Eigenvalue - Eigenvector PDF

Preview

Summary

Kuliah 29/09/NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGENA. Nilai EigenBanyak masalah rekayasa yang berbentuk suatu sistem persamaan (himpunan persamaansimultan) dengan solusi penentuan nilai eigen. Persamaan tersebut dapat dinyatakan dalambentuk matriks , yaitu:AX = X (1)Solusi persamaan (1) tersebut adalah vekto...

Description

Kuliah 29/09/2020

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

A. Nilai Eigen Banyak masalah rekayasa yang berbentuk suatu sistem persamaan (himpunan persamaan simultan) dengan solusi penentuan nilai eigen. Persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk matriks , yaitu: AX = X

(1)

Solusi persamaan (1) tersebut adalah vektor X yang jika X pada ruas kiri dikalikan A, maka hasil kalinya sama dengan suatu skalar  dikalikan X. Persamaan (1) dapat ditulis ulang sebagai system persamaan homogen sbb: (A-I)X = 0

(2)

atau (A11 - )X1 + A12X2

+ . . . + A1n Xn = 0

A21 X1 + (A22 - )X2+ . . .+ A2n Xn = 0 .

.

.

.

An1X1 + An2X2+ . . . + (Ann - )Xn = 0 A A ⋯ A A A ⋯ A   [A] =   ⋮ ⋮ ⋮ A A ⋯ A

1 0 ⋯0  0 ⋯0 0 1 … 0 [I] =  󰇯 󰇰 = 󰇯0  … 0 󰇰 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 …1 0 0 …

keterangan, A : matriks bujur sangkar X : vektor variable (bilangan yang belum diketahui)  : skalar I : matriks identitas yang berordo sama dengan matriks A.

Persamaan (2) mempunyai solusi nontrivial bila determinan |A − I| = 0, dalam bentuk (A − ) A A (A − ) |(A − I)| = 󰈑 . . A A

persamaan sbb:

. A . A 󰈑=0 . . . (A − )

(3)

Persamaan (3) tersebut disebut persamaan karakteristik dan akar-akar persamaan

karakteristik disebut nilai Eigen ( notasi ). Nilai X hasil suatu penyelesaian yang berkaitan dengan nilai Eigen tertentu disebut Vektor Eigen. Bila nilai determinan

pada persamaan (3) dijabarkan, maka akan diperoleh bentuk

polynomial dalam . Suku dengan pangkat yang tertinggi dalam polinomial karakteristik ini

adalah  dan bentuk persamaan karakteristiknya, ialah: bnn + bn-1n-1 + ……….+ b1 + bo = 0

(4)

Polinomial karakteristik tersebut mempunyai n buah akar dan berupa bilangan riel atau kompleks. Pada umumnya nilai Eigen riel suatu matriks bernilai positif, negative atau nol.

B. Vektor Eigen Setelah nilai Eigen suatu matriks ditemukan, maka vektor Eigen yang berkaitan dengan nilai Eigen tersebut dapat diperoleh dengan menyelesaikan himpunan persamaan homogen yang sesuai.

Berkaitan dengan setiap nilai Eigen  yang berbeda, terdapat vektor eigen X  yang tak nol. Vektor Eigen ini merupakan penyelesaian persamaan homogen yang dapat diperoleh dengan memasukkan nilai  ke dalam persamaan (2), yaitu:

C. Matriks Modal

(A- I) X  = 0

(5)

Matriks Modal merupakan matriks bujur sangkar yang elemen-elemen terdiri atas n buah vektor Eigen yang disusun sebagai kolom-kolom. Bila vektor-vektor Eigen suatu matriks A dinyatakan oleh X  , X  . … . . X  , maka matriks modal M berbentuk: M = [X , X  . … . . X ]

(6)

a). Ordo matriks M sama dengan ordo matriks bujur sangkar asal A. vektor Eigen X  mempunyai pengali skalar β yang dapat diberi nilai sembarang yang tidak b). Untuk setiap matriks A mempunyai tak berhingga banyaknya matriks M, sebab setiap

nol.

D. Matriks N, adalah suatu matriks yang elemen-elemennya merupakan vektor Eigen ternormalkan. E. Matriks S, adalah suatu matriks yang elemen-elemen diagonal utamanya nilai Eigen.

CONTOH 1 (matriks 2x2) 1. Tentukanlah nilai Eigen, vektor Eigen, M, N dan S matrik di bawah ini: 17 A=󰇣 45

Penyelesaian:

−6

−16

󰇤

a. Menentukan nilai Eigen

Persamaan karakteristik, |(A − I)| = 

(17 − ) −6 =0 45 (−16 − )

(17 − )(−16 − ) − (−6)(45) =  −  − 2 = 0 → ( − 2)( + 1) =0

( − 2) = 0, maka  = 2 dan ( + 1) = 0, maka  = −1

b. Menentukan vektor Eigen

(1) Untuk nilai Eigen  = 2

Substitusikan  = 2 ke persamaan (A-  I) X  = 0

(A-  I) X  =

(17 − 2) 45

x −6  󰇥 x 󰇦 = 󰇣0 󰇤 → pers. homogen: (−16 − 2)  0

2 vektor Eigen X = β 󰇥 󰇦 5

(2). Untuk nilai Eigen  = −1 (17 + 1) 45

x −6 0  󰇥 󰇦 = 󰇣 󰇤 → pers. homogen: 0 (−16 + 1) x

1 vektor Eigen X = β 󰇥 󰇦 3

45x − 18x  = 0

β = sembarang konstanta, tetapi tidak nol

Substitusikan  = −1 ke persamaan (A-  I) X  = 0

(A-  I) X  =

15x − 6x = 0

18x − 6x  = 0

45x − 15x  = 0

β = sembarang konstanta, tetapi tidak nol

Catatan: Nilai eigen dan vektor eigen yg dihasilkan tsb dapat di evaluasi kebenarannya, dengan mensubstitusikan hasil tersebut ke persamaan (1). Persamaan:

