Dominio Frecuencia - Nota: 5 PDF

Preview

Summary

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD TRABAJO COLABORATIVO DE LA TAREA 2 Señales en el dominio de la frecuencia SEÑALES Y SISTEMAS Tutor: Grupo: 203042_8 Nombre código Nombre código Nombre código Nombre código CIUDAD BOGOTA DC MARZO 2020 Contenido INTRODUCCION.................................

Description

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

TRABAJO COLABORATIVO DE LA TAREA 2 Señales en el dominio de la frecuencia SEÑALES Y SISTEMAS

Tutor:

Grupo: 203042_8

Nombre – código Nombre - código Nombre - código Nombre - código

CIUDAD BOGOTA DC MARZO 2020

Contenido INTRODUCCION..................................................................................................................................3 OBJETIVOS..........................................................................................................................................4 DEFINICION DE CONCEPTOS...............................................................................................................5 Convolución continua y discreta....................................................................................................5 Convolución discreta: (Señales digitales)..................................................................................5 Convolución Continua: (Señales analógicas).............................................................................5 Estabilidad y causalidad de sistemas LTI.......................................................................................5 Correlación.....................................................................................................................................6 Auto correlación.............................................................................................................................6 Diferencia de correlación continua y correlación discreta..............................................................6 Series de Fourier:...........................................................................................................................6 La transformada Continua de Fourier:............................................................................................7 Ejercicio 1- Convolución continua (analítica)......................................................................................7 Ejercicio 2 – Convolución discreta (tabular y gráfica):......................................................................10 Ejercicio 3 – Series de Fourier..........................................................................................................12 Ejercicio 4 – Transformada de Fourier..............................................................................................16

INTRODUCCION

La temática para tratar en el desarrollo de la actividad es Señales en el dominio de frecuencia, el termino asociado a esta temática es usado para referenciar el análisis de funciones matemáticas, señales y movimientos periódicos respecto a la frecuencia. Desde ese punto empezamos a evaluar una señal en un espacio de tiempo o dentro de un rango, la descomposición de señales para su análisis se vuelve un proceso en el cual podemos aplicar diferentes procesos, uno de ellos es las series de Fourier la cual cumple básicamente con lo nombrado anteriormente (descomposición de la señal), pero en caso de señales no periódicas nos encontramos con la transformada de Fourier, es desde este primer análisis que parte el desarrollo de los ejercicios que se relacionan en el actual trabajo, donde estudiaremos conceptos relacionado a la temática general, y adicional desarrollaremos practicas.

OBJETIVOS



Desarrollar la conceptualización para tener bases solidas en el desarrollo de la práctica y el uso de cada uno de las teorías.



Realizar los ejercicios propuestas y a partir de la práctica comprender los diferentes fenómenos del análisis de las señales.



DEFINICION DE CONCEPTOS

Convolución continua y discreta La convolución es una operación matemática que de dos señales obtiene una tercera señal.

Convolución discreta: (Señales digitales) Con la convolución discreta obtenemos un resultado de un estado cero en un sistema LTI. Tenemos una entrada de señal x(n) y la respuesta al procesamiento de esta señal (impulso) es una señal h(n), por lo que obtenemos una señal de salida y(n)= x(n) * h(n).

Convolución Continua: (Señales analógicas) En tiempo continuo la convolución deriva de una integral, lo primero es representar la ecuación de la señal continua x(t) y recordando que el impulso continuo es definido como un límite de señal δΔ(t), cada función rectangular tiene un área ya que tiene una base y una altura que es igual a la amplitud de la señal en ese punto.   

En la ingeniería de sonido, ya que se hace el estudio de las señales, la convolución aplicada en efectos de sonido que se pueden explicar desde esta teoría. En la ingeniera eléctrica y/o electrónica en el estudio de la salida de un sistema lineal. En la teoría de la probabilidad, tenemos la convolución en la distribución de probabilidad de la suma de variables aleatorias.

Estabilidad y causalidad de sistemas LTI En un sistema estable tenemos una condición, h(n) debe ser absolutamente sumable, siendo una señal de energía y es equivalente a tener una respuesta al impulso. La respuesta al impulso se define para sistemas lineales y la estabilidad de sistemas se debe estudiar por otros medios. Cuando hablamos de casualidad en un sistema análogo, decimos que la casualidad en sistemas discretos en tiempo implica a un sistema no anticipativo con una respuesta de impulso h(n)=0, n ≤0, donde las señal de entrada x(n)

produce como resultado una señal y(n) y las dos tiene en común que inician desde η = n0

Correlación La correlación es similar a la convolución, pero en la correlación no se efectúa ninguna reflexión, su desplazamiento es hacia la izquierda y se basa en desplazar una función más allá de la otra y hallar el área bajo el producto resultante. Se aplica para estudiar relaciones entre dos variables distintas en sistemas electrónicos.

