Ejercicio 3 y 9 de Estadística Gereral PDF

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3. Las calificaciones en un examen de estadística y el número de horas de estudio para el examen, de una muestra de doce estudiantes de una sección, se presentan en el siguiente cuadro:Tiempo de estudio3 3 3 4 4 5 5 5 6 6 7 8Calificació n9 12 11 12 15 14 16 15 18 16 15 17a) Halla la recta de regresi...

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3. Las calificaciones en un examen de estadística y el número de horas de estudio para el examen, de una muestra de doce estudiantes de una sección, se presentan en el siguiente cuadro: Tiempo de estudio Calificació n

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a) Halla la recta de regresión de mínimos cuadrados considerando la calificación en el examen como variable dependiente. Datos: - Variable dependiente (Y): Calificación en el examen. - Variable independiente (X): Tiempo de estudio. - Cantidad de estudiantes: Doce estudiantes. X 3 3 3 4 4 5 5 5 6 6 7 8

Y 9 12 11 12 15 14 16 15 18 16 15 17

∑ X i=59

XY 27 36 33 48 60 70 80 75 108 96 105 136

∑ Y i=170

∑ X i Y i=874

2

9 9 9 16 16 25 25 25 36 36 49 64

∑ X i2 =319

Y

2

81 144 121 144 225 196 256 225 324 256 225 289

∑ Y i2=2486

Reemplazando en la fórmula de los coeficientes de regresión, se tiene lo siguiente: Hallamos β 1 :

 -

X

∑ Xi ¿2

¿ ¿ X ∑ 2i −¿ (∑ Xi )( ∑ Yi ) ∑ XiY i− n β 1= ¿ 2 59 ¿ ¿ ¿ 319−¿ (59)( 170 ) 874− 12 β 1= ¿ β 1=1.3198 β 1 ≅ 1.32

-

Hallamos β 0 : Donde: ¿ ∑ Y i = 170 =14.166 ≅ 14.17 y= 12 n ¿ X ∑ i = 59 =4.916 ≅ 4.92 x= n 12 Reemplazamos los datos en la fórmula: ¿

¿

β 0= y− β1 x β 0=14.17−( 1.32)(4.92 ) β 0=14.17 −6.49 β 0=7.68 

Por lo tanto, la recta de regresión y =β 0 + β 1 ( x ) , estará determinada de la siguiente manera:

y=7.68 +( 1.32)( x ) Respuesta: La recta de regresión de mínimos cuadrados considerando la calificación en el examen como variable dependiente es y=7.68 +( 1.32)( x ) . b) Interpreta la pendiente de la recta de regresión: La pendiente de la recta de regresión tiene el valor de 1.32, dicho valor es mayor que 0, esto nos indica que, al aumentar el valor de X, también aumenta el valor de Y. En otras palabras, al aumentar el número de horas de estudio para el examen (tiempo de estudio), aumenta la calificación en el examen de estadística. 9. La siguiente tabla y gráfica muestran el consumo mensual de energía en función del área del domicilio: Área (m2) Consum o (kw-hrs)

X 119.8 125.4 136.6 148.8 158.9 170.9

119,8 1180

125, 4 1170

136, 6 1260

148, 8 1490

158, 9 1570

170, 9 1710

183, 9 1800

207, 2 1840

223, 0 1960

272, 2 1950

a) Establezca la recta de regresión de mínimos cuadrados que permita predecir el consumo de energía en función del área del domicilio: Datos: - Variable dependiente (Y): Consumo de energía. - Variable independiente (X): Área de domicilio. - Cantidad de domicilio: Diez domicilios. Y XY X2 Y2 1 180 141 364 14 352,04 1 392 400 1 170 146 718 15 725,16 1 368 900 1 260 172 116 18 659,56 1 587 600 1 490 221 712 22 141,44 2 220 100 1 570 249 473 25 249,21 2 464 900 1 710 292 239 29 206,81 2 924 100

183.9 207.2 223.0 272.2

∑ X i=1 474.5

1 800 1 840 1 960 1 950

331 020 381 248 437 080 530 790

∑ Y i=13 980 ∑ X i Y i=2 903 760

33 819,21 42 931,84 49 729 74 092,84

∑ X i2 =325 907,11

3 240 000 3 385 600 3 841 600 3 802 500

∑ Y i2=26 227 700

Reemplazando en la fórmula de los coeficientes de regresión, se tiene lo siguiente: Hallamos β 1 :

 -

∑ Xi ¿2

¿ ¿ ∑ X 2i −¿ (∑ Xi )( ∑ Yi ) ∑ XiY i− n β 1= ¿ 2 1 474.5¿ ¿ ¿ 325 907,11−¿ (1 474.5)( 13 980) 2 903 760− 10 β 1= ¿ β 1=7.7647 β 1 ≅ 7.76 -

Hallamos β 0 : Donde: ¿ ∑ Y i = 13 980 =1398 y= 10 n ¿ X ∑ i = 1 474.5 =147.45 x= 10 n Reemplazamos los datos en la fórmula: ¿

¿

β 0= y− β1 x β 0=1 398−( 7.76 )( 147.45) β 0=1 398−1 144.21 β 0=253.79 

Por lo tanto, la recta de regresión y =β 0 + β 1 ( x ) , estará determinada de la siguiente manera:

y =253.79 +( 7.76 )( x ) Respuesta: La recta de regresión de mínimos cuadrados que permita predecir el consumo de energía en función del área del domicilio es y =253.79 +( 7.76 )( x ) .

b) Represente gráficamente los puntos y la recta de mínimos cuadrados. Comenta al respecto. 2500

2000

1500

1000

500

0 0

2

4

6

8

10

12

Interpretación:  El modelo de diagrama de dispersión tiene un buen ajuste porque cuando x crece, y crece.  La pendiente de la ecuación de regresión estimada ( β 1 =7.76 ) es positiva, lo que implica que a medida que aumenta el área del domicilio, aumentan el consumo de energía. c) Interprete la pendiente de la recta de regresión: La pendiente de la recta de regresión tiene el valor de 7.76, dicho valor es mayor que 0, esto nos indica que, al aumentar el valor de X, también aumenta el valor de Y. En otras palabras, en cuanto mayor sea el área del domicilio (m2), mayor será el consumo mensual de energía. d) Calcule e interprete el Coeficiente de Correlación R.

R=0.911123448 ≅ 0.91 Interpretación:  El coeficiente de correlación lineal existente entre el área de domicilio (X) y el consumo de energía (Y) es de 0.91, la cual, es muy alta.  La relación entre las variables es positiva (R>0).  Es decir, a mayor área de domicilio (X), mayor consumo de energía (Y). e) Calcule e interprete el Coeficiente de Determinación R2: 2

R =0.830145937 ≅ 0.83

Interpretación: El ajuste, según el cálculo del coeficiente de determinación, es de 0.83. Esto quiere decir que es un modelo cuyas estimaciones se ajustan bastante bien a la variable real. Aunque técnicamente no sería correcto, podríamos decir que el modelo explica en un 83% a la variable real....