AX = X

a). Nilai Eigen λ = 2

4 17 −6 2 2 AX = 󰇣 󰇤 β 󰇥 󰇦 = β 󰇥 󰇦 = 2β 󰇥 󰇦 5 45 −16  5 10

ruas kiri:

2 ruas kanan: 2β 󰇥 󰇦 5

b). Nilai Eigen λ = −1

17 −6 1 −1 1 AX = 󰇣 󰇤 β 󰇥 󰇦 = β 󰇥 󰇦 = −1β 󰇥 󰇦 3 −3 45 −16  3

ruas kiri:

1 ruas kanan: −1β  󰇥 󰇦 3

2 1 󰇤 M=󰇣 5 3

c. Matriks Modal

2 ⎡  + 5 N = ⎢⎢ √2 5 ⎢ ⎣ √2 + 5 

1

d. Matriks N (vektor Eigen ternormalkan)

e. Matriks Spectral

 S=  0

⎤ √1 + 3 ⎥ = ⎥ 3 ⎥ √1 + 3 ⎦

0 2 =󰇣  0

0 󰇤 −1

2 ⎡ ⎢√29 ⎢ 5 ⎢ ⎣√29

1

⎤ √10⎥ 3 ⎥ ⎥ √10⎦

CONTOH 2 (matriks 3x3) 2. Tentukan nilai Eigen, vektor Eigen, matriks M, N dan S.

Penyelesaian:

20 B =  −40 −60

−4 8 8 −20 12 −26

a. Menentukan nilai Eigen (1). Menentukan persamaan karakteristik. (20 − ) |(B − I)| = 󰈏 −40 −60

−4 (8 − ) 12

8 −20 󰈏 = 0 (−26 − )

= (20 − )  −40 8 −  󰇻=0 8󰇻 −60 12

(8 − ) 12

20

(−26 − )

−40 −20  +  + 4 −60 (−26 − )

= −  + 2 + 8 = 0 → ( − 4)( − 0)( + 2) = 0  = 4,

 = 0 dan   = −2

substitusikan nilai Eigen i ke persamaan homogen (B − I)X =0, untuk mendapatkan vektor Eigen Xi . b. Menentukan vektor Eigen

(1). 1 = 4

(20 − 4) −4 (8 − 4) (B − I) = 󰇯 −40 −60 12

Sistem persamaan homogen:

16x − 4x  + 8x  = 0

−40x + 4x − 20x  = 0

−60x + 12x − 30x = 0

→

x 8 0 −20 󰇰  x  = 0 (−26 − 4) x 0

4x − x + 2x = 0 . . . . (a)

→ 10x + x − 5x = 0 … . . (b)

→ 10x  + x  − 5x  = 0 … . . (c)

Persamaan (b) dan (c), diperoleh x2 = 0, kemudian substitusikan x2 = 0 ke persamaan (a),  maka x1 =  x3. Bila x 3 = 2, maka x1 = 1 dan x2 = 0. 1 Untuk 1 = 4, vektor Eigen X = β 0 2 (2). 2 = 0

(20 − 0) −4 (8 − 0) (B − I) = 󰇯 −40 −60 12

Sistem persamaan homogen:

20x − 4x + 8x  = 0

−40x + 8x − 20x  = 0

−60x + 12x − 26x = 0

→

x 8 0 −20 󰇰  x  = 0 (−26 − 0) x 0

5x − x  + 2x = 0 . . . . (a)

→ −10x + 2x − 5x = 0 . . . . (b)

→ −30x  + 6x − 13x = 0 . . . . (c)

Persamaan (a) dan (b), diperoleh x3 = 0, kemudian substitusikan x3 = 0 ke persamaan (c), maka x2 = 5x 1 Bila x1 = 1, maka x2 = 5 dan x 3 = 0. 1 Untuk  2 = 0, vektor Eigen X  = β   5 0

(3). 3 = –2 −40 + 2) (20 + 2) (8 −4 (B − I) = 󰇯

−60 Sistem persamaan homogen:

22x − 4x  + 8x  = 0

12

−20 8

(−26 + 2)

󰇰

x x x

0 0  = 0

→ 11x − 2x  + 4x = 0 . . . . (a)

−40x + 10x  − 20x = 0 → − 4x + x − 2x  = 0 … . . (b) −60x + 12x  − 24x = 0

→ −5x + x − 2x  = 0 … . . (c)

Persamaan (b) dan (c), diperoleh x1 = 0, kemudian substitusikan x1 = 0 ke persamaan (a), maka x2 = 2x3. Bila x3 = 1, maka x2 = 2 dan x1 = 0. 0 Untuk 3 = −2, vektor Eigen X  = β 2 1 1 1 0 M = 0 5 2 2 0 1

c. matriks M

1 1 0 ⎡ ⎤ ⎢ √1 + 0 + 2 √1 + 5 + 0 √0 + 2 + 1 ⎥ 0 2 5 ⎢ ⎥ N=⎢ ⎥=       + 0 + 2 + 2 + 1 √1 √0 + 5 + 0 √1 ⎢ ⎥ 2 0 1 ⎢ ⎥ ⎣ √1 + 0 + 2 √1 + 5 + 0 √0 + 2 + 1 ⎦

d.matriks N

4 S = 0 0

e. matriks S

0 0 0 0 0 −2

1 1 ⎡ ⎢√5 √26 5 ⎢ ⎢0 √26 ⎢ ⎢2 0 ⎣√ 5

0⎤ ⎥ 2⎥ ⎥ √5⎥ 1⎥ √5⎦...