Auto correlación La autocorrelación se puede ver como la similitud entre la función x(t) y su desplazamiento, sin embargo,las dos funciones no se igualan, en palabras más sencillas y gráficamente se puede describir como una señal “original” y un desfase de esta, este desplazamiento se hace sobre t. Con ella podemos encontrar patrones repetitivos de una señal. En procesamiento digital de señales se usa para encontrar información sobre el período y la frecuencia de las señales.

Diferencia de correlación continua y correlación discreta Debemos tener en cuenta que cuando hablamos de discreto y continuo, específicamente estamos hablando deseñales digitales para discreta y análogas para continuo, es el principio de estos dos términos. Entonces la diferencia parte de la diferencia entre una señal discreta y una continua.

Series de Fourier: Es una herramienta matemática empleada para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de la función en infinitas funciones que son más simples (sinusoidales), dentro de estas funciones nos podemos encontrar la combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras.

Hablando en temas de señal se hace la separación de una señal periódica en sus componentes periódicos, de estos componentes se escogen las señales armónicas y senoidales, descomponiendo de esta manera la señal para el análisis.

La transformada Continua de Fourier: Como su nombre lo indica, la transformada continua de Fourier tiene propiedades de continuidad, esto nos permite extendernos en espacios de funciones, se considera que la transformada de Fourier es la descomposición de una señal compuesta de frecuencias. Esto se da a que cada ancho de pulso de la señal se aumenta en periodo de repetición, gráficamente es como lo demuestra la siguiente figura:

Señal en el dominio de tiempo → Señal en el dominio de frecuencia Y se puede realizar a la inversa a lo que se le denomina la inversa de la transformada de Fourier.

 

Se hace uso en la ingeniería en el procesamiento de señales, ya que podemos interpretar y amplificar la señal para su análisis. En la teoría de la probabilidad la cual estudia fenómenos aleatorios y estocásticos.

Ejercicio 1- Convolución continua (analítica) 1.1. usando como guía el ejemplo 6.2 de la página 134 del libro guía Ambardar y teniendo en cuenta las propiedades de dicha operación determine la convolución entre x (t) y h(t ) descritas a continuación:

Ítem grupal 6−e (¿¿ at )u ( t ) x ( t )=¿ −at h (t )=3∗e u ( t−6 ) Remplazamos a=6 6−e (¿¿ 6 t)u ( t ) x ( t )=¿ −6 t h (t )=3∗e u (t−6 )

Reemplazo de variables x (λ) h(t− λ)

6−e (¿¿ 6 λ)u ( λ) x ( λ )=¿ −6( t− λ )

h (t−λ ) =3∗e

u ((t−λ)−6 )

6−e (¿¿ 6 λ)u ( λ)∗3∗e−6 (t− λ) u ((t− λ)−6 ) ∞

y ( t )= ∫ ¿ −∞

Organizamos 6−e u ( λ ) u ( (t−λ)−6 )

−6( t− λ )

(¿¿ 6 λ)3 e

∞

y ( t )= ∫ ¿ −∞

Límites de la integral u ( λ ) =0 ( λ ) =0 u ((t− λ)−6 ) =0

t−λ−6=0 −λ=−t+ 6 Multiplicación de signos para quitar el negativo de λ λ=t−6

Remplazo los límites de la integral 6−e −6(t− λ ) dλ (¿¿ 6 λ)3 e t −6

y (t )=∫ ¿ 0

Aplicando ley distributiva t−6

−6 (t −λ) +3∗−e 6 λ e−6 (t− λ) dλ y (t )= ∫ 18 e 0 t−6

6 λ −6 t +6 λ −6 t +6 λ dλ +3 ¿−e e y (t )= ∫ 18 e 0

Los términos que no dependen de λ y/o constantes salen de la integral t−6

−6 t + 6 λ

e

6 λ −6 t +6 λ dλ dλ +¿ 3 ∫ −e e 0 t−6

y ( t ) =18 ∫ ¿ 0

Aplicando propiedad de exponentes t−6

6 λ −6 t 6 λ e−6 t e 6 λ dλ +¿ 3 ∫ −e e e dλ 0 t−6

y ( t )=18 ∫ ¿ 0

Dejamos afuera los términos que no dependen de

λ

t−6 6λ

−6 t

e dλ +¿ 3 e

∫ −e6 λ e 6 λ dλ 0 t−6

y ( t )=18 e−6 t ∫ ¿ 0

Simplificamos términos usando propiedad de exponentes

t−6 −6 t

6λ

e dλ +¿ 3 e

∫ −e12 λ dλ 0 t−6

y ( t ) =18 e−6 t ∫ ¿ 0

(

−e 12 λ ¿ 12 ¿

t −6

)|

0

t −6

(e6 )| 6λ

+ 3 e−6t ¿

¿ 0 −6 t y( t )=18 e ∗¿

−6 t y (t )=18 e ∗

((

(

e6 t−6 e 6 − 6 6

(

e6 t −36 1 −e12 t−72 −1 −6 t − − +3 e ∗ 6 6 6 6

(

)

