Ejercicios Resueltos Estadística Hasta TEMA 3 PDF

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CURSO Estadística descriptiva TEMA 1 1) Clasificar cada una de las siguientes variables en función de las características que miden: a) Número de accidentes de tráfico con víctimas ocurridos en una ciudad en un día. Cuantitativa discreta b) Altura (cm) Cuantitativa continua c) Colesterol en sangre C...

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CURSO 2019/2020 Estadística descriptiva

TEMA 1 1) Clasificar cada una de las siguientes variables en función de las características que miden: a) Número de accidentes de tráfico con víctimas ocurridos en una ciudad en un día. Cuantitativa discreta b) Altura (cm) Cuantitativa continua c) Colesterol en sangre (mg/dl). Cuantitativa continua d) Grado funcional de un paciente cardiópata (I/II/III/IV). Cualitativa ordinal e) Grupo de tratamiento con 4 fármacos distintos (A/B/C/D). Cualitativa nominal politómica f) Color de ojos (marrón/negro/gris/azul/verde). Cualitativa nominal politómica g) Número de dientes empastados. Cuantitativa discreta h) Índice de masa corporal (kg/m2). Cuantitativa continua i) Conducir a más de 120 km/h al pasar por determinado punto kilométrico de una carretera. Cualitativa nominal dicotómica 2) Se observan los siguientes datos para el número de faltas a clase de un grupo de alumnos a lo largo de un cuatrimestre: 13-15-3-3-18-22-24-12-25-3-5-7-12-12-7-8-11-12-33 Se pide: a) b) c) d) e) f)

¿Qué tipo de variable es? Calcular la media aritmética, la mediana y la moda. Calcular la varianza y la desviación típica. Calcular el coeficiente de variación. Calcular los cuartiles y el rango intercuartílico e interpretarlo. Calcular el coeficiente de asimetría e interpretarlo.

3-3-3-5-7-7-8-11-12-12-12-12-13-15-18-22-24-25-33 Media aritmética= 12,89; Mediana= 12; Moda=12. Varianza=69,10; Desviación típica= 8,31. CV= 64,46 % Q1: Posición Q1= (1x (19+1)) /4 = 5. Valor Q1= 7

CURSO 2019/2020 Q2: Posición Q2= (2x (19+1)) /4 = 10. Valor Q2= 12 Q3: Posición Q3= (3x (19+1)) /4 = 15. Valor Q3= 18 RIQ= Q3-Q1= 18-7=11. Interpretación: en un rango de 11 unidades se encuentra el 50% central de la muestra.

coeficiente asimetría 

n  ( xi  x ) 3 (n  1)(n  2) s3

Coeficiente de asimetría=0,89

var1 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34

Interpretación: al presentar un valor >0 indica que existe una ligera asimetría positiva en la distribución, presentando una cola a la derecha. Esto se puede observar en el histograma de la variable y en el diagrama de cajas que se presenta a continuación.

Histograma y diagrama de cajas de la distribución del número de faltas a clase.

CURSO 2019/2020 3) Completa la siguiente tabla del número de hermanos con las frecuencia simple, absoluta y relativas (simple y acumulada) de una muestra de 120 estudiantes. Nº n hermanos 0 23 1 2 3 7

f

F

0.692

Nº hermanos n

f

F

0 1 2 3

0.192 0.500 0.250 0.058

0.192 0.692 0.942 1.000

23 60 30 7

4) En la siguiente tabla se recogen los valores de tensión arterial de una muestra. xi 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120

ni 4 15 32 51 66 43 37 25 17 10

Calcular: la media, la desviación estándar, la mediana y el RIC (rango intercuartílico).

