Equilibrio de una partícula con ejemplos PDF

Preview

Summary

Teoría sobre el equilibrio de una partícula en el plano bidimensional y tridimensional con ejercicios y su respectiva resolución por pasos....

Description

3

Equilibrio de una partícula OBJETIVOS DEL CAPÍTULO

• Presentar el concepto de diagrama de cuerpo libre para una partícula.

• Mostrar cómo se resuelven los problemas de equilibrio de una partícula, mediante las ecuaciones de equilibrio.

3.1 Condiciones para el equilibrio de una partícula

Se dice que una partícula está en equilibrio si permanece en reposo y en un principio estaba en reposo, o si tiene una velocidad constante y originalmente estaba en movimiento. Sin embargo, más a menudo, el término “equilibrio” o, de manera más específica, “equilibrio estático” se usa para describir un objeto en reposo. Para mantener el equilibrio, es necesario satisfacer la primera ley del movimiento de Newton, la cual requiere que la fuerza resultante que actúa sobre una partícula sea igual a cero. Esta condición puede ser establecida matemáticamente como

©F ⫽ 0

(3-1)

donde ©F es el vector suma de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula. La ecuación 3-1 no sólo es una condición necesaria para el equilibrio, también es una condición suficiente. Esto es una consecuencia de la segunda ley del movimiento de Newton, la cual puede escribirse como ©F ⫽ ma. Como el sistema de fuerzas satisface la ecuación 3-1, entonces ma ⫽ 0, y por lo tanto la aceleración de la partícula a ⫽ 0. En consecuencia, la partícula se mueve con velocidad constante o permanece en reposo.

86

CAPÍTULO 3

EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA

3.2 Diagrama de cuerpo libre Para aplicar la ecuación de equilibrio debemos tomar en cuenta todas las fuerzas conocidas y desconocidas (©F) que actúan sobre la partícula. La mejor manera de hacer esto es pensar en la partícula como aislada y “libre” de su entorno. Un dibujo que muestra la partícula junto con todas las fuerzas que actúan sobre ella se denomina diagrama de cuerpo libre (DCL). Antes de presentar un procedimiento formal de cómo trazar un diagrama de cuerpo libre, primero consideraremos dos tipos de conexiones que se encuentran con frecuencia en problemas de equilibrio de partículas.

3

Resortes. Si un resorte elástico lineal (o cuerda) de longitud no deformada lo se usa como soporte de una partícula, su longitud cambiará en proporción directa a la fuerza F que actúe sobre él, figura 3-1. Una característica que define la “elasticidad” de un resorte es la constante de resorte o rigidez, k. La magnitud de la fuerza ejercida en un resorte elástico lineal que tiene una rigidez k y está deformado (alargado o acortado) una distancia s ⫽ l ⫺ lo, medida desde su posición sin carga, es

o

F ⫽ ks

⫹s

F

Fig. 3-1

(3-2)

Si s es positiva, lo que causa un alargamiento, entonces F debe jalar el resorte; mientras que si s es negativa, lo que causa un acortamiento, entonces F debe empujar el resorte. Por ejemplo, si el resorte de la figura 3-1 tiene una longitud no deformada de 0.8 m y una rigidez k ⫽ 500 N> m y se estira hasta una longitud de 1 m, de manera que s ⫽ l ⫺ lo ⫽ 1 m ⫺ 0.8 m ⫽ 0.2 m, entonces se requiere una fuerza F ⫽ ks ⫽ 500 N>m(0.2 m) ⫽ 100 N.

Cables y poleas. A menos que se establezca lo contrario, en todo este libro, excepto en la sección 7.4, supondremos que todos los cables (o cuerdas) tienen un peso insignificante y que no se pueden deformar. Además, un cable puede soportar sólo una tensión o fuerza de “jalón” que actúa en la dirección del cable. En el capítulo 5 se mostrará que la fuerza de tensión desarrollada en un cable continuo que pasa sobre una polea sin fricción, debe tener una magnitud constante para mantener al cable en equilibrio. Por consiguiente, para cualquier ángulo , como el que se muestra en la figura 3-2, el cable se somete a una tensión T en toda su longitud.

u

T T El cable está en tensión

Fig. 3-2

3.2

87

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

Procedimiento para trazar un diagrama de cuerpo libre Para aplicar las ecuaciones de equilibrio, debemos tomar en cuenta todas las fuerzas que actúan sobre una partícula, por tal motivo no se debe exagerar en enfatizar la importancia de trazar primero un diagrama de cuerpo libre. Para construir un diagrama de cuerpo libre, se requiere llevar a cabo los tres pasos siguientes.

T

Trace un perfil delineado. Imagine que la partícula está aislada o “liberada” de su entorno al trazar su perfil delineado. Muestre todas las fuerzas. Indique sobre este bosquejo todas las fuerzas que actúan sobre la partícula. Éstas pueden ser fuerzas activas, que tienden a poner la partícula en movimiento, o fuerzas reactivas, que son el resultado de las restricciones o soportes que tienden a evitar el movimiento. Para tomar en cuenta todas esas fuerzas, puede resultar útil trazar los límites de la partícula, y señalar con cuidado cada fuerza que actúa sobre ella. Identifique cada una de las fuerzas. Las fuerzas que son conocidas deben ser marcadas con sus propias magnitudes y direcciones. Para representar las magnitudes y direcciones de las fuerzas desconocidas se usan letras.