( 0)

)

+ 3 e−6 t∗

(

)

)(

−e12 t −6 −e 12 − 6 6

( 0)

))

Resolvemos −6 t y (t )=18 e ∗

(

)

) ( ))

Aplicamos nuevamente propiedades de exponentes −6 t y (t )=18 e ∗

(

((

)

) ( ))

e6 t e−36 1 −e 12t e−72 1 −6 t + − +3 e ∗ 6 6 6 6

Resolvemos cada lado 18 −6 t 6 t −36 18 −6 t −3 −6 t 12 t −72 3 −6 t y (t )= e e e − e + e e e + e 6 6 6 6

( )

y (t )= 3 e0 e−36−3 e−6 t +

( )

6t

( )

6t

−3 3 −6 t e e−72 + e 6 6

−3 3 −6 t e e−72 + e 6 6 Reorganizamos los términos 6t −72 0 −36 −6 t 3 −6 t −3 e e y (t )= 3 e e −3 e + e 6 6 y (t )= 3 e0 e−36−3 e−6 t +

Esta es la expresión final pero se puede seguir simplificando 6t −3 −72 0 −36 −6 t 3 e e y (t )= 3 e e −3 e + e−6 t 6 6

Ejercicio 2 – Convolución discreta (tabular y gráfica): 2.2

Usando como guía el ejemplo 7.3 de la página 173 del libro Ambardar, determine la respuesta de un filtro FIR ( h[ n] ), a la entrada x [ n] . Posteriormente verifique su respuesta diseñando un script con el método gráfico de convolución, en Matlab u Octave y anexe el resultado junto con el script (práctica):

x [n ]= − [ 2, ˇ3 , a , 2 , b] h [n ] =[ 2.5, 0.5, bˇ , a] Reemplazamos valores de las constantes x [n ]= [− 2, ˇ3 , 6,2,2]

a

y b

h [n ] =[ 2.5, 0.5, 2ˇ , 6]

Eje de amplitud [−2,3ˇ ,6,2,2 ] Eje temporal n1=[−1,0 , 1, 2,3] Eje de amplitud [2.5,0.5, 2ˇ , 6 ] Eje temporal n2=[−2 ,−1 , 0 ,1] Índice de inicio

−1+− 2=− 3

Índice de terminación

3+1= 4

Longitud: L=L x + L y −1 L=5+ 4 −1=8 -2 -1 0 1 2 3 -2 3 6 2 2 2.5 0.5 2 6 -5 7.5 15 5 5 -1 1.5 3 1 1 -4 6 12 4 4 -12 18 36 12 12 y [n ] =¿ -5 6.5 12.5 2 n=¿ x [n ]=¿ h [n ] =¿

36

41

16

12

4

∑ −5, 6.5,12.5, 2ˇ , 36 , 41,16, 12 k=−3 La convolución inicia desde −3 ˇ 36 , 41, 16,12 y [n ] =−5, 6.5,12.5, 2,

Ejercicio 3 – Series de Fourier Usando como guía el capítulo 8 de la página 197 del libro Ambardar, dibuje tres (3) periodos de la siguiente señal x (t) y calcule los coeficientes trigonométricos de la serie de Fourier. a)

x (t )=2∗a∗rect (t−b) 

con T=4 s

Encuentre los coeficientes

a0 ,

ak y

bk

Nota: Para encontrar los coeficientes de la serie de Fourier, se tienen las siguientes expresiones matemáticas:

Recuadro de repaso, Ambardar página 199

“Para la solución de este ejercicio, se deben repasar los métodos de integración vistos en el curso de cálculo integral”

Reemplazamos las constantes: x (t )=2∗6∗rect (t−2) con T=4 s x (t )=8∗rect (t−2) con T=4 s Tenemos la primeraseñal

Graficamos la primeraseñal de desplazamiento

Ahora graficamos el periodo T=4

Limite inferior 2.5 Limite superior 3.5 Encontrar : a0 , a k y 1 1 F0 = = =0.25 T 4 Componente de continua ❑ 1 a0 = ∫x ( t ) dt TT

bk

3.5

a0 =

1 ∫ 8 rect ( t−2 ) dt 4 2.5 3.5

a0 =0.25 ∫ 8 rect ( t−2 ) dt=2 2.5

Calculamos coeficiente

bk

❑

2 bk = ∫x ( t ) sen ( 2 ᴨk f 0 t ) dt TT 3.5

2 bk = ∫ 8 sen ( 2 ᴨk 0.25 t ) dt 4 2.5

[

bk =0.5∗8∗

[

bk =4∗

−cos ( ᴨkt ) ᴨk

−cos ( ᴨk ( 2.5) ) ᴨk

]

