EJERCICIOS DE CONCAVIDADES Y PUNTO DE INFLEXION, EJERCICIOS DE TRAZO DE CURVAS PDF

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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ

ALUMNA: TAMARA FRANCHESKA ANCHUNDIA CAIZA

DOCENTE: INGENIERO WILLIAM MOREANO GARCÍA

CARRERA Y NIVEL: INGENIERIA CIVIL, PRIMER NIVEL

MATERIA: CÁLCULO DE UNA VARIABLE

PORTOVIEJO-MANABÍ-ECUADOR

𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟒 + 𝟖𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 − 𝟐𝟒𝒙

𝒇´(𝒙) = 𝟏𝟐𝒙𝟑 + 𝟐𝟒𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 − 𝟐𝟒 La derivada primera 𝒇´´(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟏 La derivada segunda

Calcular en qué intervalos la derivada segunda es mayor o menor que cero

𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟏 = 𝟎

𝒙𝟏 = 𝟎, 𝟐𝟏

Colocamos en la recta numérica

𝒙𝟐 = −𝟏, 𝟐𝟒

Calculo el valor de f»(-2)

𝒇´´(−𝟐) = 𝟑(−𝟐)𝟐 + 𝟒(−𝟐) − 𝟏

𝒇´´(−𝟐) = 𝟑 El resultado es mayor que cero, por lo tanto, la función será cóncava

Calculo el valor de f»(0)

𝒇´´(𝟎) = 𝟑(𝟎)𝟐 + 𝟒(𝟎) − 𝟏

𝒇´´(𝟎) = −𝟏 Es menor que cero, por lo que la función es convexa

Calculo el valor de f»(1)

𝒇´´(𝟏) = 𝟑(𝟏)𝟐 + 𝟒(𝟏) − 𝟏

𝒇´´(𝟏) = 𝟔 El resultado es mayor que cero, por lo tanto, la función será cóncava

𝑓 (𝑥) = 𝒙𝟑 − 𝟔 𝒙𝟐 + 𝟗 𝒙 + 𝟏

Coordenadas del punto de inflexión

𝒇´(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟗 La derivada primera 𝒇´´(𝒙) = 𝟔𝒙 − 𝟏𝟐 La derivada segunda

𝟔𝒙 − 𝟏𝟐 = 𝟎

𝟔𝒙 = 𝟏𝟐

𝒙=

Calculamos los intervalos

𝟏𝟐 𝟔

=𝟐

Calculo el valor de f»(0)

𝒇´´(𝟎) = 𝟔(𝟎) − 𝟏𝟐 𝒇´´(𝟎) = −𝟏𝟐

Calculo el valor de f»(3/2)

𝟑 𝟑 𝒇´´ ( ) = 𝟔 ( ) − 𝟏𝟐 𝟐 𝟐

𝟑 𝒇´´ ( ) = 𝟗 − 𝟏𝟐 = −𝟑 𝟐

Calculo el valor de f»(5/2)

𝟓 𝟓 𝒇´´ ( ) = 𝟔 ( ) − 𝟏𝟐 𝟐 𝟐

𝟓 𝒇´´ ( ) = 𝟏𝟓 − 𝟏𝟐 = 𝟑 𝟐

Calculo el valor de f»(4)

𝒇´´(𝟒) = 𝟔(𝟒) − 𝟏𝟐

𝒇´´(𝟒) = 𝟐𝟒 − 𝟏𝟐 = 𝟏𝟐

Calculamos la función con el punto de inflexión 𝒇(𝟐) = (𝟐)𝟑 − 𝟔(𝟐)𝟐 + 𝟗(𝟐) + 𝟏 𝒇(𝟐) = 𝟖 − 𝟐𝟒 + 𝟏𝟖 + 𝟏 = 𝟑 COORDENDAS(2, 3)

𝑓 (𝑥) = 𝒙𝟑 − 𝟑 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟐

Coordenadas del punto de inflexión

𝒇´(𝒙) = 𝟑𝒙 𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟏 La derivada primera 𝒇´´(𝒙) = 𝟔𝒙 − 𝟔 La derivada segunda 𝟔𝒙 − 𝟔 = 𝟎