CURSO 2019/2020 xi 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 Total

ni 4 15 32 51 66 43 37 25 17 10 300

Media DE Posición mediana Posición cuartil 1 Posición cuartil 3

97,2 10,2 150,5 75,25 222,75

xi*ni 300 1200 2720 4590 6270 4300 3885 2750 1955 1200 29170

[(xi-media)^2]*ni 1977,3 4454,8 4788,9 2668,4 329,2 329,1 2231,9 4074,7 5366,1 5183,2 31403,67

Ni 4 19 51 102 168 211 248 273 290 300

Valor de la mediana 95 Valor del cuartil 1 90 Valor del cuartil 3 105

5) De la distribución de la variable X='Edad (años)' de un colectivo de sujetos agrupada en 4 intervalos (65) se sabe que: una quinta parte tienen entre 36 y 65 años; el 68% tienen como mucho 35 años, 10 sujetos tienen 65 años. Es cierto que: a. b. c. d.

Un 25% de la muestra tienen una edad ≤18 años. 88 sujetos tienen una edad como máximo de 65 años. 40 sujetos tienen una edad entre 36 y 65 años. El número de sujetos de la muestra es 72.

65 Total

ni 10 58 20 12 100

fi 0,1 0,58 0,2 0,12

Fi 0,1 0,68 0,88 1

Ni 10 68 88 100

6) Se ha realizado un estudio entre 100 mujeres mayores de 15 años, observándose el número de hijos de las mismas. El resultado ha sido:

CURSO 2019/2020

a) Calcular los cuartiles Q1=1; Q2=2; Q3=3 b) ¿Cuál es el número máximo de hijos que tiene el 70% de las mujeres que menos hijos tienen? El número máximo de hijos que tiene el 70% de las mujeres que menos hijos tiene es de 3 hijos. 7) Completar la tabla de frecuencias: nº suspensos 0 1 2 3 4 N

de n 3

N 10

12 30 50

Una vez completada calcular la media, mediana, desviación estándar y cuartiles de la variable nº de suspensos.

nº suspensos 0 1 2 3 4

de n 3 7 12 8 20

N 3 10 22 30 50

Estadísticos numero de suspensos N Válidos Perdidos

50 0

CURSO 2019/2020 Media Desv. típ. Percentiles

2,7000 1,29756 25 50

2,0000 3,0000

75

4,0000

8) Calcular el rango intercuartílico de la distribución de las edades de estos 400 niños.

RIC: P25= 4; P75=7. RIC = 7-4 = 3

9) En una encuesta realizada a 100 familias se ha obtenido la siguiente distribución de frecuencias relativas acumuladas de X="Nº de miembros que componen la unidad familiar".

Xi

1

2

3

4

5

6

7

Fi

0,15

0,32

0,57

0,74

0,87

0,96

1

Calcular: a) La proporción de familias con un máximo de 4 miembros. 0,74 b) El nº de familias en la muestra con exactamente 4 miembros. 17 c) El tamaño mínimo que debe tener una familia para estar entre las 10 familias con más miembros. 6 Una familia con menos de 3 miembros estará entre: a) b) c) d)

Las 13 familias más numerosas. Las 32 familias menos numerosas Las 26 familias más numerosas. Las 57 familias menos numerosas.

10) ¿Cuál de estas

características no es propia de la media?

a) Es sensible a valores extremos

CURSO 2019/2020 b) Es el centro de gravedad de los datos c) En distribuciones simétricas, coincide con la mediana d) Deja el mismo número de datos por arriba que por debajo

11) El 3% de los individuos tiene una altura superior a 190cm. El 5% mide menos de 150cm. Conocemos: a) b) c) d)

El percentil 3. El percentil 95. El percentil 97. Nada de lo anterior.

12) La siguiente distribución de frecuencias relativas acumuladas corresponde a la variable X = “nº de veces que ha ido al cine en el último mes” observada en una muestra de n personas: X 0 1 2 3 4 5