3.5

2.5

−

−cos ( ᴨk ( 3.5) ) ᴨk

]

Calculamos coeficiente a k ❑ 2 a k = ∫x ( t ) cos (2 ᴨk f 0 t ) dt TT 3.5

ak=

2 8 cos ∫ ( 2 ᴨk 0.25 t ) dt 4 2.5

[

sen ( ᴨkt ) ᴨk

[

sen ( ᴨk ( 2.5 ) ) sen ( ᴨk ( 3.5 ) ) − ᴨk ᴨk

a k =4∗

bk =4∗

Remplazamos

]

3.5

2.5

]

k para los 3 valores de cada uno de los coeficientes

Ejercicio 4 – Transformada de Fourier 2.2

Usando como guía los ejemplos 9.5 de las páginas 259 del libro Ambardar y las tablas 9.1 y 9.2, determine la transformada de Fourier de las señales x (t) y y (t) , usando pares de transformadas y propiedades reconocibles. Posteriormente verifique su respuesta diseñando un script con la combinación lineal de señales usadas para obtener x(t) y y(t), en Matlab u Octave y anexe el resultado junto con el script (práctica):

a. b=2

0

1

3

4

t

-1

Tenemos una señal trapezoidal que la podemos descomponer en tres señales triangulares, con base a ellos vamos a la tabla de pares útiles de transformada de Fourier y utilizamos la de tri ( t ) para cada una de las señales triangulares y las sumamos hasta formar nuestra señal trapezoidal. x (t )=tri ( t +3 )+tri ( t +2 ) tri+(t+1) Ahora vemos un desplazamiento en cada función de tri por lo que vamos a las propiedades operacionales de la trasformada de Fourier y usamos la propiedad de desplazamiento Tenemos que:

Entonces

Reemplazamos valores j2 ᴨf 2 j 2 ᴨf senc2 ( f ) +e j 2 ᴨf senc2 (f ) x ( f ) =e senc ( f ) + e

Comprobación en Matlab Usamos la función triangularPulsepara crear lo pulsos triangulares que componen al trapezoide, finalmente se suman cada uno de los pulsos comprobando de esta manera que hemos usado de manera correcta las propiedades operacionales.

b. Ítem grupal

A simple vista vemos una señal senoidal. Usando los pares útiles de la tabla de transformadas de Fourier

x (t )= sen(2 ᴨ α t) La señal original parte de 0, su longitud es hasta 6 y su amplitud también es de 6. No hay desplazamiento. Validamos el uso de la transformada de Fourier y su análisis usando la función que tomamos de la tabla e ingresándola a Matlab. Obtenemos el siguiente resultado:

CONCLUSIONES

BIBLIOGRAIA Convolución Continua: Ambardar, A. (2002). Procesamiento de señales analógicas y digitales: Convolución. Cengage Learning, (2nd ed, pp. 130-155). Recuperado de https://link.gale.com/apps/doc/CX4060300057/GVRL? u=unad&sid=GVRL&xid=a65906f7

Correlación Continua: Ambardar, A. (2002). Procesamiento de señales analógicas y digitales: Correlación. Cengage Learning, (2nd ed, pp. 156-159). Recuperado de https://link.gale.com/apps/doc/CX4060300067/GVRL? u=unad&sid=GVRL&xid=744f759e Convolución Discreta: Ambardar, A. (2002). Procesamiento de señales analógicas y digitales: Convolución Discreta. Cengage Learning, (2nd ed, pp. 169-183). Recuperado de https://link.gale.com/apps/doc/CX4060300070/GVRL? u=unad&sid=GVRL&xid=f736ec2e

Correlación Discreta: Ambardar, A. (2002). Procesamiento de señales analógicas y digitales: Correlación Discreta. Cengage Learning, (2nd ed, pp. 187-188). Recuperado de https://link.gale.com/apps/doc/CX4060300079/GVRL? u=unad&sid=GVRL&xid=ff1dc3d0 Series de Fourier:

Ambardar, A. (2002). Procesamiento de señales analógicas y digitales: Series de Fourier. Cengage Learning, (2nd ed, pp. 197-204). Recuperado de https://link.gale.com/apps/doc/CX4060300083/GVRL? u=unad&sid=GVRL&xid=df5530fd Transformada de Fourier: Ambardar, A. (2002). Procesamiento de señales analógicas y digitales: Series de Fourier. Cengage Learning, (2nd ed, pp. 248-304). Recuperado de https://link.gale.com/apps/doc/CX4060300097/GVRL? u=unad&sid=GVRL&xid=ff1dc3d0...