𝟔𝒙 = 𝟔

𝟔

𝒙= =𝟏 𝟔

Calculamos los intervalos Calculo el valor de f»(-3)

𝒇´´(−𝟑) = 𝟔(−𝟑) − 𝟔

𝒇´´(−𝟑) = −𝟏𝟖 − 𝟔 = −𝟐𝟒

Calculo el valor de f»(2)

𝒇´´(𝟐) = 𝟔(𝟐) − 𝟔

𝒇´´(𝟐) = 𝟏𝟐 − 𝟔 = 𝟔

Calculamos la función con el punto de inflexión 𝒇(𝟏) = (𝟏)𝟑 − 𝟑(𝟏)𝟐 + 𝟏 + 𝟐

𝒇(𝟏) = 𝟏 − 𝟑 + 𝟏 + 𝟐 = 𝟏

COORDENDAS (1, 1)

𝑓 (𝑥) = 𝒙𝟑 + 𝟖 𝒙𝟐 + 𝟏𝟕𝒙 + 𝟏𝟎

𝒇´(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒙 + 𝟏𝟕 La derivada primera 𝒇´´(𝒙) = 𝟔𝒙 + 𝟏𝟔 La derivada segunda 𝟔𝒙 + 𝟏𝟔 = 𝟎

𝟔𝒙 = −𝟏𝟔

𝟖

𝒙=−𝟑

Calculamos los intervalos Calculo el valor de f»(-5) 𝒇´´(−𝟓) = 𝟔(−𝟓) + 𝟏𝟔

𝒇´´(−𝟓) = −𝟑𝟎 + 𝟏𝟔 = −𝟏𝟒

Calculo el valor de f»(0) 𝒇´´(𝟎) = 𝟔(𝟎) + 𝟏𝟔

𝒇´´(𝟎) = 𝟏𝟔

Calculamos la función con el punto de inflexión 𝟖

𝒇 (− )= ( − )𝟐 + 𝟖(− )𝟐 + 𝟏𝟕 (− ) + 𝟏𝟎 𝟑

𝒇 (−

𝟑

𝟖

𝟖

𝟑

𝟑

𝟖 𝟕𝟎 )= 𝟐𝟕 𝟑

𝟖 𝟕𝟎

COORDENDAS(− 𝟑 , ) 𝟐𝟕

𝟖

𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟔

𝒇´(𝒙) = 𝟔𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟏𝟐La derivada primera 𝒇´´(𝒙) = 𝟏𝟐𝒙 + 𝟔La derivada segunda 𝟏𝟐𝒙 + 𝟔 = 𝟎 𝟏

𝟏𝟐𝒙 = 𝟔 𝟏

𝒇´´ (− ) = 𝟏𝟐 (− ) + 𝟔 𝟐 𝟐

𝒙=−

𝟔 𝟏 = − 𝟐 𝟏𝟐

𝟏 𝒇´´ (− ) = −𝟔 + 𝟔 = 𝟎 𝟐

Calculamos los intervalos Calculo el valor de f»(-1)

𝒇(−𝟏) = 𝟏𝟐(−𝟏) + 𝟔

𝒇(−𝟏) = −𝟏𝟐 + 𝟔 = −𝟔

Calculo el valor de f»(1)

𝒇(𝟏) = 𝟏𝟐(𝟏) + 𝟔

𝒇(𝟏) = 𝟏𝟐 + 𝟔 = 𝟏𝟖

Calculamos la función con el punto de inflexión 𝟏 𝟏𝟑 𝟏 𝟐 𝟏 𝑓 (− ) = 𝟐(− ) + 𝟑(− ) − 𝟏𝟐(− ) + 𝟔 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐

𝑓 (− ) = −

𝟏 𝟐

𝑓 (− ) =

𝟐 𝟑 𝟏𝟐 + + +𝟔 𝟖 𝟒 𝟐

−𝟐 + 𝟔 + 𝟒𝟖 + 𝟒𝟖 𝟏𝟎𝟎 𝟐𝟓 = = 𝟐 𝟖 𝟖 𝟏 𝟐𝟓 ) 𝟐

COORDENDAS(− 𝟐 ,

1 𝑓 (𝑥) = 𝑥 3 − 𝑥 2 − 3𝑥 + 4 3 𝒇´(𝒙) = 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟑 𝒇´´(𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟐 Puntos Críticos

𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟑 = 𝟎 (𝒙 − 𝟑)( 𝒙 + 𝟏) 𝒙−𝟑= 𝟎

𝒙+𝟏=𝟎

//

Calculamos los intervalos

𝒙 = 𝟑(𝑴𝒊𝒏𝒊𝒎𝒐)

𝒙 = −𝟏(𝑴𝒂𝒙𝒊𝒎𝒐)

Calculo el valor de f» (-2)

𝒇´(−𝟐) = (−𝟐)𝟐 − 𝟐(−𝟐) − 𝟑

𝒇´(−𝟐) = 𝟒 + 𝟒 − 𝟑 = 𝟓

Calculo el valor de f» (0)

𝒇´(𝟎) = (𝟎)𝟐 − 𝟐(𝟎) − 𝟑

𝒇´(𝟎) = 𝟎 − 𝟎 − 𝟑 = −𝟑 Calculo el valor de f» (4)

𝒇´(𝟒) = (𝟒)𝟐 − 𝟐(𝟒) − 𝟑 𝒇´´(𝟒) = 𝟏𝟔 − 𝟖 − 𝟑 = 𝟓

Puntos de inflexión 𝟐𝒙 − 𝟐 = 𝟎 𝟐

𝒙= =𝟏 𝟐

𝟐𝒙 = 𝟐 //

x=0

x=3

Puntos Principales De 𝑓(𝑥 ) = 3 𝑥 3 − 𝑥 2 − 3𝑥 + 4 1

P.C 1

-1

17/3

P. I

1

1/3

P.C 2

3

-5

𝑓 (𝑥) = 𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 − 𝟏𝟓𝒙 + 𝟒𝟎 𝒇´(𝒙) = 𝟑𝒙 𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 − 𝟏𝟓 𝒇´´(𝒙) = 𝟔𝒙 − 𝟏𝟐 Puntos Críticos

𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 − 𝟏𝟓 = 𝟎 𝟑(𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟑) = 𝟎

(𝒙 − 𝟓) (𝒙 + 𝟏)

𝒙−𝟓=𝟎 𝒙+𝟏= 𝟎

//

𝒙 = 𝟓(𝑴𝒊𝒏𝒊𝒎𝒐) 𝒙 = −𝟏(𝑴𝒂𝒙𝒊𝒎)

Calculamos los intervalos Calculo el valor de f» (-3)

𝒇´(−𝟑) = 𝟑(−𝟑)𝟐 − 𝟏𝟐(−𝟑) − 𝟏𝟓

𝒇´(−𝟑) = 𝟐𝟕 + 𝟑𝟔 − 𝟏𝟓 = 𝟒𝟐

Calculo el valor de f» (0)

𝒇´(𝟎) = 𝟑(𝟎)𝟐 − 𝟏𝟐(𝟎) − 𝟏𝟓 𝒇´(𝟎) = 𝟎 + 𝟎 − 𝟏𝟓 = 𝟏𝟓

Calculo el valor de f» (7)

𝒇´(𝟎) = 𝟑(𝟕)𝟐 − 𝟏𝟐(𝟕) − 𝟏𝟓

𝒇´(𝟎) = 𝟏𝟒𝟕 + 𝟖𝟒 − 𝟏𝟓 = 𝟐𝟑𝟏

Puntos de inflexión 𝟔𝒙 − 𝟏𝟐 = 𝟎

𝒙=

𝟏𝟐 𝟔

=𝟐

𝟔𝒙 = 𝟏𝟐 //

x=0

x=4

Puntos Principales De 𝑓(𝑥) = 𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 − 𝟏𝟓𝒙 + 𝟒𝟎

P.C 1

-1

48

P. I

2

-6

P.C 2

5

-60

𝑓 (𝑥) = 𝟏+𝒙𝟐 𝟏

(𝟏 + 𝒙𝟐 )−𝟏

𝒇´(𝒙) = −𝟏 ∙ (𝟏 + 𝒙𝟐)−𝟐 ∙ (𝟐𝒙)

