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6to.

ECUACIONES EXPONENCIALES (PARTE II) MATEMÁTICA Prof. Pizzano, Maimara Yamilé

Ciclo lectivo: 2020

Escuela Nacional Adolfo Pérez Esquivel

Matemática Prof. Pizzano, Maimara Yamilé Ciclo lectivo 2020

Ecuaciones exponenciales

¿Qué sucede cuándo no es posible modificar directamente la ecuación para que quede una única potencia en cada miembro? En este caso, será necesario aplicar propiedades de la potenciación y la radicación, hasta llegar a un factor que se repita en todos los términos, es decir que lo podamos extraer como factor común, o bien, hacer un cambio de variable. Ejemplo 1: 4𝑥−2 + 4𝑥 + 4𝑥+1 = 324 Aplicando propiedades de la potencia, buscamos obtener en todos los términos 4𝑥 4𝑥 ∙ 4−2 + 4𝑥 + 4𝑥 ∙ 41 = 324 A partir de acá hay dos formas de llegar al resultado: OPCIÓN A (FACTOR COMÚN). A continuación extraemos como factor común 4𝑥 : 4𝑥 (4−2 + 1 + 41 ) = 324 Luego, resolvemos la operación dentro del paréntesis. (Considerar que cuando hay un exponente negativo invertimos la base y que toda potencia elevada a la 1 es igual a la base) 4𝑥 (

1 + 1 + 4) = 324 16 4𝑥 ∙

Despejamos 4𝑥 y obtenemos:

81 = 324 16

4𝑥 = 3244 ∙

16 81 1.

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4𝑥 = 64 Expresamos el 64 como una potencia de base 4 y lo reemplazamos en la ecuación: 4𝑥 = 43 𝑥=3 S: {3}

OPCIÓN B (CAMBIO DE VARIABLE) Vamos a reemplazar 𝟒𝒙 = 𝒖 Entonces obtenemos: 𝒖 ∙ 𝟒−𝟐 + 𝒖 + 𝒖 ∙ 𝟒𝟏 = 𝟑𝟐𝟒 Resolvemos las potencias y colocamos en primer lugar los coeficientes: 𝟏 𝒖 + 𝒖 + 𝟒𝒖 = 𝟑𝟐𝟒 𝟏𝟔 Sumamos “u”: 𝟖𝟏 𝒖 = 𝟑𝟐𝟒 𝟏𝟔 𝒖 = 𝟑𝟐𝟒 ∙ 𝒖 = 𝟔𝟒

𝟏𝟔 𝟖𝟏

Conocemos el valor de u, pero es preciso aclarar que nuestra incógnita es x, para averiguarla debemos volver a hacer un cambio de variable, esta vez vamos a reemplazar u por 𝟒𝒙 𝟒𝒙 = 𝟔𝟒 2.

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Expresamos el 64 como una potencia de base 4 𝟒𝒙 = 𝟒𝟑 𝒙=𝟑 S:{3}

Ejemplo 2: 32𝑥+1 − 2 ∙ 3𝑥 − 1 = 0 Aplicando las propiedades de la potencia buscamos que en todos los términos que sea posible nos quede 3𝑥 (3𝑥 )2 ∙ 31 − 2 ∙ 3𝑥 − 1 = 0 Lo más conveniente en los casos que queda una potencia de otra potencia, en donde se involucra la incógnita, es hacer un cambio de variable, entonces vamos a decir que: 𝑢 = 3𝑥 𝑢2 ∙ 3 − 2𝑢 − 1 = 0 Si colocamos los coeficientes antes de la variable: 3𝑢2 − 2𝑢 − 1 = 0 Queda una ecuación cuadrática igualada a 0, podemos encontrar las soluciones empleando la fórmula resolvente: 𝑢1 = 1 𝑢2 = −

1 3

Pero, igual que en el ejemplo anterior, el objetivo es hallar el valor de x, por lo que volveremos a hacer un cambio de variable, reemplazando u por 3𝑥 3.

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Quedan por analizar dos posibles soluciones: 𝑢1 = 1 3𝑥 = 1 3𝑥 = 30 𝑥=0

1 3 1 3𝑥 = − 3 ∄𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ∈ 𝑅, puesto que la potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación, en donde el exponente indica la cantidad de veces que la base se multiplica por sí misma. Siempre que multipliquemos valores positivos, vamos a obtener resultados positivos, nunca nos va a dar un valor negativo. 𝑢2 = −

S:{0}

4.

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A. Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:

a. 0 = 3𝑥+1 + 3𝑥+3 − 10

b. 0 = 9𝑥+5 − 3𝑥−2

c. 1 = 7𝑥+1 − 6 ∙ 7 𝑥

d.

g. 7

1 −𝑥−2

+ ( 7)

𝑥

−3∙7 =

i. 7𝑥 − 71−𝑥 = 6 k. 72𝑥 + 4 ∙ 7𝑥 = −3 m.22𝑥 − 3 ∙ 2𝑥+1 + 8 = 0

33𝑥+1

− 81 = 0 1 𝑥+2

1 𝑥

1

e. √4𝑥+1 + 4 2𝑥+3 = 1056 𝑥+1

32𝑥+3

f. (3) − 2 ∙ ( 3) 53

49

= 21

h. 42𝑥 − 5 ∙ 4𝑥+2 + 1024 = 0 j. 92𝑥 − 82 ∙ 32∙(𝑥−1) = −1 𝑥

27 𝑥

𝑥

15 𝑥

l. 3 − ( 3 ) = 26 n. 5 − ( 5 ) = 2

5....