesma função do exercício anterior, considerar o nível c = 1. z = y – x² = 1  y = x² + 1



Curvas de Indiferença (CI)

Seja f uma função do tipo z = f(x, y), com x ≥ 0 e y ≥ 0. Essa função gera uma curva de nível C referente ao nível c. Se essa curva for decrescente e com a concavidade voltada para cima, ela será chamada de curva de indiferença. Para saber se uma função gera uma curva de indiferença em um determinado nível, pode-se proceder a seguinte regra prática: (i) (ii)

se a primeira derivada da função for negativa no domínio, então a função é decrescente; se a segunda derivada da função for positiva no domínio, então ela tem a concavidade voltada para cima.

Exemplos: 1) Verificar se a função z = y – x² + 25x, 0 ≤ x ≤ 10, é uma curva de indiferença no nível c = 150. y – x² + 25x = 150  y = x² – 25x + 150 y’ = 2x – 25 < 0 para 0 ≤ x ≤ 10  é decrescente y” = 2 > 0 para 0 ≤ x ≤ 10  a concavidade é voltada para cima. A função dada é uma curva de indiferença no nível c = 150. De fato, vejamos o gráfico:

2

z=0,5.e y+ √x

2) Idem para

, x > 0, no nível z = 20.

0,5.e y+√ x =20 → e y+ √ x =40 1

Aplicando Ln, temos:

( )

−1

1 y ' = − ⋅x 2

2

x Ln e y+ √ =Ln 40 → y + √ x =3,7 → y =3,7−√ x=3,7−x

−1 = 2 √x

< 0 para x > 0  é decrescente

y=left( - { {1} over {2} right )cdot left( - { {1} over {2} right )cdotxrSup{ size 8{ -3} wideslash {2} } = { {1} over {4sqrt{xrSup{ size 8{3} } } { ¿ Portanto, a função

2

z=0,5.e y+ √ x

> 0 para x > 0  a concavidade é voltada para cima , x > 0, é curva de indiferença no nível z = 20.

Exercícios I) Representar graficamente as curvas de nível das funções seguintes, correspondentes aos níveis indicados.

3

II) Verificar se as curvas correspondentes aos níveis c dados são ou não curvas de indiferença.

Gabarito I)

4

II) 1) É CI; y’ = -5/x² e y” = 10/x³ 2) É CI; y’ = 2x – 10; y” = 2 3) É CI; y’ = -ln 10 / x²; y” = 2.ln 10 / x³ 4) Não é CI; y’ = 1/x > 0 para x > 0  é crescente 5) É CI; y’ = -54/x³; y” = 3.54/x4

5...