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! MB0004_M3AA3L2_Concavidad

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!Concavidad!y!punto!de!inflexión!

! Por: Oliverio Ramírez!

Otra característica de una función que ayuda a conocer su comportamiento es la concavidad, pero ¿qué significa concavidad? En el Diccionario de la lengua española, la Real Academia Española (s.f.) plantea lo siguiente: Cóncavo: “Dicho de una curva o de una superficie que se asemeja al interior de una circunferencia o esfera” (párr. 1). En el análisis de una función, la concavidad indica hacia dónde abre la gráfica de la función. En esta lectura utilizaremos los términos: cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo, como se indica a continuación: Término

Gráfica

Notación

Cóncava hacia arriba

CH↑

Cóncava hacia abajo

CH↓

Tabla 1. Cóncavas

Para ejemplificar este concepto, usemos la función f (x ) = x 3 − x 2 − 5 x + 7 cuya gráfica se muestra en la figura 1.

! ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

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Figura 1. Funciones.

En la gráfica se ha señalado que en cierta porción de la gráfica, ésta se comporta con una concavidad hacia abajo y en otra sección con concavidad hacia arriba, pero… ¿En qué punto exactamente ocurre este cambio?, ¿matemáticamente cómo se puede determinar el intervalo de concavidad? La concavidad de la gráfica de una función siguiente manera: Sea Si

puede definirse mediante la primera derivada de la

diferenciable en es una función creciente en

entonces la gráfica de

es cóncava hacia

, entonces la gráfica de

es cóncava hacia

arriba en el intervalo. Si

es una función decreciente en

abajo en el intervalo (Zill, 1987, p. 217).

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La interpretación de la definición anterior se puede realizar a partir del significado geométrico de la derivada. “El valor de la derivada en cualquier punto de una curva es igual a la pendiente de la tangente a la curva en ese punto” (Fuenlabrada, 2001, p. 54). Además, considerando que una tangente con pendiente negativa se inclina a la izquierda y una tangente positiva a la derecha, e integrando los anteriores conceptos, resulta que: La!figura!muestra!cuatro!tipos!de! rectas;!dos!de!ellas!son!casos! especiales,!la!recta!con!pendiente! cero!(recta!horizontal)!y!la!recta!con! pendiente!indefinida!(recta!vertical),! además!muestra!una!recta!inclinada!a! la!izquierda!(pendiente!negativa)!y! una!recta!inclinada!a!la!derecha! (pendiente!positiva).!

Recta con pendiente cero

Recta con pendiente positiva

Recta con pendiente positiva

Recta con pendiente indefinida

Figura 2. Tipos de rectas.

1. Si es creciente, el valor de la pendiente de la recta tangente va de un valor negativo hacia un valor positivo (figura 1) y la gráfica es cóncava hacia arriba. 2. Si es decreciente, el valor de la pendiente de la recta tangente va de un valor positivo hacia un valor negativo (figura 2) y la gráfica es cóncava hacia abajo.

Figura 3. Cóncava hacia arriba.

Figura 4. Cóncava hacia abajo.

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Siguiendo con este análisis y considerando que una función es creciente si su derivada es positiva y decreciente si su derivada es negativa (Fuenlabrada, 2001), y tomando en cuenta que la derivada de la primera derivada es f’’ (segunda derivada), entonces el signo de la segunda derivada es una condición para establecer la concavidad de la gráfica de una función. Zill (1987, p. 217) establece lo anterior en el siguiente criterio: Criterio de concavidad Sea

una función para la cual

existe en (a, b,)

Si f’’(x)>0 para todo x en (a, b), entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en (a, b). Si f’’(x) 0, entonces f(c) es un mínimo relativo. 2. Si f’’(c)...