Fi 0,05 0,15 0,32 0,63 0,85 1

a) Hay por lo menos una persona que ha ido 15 veces al cine el último mes. b) El 85% de las personas encuestadas ha ido como mínimo 2 veces al cine en el último mes. c) El 85% de las personas de la muestra ha ido al cine el último mes como máximo 3 veces. d) El total de las personas de la muestra han ido al cine el último mes por lo menos una vez. 13) Cuál de las siguientes medidas define mejor la tendencia central de los datos: 5, 4, 42, 4, 6. a) La mediana. b) La media. c) La moda. d) La proporción. 14) La media aritmética de una variable cuantitativa: a) Es siempre un valor de la variable. b) No tiene sentido calcularla para variables discretas. c) Si la variable es discreta, puede no ser única. d) Existe siempre. 15) En un estudio descriptivo se obtiene una que el peso tiene una media de 60 kg y una desviación típica de 20 kg., mientras que la media de las edades es 15 años, con una desviación típica de 5 años. Entonces: a. Hay más dispersión en pesos que en edades. b. Hay más dispersión en edades que en pesos.

CURSO 2019/2020 c. Peso y edad están dispersos de modo equivalente. d. No tiene sentido compararlos al no coincidir las unidades de medida.

TEMA 2 1) Según los siguientes datos, P(A)= 0.75; P (B)= 0.35; P (AUB)= 0.90. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra A sabiendo que ha pasado B?: Debemos calcular P(A|B) = P(A∩B) / P(B). P(B)=0.35. Tenemos que calcular la P(A∩ B), para ellos la obtenemos de la siguiente fórmula: P (AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩ B); 0.90 = 0.75 + 0.35 – P(A∩B); P(A∩B) = 0.20 P(A|B) = 0.20/0.35 = 0.57 2) Sean A y B sucesos de un mismo espacio muestral, tales que P(A)=0.6 y P (A U B) =0.9. Calcular P(B) si: a) A y B son independientes. Si dos sucesos son independientes entonces se cumple que P(A∩B) = P(A) x P(B) P (AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B); P (AUB) = P(A) + P(B) – (P(B) X P(A)); P (AUB) - P(A) = P(B) – (P(B) X P(A)); P (AUB) - P(A) = P(B) X (1 – P(A)) P(B)= (P (AUB) - P(A)) / (1 - P(A)) = (0.9-0.6) / 0.4 = 0.75 b) A y B son incompatibles. P(AUB) = P(A) + P(B); P(B)= P(AUB) – P(A) = 0.9-0.6= 0.3 3) En una clase hay 10 aprobados y 6 suspensos, y en otra hay 4 aprobados y 14 suspensos. Se saca al azar un alumno de cada clase. (Se supone que los sucesos de aprobar en cada clase son independientes). Calcular la probabilidad de que: a) Los dos sean aprobados. P(1ºAP∩ 2ºAP) = P(1ºAP) x P(2ºAP) = (10/16)x (4/18) = 0.14 b) Los dos sean suspensos. P(1ºSS∩ 2ºSS) = P(1ºSS) x P(2ºSS) = (6/16)x(14/18) = 0.29 c) Uno sea aprobado y otro suspenso. P(1ºAP∩2ºSS)  P(2ºAP∩ 1ºSS) = ((10/16) x (14/18) + ((4/18) x (6/16)) = 0.49 + 0.083 = 0,573 4) Tres hombres A, B, C disparan a un objetivo. Suponga que P(A)=1/6; P(B)=1/4 y P(C)=1/3 representan sus probabilidades de darle al objetivo. (Se supone que los sucesos A, B y C que alcanzan el objetivo son independientes). a) Calcular la probabilidad de que todos alcancen su objetivo. b) Calcular la probabilidad de que ninguno alcance el objetivo.

CURSO 2019/2020 c) Calcular la probabilidad de que al menos uno de ellos alcance el objetivo. d) Calcular la probabilidad de que exactamente uno de ellos alcance el objetivo. a) P(A∩ B∩ C) = P(A)*P(B)*P(C) = 1/6*1/4*1/3 = 0.0138 b) P(NA∩ NB∩ NC) = P(NA)*P(NB)*P(NC) = 5/6*3/4*2/3 = 0.4166

c) P(A∩ B∩ C) + P(A∩ B∩ NC) + P(A∩ NB∩ C) + P(NA∩ B∩ C) + P(A∩ NB∩NC) + P(NA∩B∩NC) + P(NA∩ NB∩ C) = (1/6*1/4*1/3) + (1/6*1/4*2/3) + (5/6*1/4*1/3) + (1/6*3/4*2/3) + (5/6*1/4*2/3) +(5/6*3/4*1/3) + (1/6*3/4*1/3) = 0.5833 d)