𝒇´(𝒙) =

−𝟐 (𝟏 + 𝒙𝟐)𝟐

𝒇´´(𝒙) = 𝒇´´(𝒙) =

𝒇´´(𝒙) = 𝒇´´(𝒙) = 𝒇´´(𝒙) =

−𝟐 ∙ (𝟏 + 𝒙 𝟐)𝟐 − (−𝟐𝒙) ∙ 𝟐(𝟏 + 𝒙𝟐) ∙ 𝟐𝒙 [(𝟏 + 𝒙𝟐)𝟐]𝟐

−𝟐 ∙ (𝟏 + 𝒙 𝟐)𝟐 + 𝟖𝒙𝟐(𝟏 + 𝒙𝟐) (𝟏 + 𝒙 𝟐)𝟒

𝟐 ∙ (𝟏 + 𝒙 𝟐) ∙ [−(𝟏 + 𝒙𝟐) + 𝟒𝒙𝟐] (𝟏 + 𝒙 𝟐)𝟒

𝟐 ∙ [−𝟏 − 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝟐 ]

(𝟏 + 𝒙𝟐)𝟑

𝟐 ∙ (𝟑𝒙𝟐 − 𝟏) (𝟏 + 𝒙𝟐 )𝟑

Puntos Críticos −𝟐𝒙 =𝟎 (𝟏 + 𝒙𝟐)𝟐 −𝟐𝒙 = 𝟎

𝒙=

𝟎 =𝟎 −𝟐

Calculamos los intervalos Calculo el valor de f» (-1) 𝒇´(−𝟏) =

𝒇´(−𝟏) =

−𝟐(−𝟏) (𝟏 + (−𝟏)𝟐)𝟐

𝟐 𝟐 = =𝟏 𝟐 (𝟏 + 𝟏) 𝟐

Calculo el valor de f» (1)

𝒇´(𝟏) =

𝒇´(𝟏) =

−𝟐(𝟏) (𝟏 + (𝟏)𝟐)𝟐

−𝟐 −𝟐 = = −𝟏 (𝟏 + 𝟏)𝟐 𝟐

Comprobar el P.C 𝟏

Y= Y=𝑓(𝟎) = 𝟏+(𝟎)𝟐 = 𝟏 Máximo absoluto

Puntos de inflexión 2(3𝑥 2 − 1) =0 (1 + 𝑥 2 )3

2 ∙ (3𝑥 2 − 1) = 0

3𝑥 2 = 1 𝑥2 =

1 3

𝑥 = ±√

1 3

COORDENADAS 𝑷. 𝟏(

𝑥=±

√3 𝟑

√3 3

, ) 𝑷. 𝟐(

𝟑 𝟒

−√3 𝟑 𝟑

, ) 𝟒

𝑓 (𝑥) = 𝒙𝟒 + 𝟖𝒙𝟑 − 𝟐 𝑓´(𝑥) = 4𝑥3 + 24𝑥 2 𝑓´(x)=0

4𝑥3 + 24𝑥 2 = 0

4𝑥(𝑥 2 + 6𝑥) = 0

Puntos Críticos 4𝑥2 = 0

𝑥+6= 0

𝑥2 = 4

𝑥 = −6

𝑥2 = 0

𝑥=0

Calculamos los intervalos Calculo el valor de f» (-7)

𝑓´(−7) = 4(−7)3 + 24(−7)2

𝑓´(−7) = −196

Calculo el valor de f» (-1)

𝑓´(−1) = 4(−1)3 + 24(−1)2

𝑓´(−1) = 20

Calculo el valor de f» (1)

𝑓´(1) = 4(1)3 + 24(1)2

𝑓´(1) = 28

COORDENADAS (-6, -4 -434) 34) punto mínimo

Punto de inflexión

𝑓´´(𝑥 ) = 12𝑥 2 + 48𝑥 𝑥=0

𝑥 = −4

𝑓(−4) = (−4)4 + 8(−4)3 − 2 = −258 𝑓(0) = (0)4 + 8(0)3 − 2 = −2

COORDENADAS (-4, --258 258 258). ).

(0, (0,--2)...