Dopełnienie algebraiczne i minor PDF

Preview

Summary

Download Dopełnienie algebraiczne i minor PDF

Description

Dopełnienie algebraiczne elementu wyznacznika macierzy . Niech dana będzie dowolna macierz kwadratowa A wymiaru n xn ; czyli macierz postaci 11 21

A=

. .

1

12

. . .

. . . . . . . .

1 2

. .

.

Dopełnieniem algebraicznym elementu typu wyznacznika macierzy A nazywamy liczbę którą będziemy oznaczać D ( te same indeksy ) określoną w następujący sposób ; D

= (-1)

A

gdzie A jest minorem powstałym przez skreślenie i - tego wiersza oraz j - tej kolumny w wyznaczniku macierzy A . Przykład.

Niech ;

A=

1 3 2 2 4 3 0 2 1

jest to macierz kwadratowa 3x3.

Poszukajmy dopełnień algebraicznych dla następujących elementów ; a22 , a31 , a23 . Mamy więc Ŝe ,

D22 = ( -1 )

2 2

A22 = 1 det

1 2 0 1

D23 = ( -1 )2

= 1 , D 31 = ( -1 ) 3 1 det

3

det

1 3 0 2

3 2 4 3

= 1 ( -9 - 8 ) = -17 ,

= -2.

Rozwinięcie Laplace'a dla wyznacznika. Niech dana będzie macierz kwadratowa A wymiaru 4x4 postaci ;

1 A=

2 3

3 1 2 0

9 6

4 4 1

załóŜmy Ŝe chcemy policzyć det A , stosujemy wówczas rozwinięcie Laplace'a dla

6 3 18 2 dowolnego wiersza lub dowolnej kolumny , u nas niech to będzie drugi wiersz , mamy wtedy ; det A = 3 D 21 + 1 D 22 + 9 D 23 + 4 D 24 , w takim razie do obliczenia wyznacznika det A potrzeba znaleŜć dopełnienia algebraiczne powyŜej występujące , do czego w rzeczywistości wystarcza znajomość metody Sarrusa, bo otrzymane minory są wyznacznikami 3x3.W tak sposób moŜna obliczać wyznaczniki macierzy dowolnego wymiaru , za kaŜdym razem obniŜając o jeden stopień wyznacznika.

Macierz A taką Ŝe detA = 0 nazywamy osobliwą (w innym przypadku nieosobliwą) Macierz odwrotna - sposób jej wyznaczania. Szukając macierzy odwrotnej do danej macierzy kwadratowej A postępujemy następująco . Sprawdzamy czy jest to macierz nieosobliwa ( det A 0 ) . JeŜeli zdarzy się Ŝe wyznacznik jest równy 0 to macierz odwrotna nie istnieje.W innym przypadku tworzymy macierz dopełnień algebraicznych 11

D=

. 1.

. .

1

.

.

szukana macierz odwrotna B ma postać : 1

B = det A ( D ) . czyli mnoŜymy macierz D ( macierz transponowaną do macierzy dopełnień algebraicznych ) przez odwrotność wyznacznika macierzy A ( tu jest potrzebne by wyznacznik był róŜny od zera ). MoŜna sprawdzić Ŝe ; AB = BA = I

co wystarcza by macierz B była odwrotna do macierzy A.

Przykład . Znajdź macierz odwrotną do macierzy A , jeŜeli :

1 2 3 4

A=

Liczymy wyznacznik det A : det A = 4 - 6 = -2 PoniewaŜ wyznacznik jest róŜny od zera to macierz odwrotna A 1 istnieje .

Tworzymy macierz D dopełnień algebraicznych : D 11 D 12 D= D 21 D 22 Dopełnienia algebraiczne wynoszą : D 11

= 4 D12 = -3 D 21 = -2 D 22 = 1

Macierz D jest więc postaci :

4 D=

3

2 1

Transponujemy macierz D : DT

Macierz odwrotna A

1

=

4

2

3 1 jest postaci :

A 1

=

DT detA

4 -2 -3 1 =

2

=

-2 1 3 2

1 2...