(A∩ NB∩ NC) + P(NA∩ B∩ NC) + P(NA∩ NB∩ C) = (1/6*3/4*2/3) + (5/6*1/4*2/3) +(5/6*3/4*1/3) = 0.4305

5) Sabiendo que: P(A)=0.5; P(B’) = 0.6; P(A’∩B’) = 0.25. a) ¿A y B son sucesos independientes? b) Calcular P(AUB) y P(A|B). De los datos que nos aporta el enunciado podemos saber que: P(A)=0.5; P(A’) = 0.5 P(B’) = 0.6; P(B)=0.4 P(A’∩ B’) = 0.25; P(AUB)=0.75 a) Si A y B fueran dos sucesos independientes se debería cumplir: P(A∩B) = P(A)*P(B) Lo verificamos con los datos aportados: P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩ B); 0.75 = 0.5 + 0.4– P(A∩B); P(A∩B) = 0.15 (0.15) ≠ (0.5*0.4). Se concluyen que los sucesos son dependientes. b) P(AUB)=0.75 y P(A|B) = P(A∩ B) /P(B) = 0.15/0.40 = 0.375 6) La osteoporosis afecta 4 veces más a mujeres que a hombres. El 8% de las mujeres padece osteoporosis en una población donde hay tantos hombres como mujeres. ¿Cuál es la probabilidad de la osteoporosis en la población? a. 2% b. 5% c. 8% d. 10% La información que nos aporta el enunciado es: P(M) = 0.5; P(H) = 0.5; P(O|M) = 0.08; P(O|H) = 0.02. Aplicando el teorema de probabilidad total: P(O) = P(O∩ M) + P(O∩ H) = P(M)* P(O|M) + P(H)* P(O|H) = 0.5*0.08 + 0.5*0.02 = 0.05 7) En un estudio sobre el tabaco, se informa que el 40% de los fumadores tienen padre fumador, el 25% tienen madre fumadora, y el 52% tiene al menos uno de los padres fumadores. Se elige una persona fumadora al azar. Calcular: Datos que nos aporta el enunciado del problema: P(Pf)=0.40

CURSO 2019/2020 P(Mf)=0.25 P (Pf U Mf) = 0.52, es decir P(MF∩ PF) = 0.25+0.40-0.52=0.13 a) Probabilidad de que la madre sea fumadora si lo es el padre. P(Mf|Pf) = P(Mf∩ Pf) / P(Pf) = 0.13/0.40 = 0.325 b) Probabilidad de que la madre sea fumadora si no lo es el padre. P(Mf|Pnf) = P(Mf∩Pnf) / P(Pnf). Para calcular P(Mf∩ PnF), sabemos por el teorema de la probabilidad total: P(Mf)= P(Mf∩ Pf) + P(Mf∩ Pnf); 0.25 = P(Mf∩Pnf) + 0.13; P(Mf∩Pnf) = 0.12 P(Mf|Pnf) = P(Mf∩ Pnf) / P(Pnf) = 0.12/0.60 = 0.20 Para resolver el problema también podemos generar una tabla 2x2 para un tamaño muestral de 100 sujetos.

c) ¿Son independientes el tener padre fumador y el tener madre fumadora? Para valorar si son independientes valoramos si el conocimiento sobre si la madre es o no fumadora condiciona la probabilidad de fumar del padre. Calculamos la P(Pf|Mf) = 13/25 = 0.52 Calculamos la P(Pf|Mnf) = 27/75 = 0.36 La P(Pf)=0.40. Por lo tanto, podemos observar que la probabilidad de que el padre sea fumador está condicionada por la información aportada por el conocimiento de si la madre es o no fumadora. Además, se cumple que si las variables son independientes: P(Pf∩ Mf) = P(Mf) x P(Pf|Mf) = 0.25 x 0.52 = 0.13. 8) Se sabe que, de cada 1000 pacientes con dolor de estómago, 700 presentan gastritis, 200 presentan úlcera y 100 presentan cáncer. En el análisis de la sintomatología asociada a cada una de estas patologías, se ha observado que las probabilidades de presentar vómitos son 0.3 en el caso de gastritis, 0.6 en el caso de úlcera y 0.9 en el caso de cáncer. Llaga un nuevo paciente al servicio de urgencias con dolor de estómago que, además, presenta vómitos. ¿Qué diagnosticaríamos?

CURSO 2019/2020 Debemos calcular aplicando el teorema de Bayes las probabilidades condicionadas de tener cada una de las tres patologías condicionadas a presentar vómitos. P(G|V) = P(G∩V) / P(V) P(U|V) = P(U∩V) / P(V) P(C|V) = P(C∩V) / P(V) Es necesario calcular la probabilidad de presentar vómitos aplicando el teorema de la probabilidad total. P(V) = P(G∩V) + P(U∩V) + P(C∩V) = [P(G) P(V|G)] + [P(U) P(V|U)] + [P(C) P(V|C)] = [0.7 X 0.3] + [0.2 X 0.6] + [0.1 X 0.9] = 0.21 + 0.12 + 0.09 = 0.42 Ahora podemos calcular las probabilidades condicionadas P(G|V) = P(G∩ V) / P(V) = 0.21/0.42 = 0.50 P(U|V) = P(U∩ V) / P(V) = 0.12/0.42 = 0.2857 P(C|V) = P(C∩ V) / P(V) = 0.09/0.42 = 0.2142 Lo más probable es que el paciente padezca gastritis. 9) Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A)= 1/3, p(B)=1/4, p(A ∩B) = 1/5. Determinar: a) P(A|B) = P(A∩ B) / P(B) = (1/5) / (1/4) = 4/5 b) P(B|A) = P(A∩ B / P(A) = (1/5) / (1/3) = 3/5 c) P(AUB)= P(A) + P(B) – P(A∩ B) = 1/3 + 1/4 – 1/5 = 23/60 = 0.38 d) P(A’|B) = P(A’∩ B) / P(B) = P(B)- p(A∩ B) / P(B) = (1/4-1/5) / 1/4= 1/5 e) P(B’|A’) = P(B’∩ A’) / P(A’) = 1- P (A U B) / 1- P (A) = (1-23/60) / (1-1/3) = 37/40 P(B’|A) = P(B’∩ A) / P(A) = P(A) - p(A∩ B) / P(A) = (1/3-1/5) = 1/3= 2/5 12) Consideramos una familia con una madre, un padre y dos hijos. Sean los sucesos: A1 = {la madre tiene gripe}, A2 = {el padre tiene gripe}, A3 = {el hijo mayor tiene gripe}, A4 = {el hijo menor tiene gripe}, B = {al menos un hijo tiene gripe}, C= {al menos uno de los padres tiene gripe}, D = {al menos un miembro de la familia tiene gripe}. f)

a) ¿Qué significa A1 U A2? Al menos uno de los padres tiene gripe.

CURSO 2019/2020 b) ¿Qué significa A1 ∩ A2? Los dos padres tienen gripe. c) ¿A3 y A4 son incompatibles? No, ambos hermanos pueden tener gripe. d) ¿Qué significa A3 U B? B e) ¿Qué significa A3 ∩ B? El hijo mayor tiene gripe, pero el menor no. f)

Expresa C en términos de A1, A2, A3 y A4

C=A1 U A2 g) Expresa D en términos de B y C. D= B U C h) ¿Qué significa A1c? La madre no tiene gripe. i)

¿Qué significa A2c?

El padre no tiene gripe. j) Expresa Cc en términos de A1, A2, A3 y A4. Cc= A1c ∩ A2c k) Expresa Dc en términos de B y C. Dc= Bc ∩ C

TEMA 3

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