W

La cubeta se mantiene en equilibrio mediante el cable, e instintivamente sabemos que la fuerza en el cable debe ser igual al peso de la cubeta. Al trazar un diagrama de cuerpo libre de la cubeta podemos entender por qué esto es así. Este diagrama muestra que sólo hay dos fuerzas que actúan sobre la cubeta, a saber, su peso W y la fuerza T del cable. Para obtener el equilibrio, la resultante de estas fuerzas debe ser igual a cero y por consiguiente T ⫽ W.

D W A A TB B

TC

C

El carrete tiene un peso W y está suspendido del pescante de la grúa. Si queremos obtener las fuerzas en los cables AB y AC, podemos considerar el diagrama de cuerpo libre del anillo en A. Aquí, los cables AD ejercen una fuerza resultante W sobre el anillo y la condición de equilibrio se usa para obtener TB y TC.

3

88

CAPÍTULO 3

EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA

EJEMPLO 3.1 La esfera que aparece en la figura 3-3a tiene una masa de 6 kg y está soportada como se muestra. Trace un diagrama de cuerpo libre de la esfera, de la cuerda CE, y del nudo en C.

B

3

FCE (Fuerza de la cuerda CE que actúa sobre la esfera)

60⬚

k D

C

45⬚

E

A

(a) 58.9 N (Peso o gravedad que actúa sobre la esfera) (b)

FEC (Fuerza del nudo que actúa sobre la cuerda CE)

FCE (Fuerza de la esfera que actúa sobre la cuerda CE) (c)

SOLUCIÓN Esfera. Por inspección, hay sólo dos fuerzas que actúan sobre la esfera, las cuales son, su peso: 6 kg (9.81 m>s2) ⫽ 58.9 N, y la fuerza en la cuerda CE. El diagrama de cuerpo libre se muestra en la figura 3-3b. Cuerda CE. Cuando la cuerda CE se aísla de su entorno, su diagrama de cuerpo libre muestra sólo dos fuerzas que actúan sobre ella, a saber, la fuerza de la esfera y la fuerza del nudo, figura 3-3c. Observe que la FCE mostrada aquí es igual pero opuesta a la mostrada en la figura 3-3b, una consecuencia de la tercera ley de Newton de acción y reacción. Además, FCE y FEC jalan la cuerda y la mantienen en tensión de manera que no colapse. Para lograr el equilibrio, FCE ⫽ FEC. Nudo. El nudo en C está sometido a tres fuerzas, figura 3-3d. Éstas son causadas por las cuerdas CBA y CE y el resorte CD. Como se requiere, el diagrama de cuerpo libre muestra todas esas fuerzas marcadas con sus magnitudes y direcciones. Es importante darse cuenta que el peso de la esfera no actúa directamente sobre el nudo, sino que la cuerda CE somete el nudo a esta fuerza. FCBA (Fuerza de la cuerda CBA que actúa sobre el nudo)

60⬚

C

FCD (Fuerza del resorte que actúa sobre el nudo)

FCE (Fuerza de la cuerda CE que actúa sobre el nudo) (d)

Fig. 3-3

3.3

89

SISTEMAS DE FUERZAS COPLANARES

3.3 Sistemas de fuerzas coplanares Si una partícula está sometida a un sistema de fuerzas coplanares que se encuentran en el plano x-y como en la figura 3-4, entonces cada fuerza puede descomponerse en sus componentes i y j. Para lograr el equilibrio, estas fuerzas deben sumarse para producir una fuerza resultante

y F1

F2

x

3 F3

F4

Fig. 3-4

Para que se satisfaga esta ecuación vectorial, ambas componentes x y y deben ser iguales a cero. Por lo tanto,

Estas dos ecuaciones pueden resolverse cuando mucho para dos incógnitas, representadas generalmente como ángulos y magnitudes de fuerzas mostradas sobre el diagrama de cuerpo libre de la partícula. Cuando se aplica cada una de las dos ecuaciones de equilibrio, debemos tomar en cuenta el sentido de cada componente con un signo algebraico que corresponde a la dirección de la cabeza de flecha de la componente a lo largo de los ejes x o y. Es importante observar que si una fuerza tiene una magnitud desconocida, entonces el sentido de la cabeza de la flecha de la fuerza en el diagrama de cuerpo libre puede suponerse. De esta forma, si la solución genera un escalar negativo, el sentido de la fuerza es opuesto al sentido que se supuso. Por ejemplo, considere el diagrama de cuerpo libre de la partícula sometida a las dos fuerzas que se muestran en la figura 3-5. Aquí se supone que la fuerza desconocida F actúa hacia la derecha para mantener el equilibrio. Al aplicar la ecuación de equilibrio a lo largo del

; Ambos términos son “positivos” puesto que las dos fuerzas actúan en la dirección x positiva. Cuando se resuelve esta ecuación, F ⫽ ⫺10 N. Aquí, el signo negativo indica que F debe actuar hacia la izquierda para sostener la partícula en equilibrio, figura 3-5. Observe que si el eje ⫹x de la figura 3-5 estuviese dirigido hacia la izquierda, en la ecuación anterior ambos términos serían negativos pero, de nuevo, después de resolver F ⫽ ⫺10 N, lo que indica que F estaría dirigida hacia la izquierda.

F

10 N

Fig. 3-5

x

90

CAPÍTULO 3

EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA

Procedimiento para el análisis Los problemas de equilibrio de fuerzas coplanares para una partícula pueden resolverse por el siguiente procedimiento. Diagrama de cuerpo libre.

• Establezca los ejes x, y en cualquier orientación adecuada. 3

• Marque en el diagrama todas las magnitudes y direcciones de las fuerzas conocidas y desconocidas.

• Puede suponer el sentido de una fuerza con una magnitud desconocida.

Ecuaciones de equilibrio.

• Aplique las ecuaciones de equilibrio ©Fx ⫽ 0 y ©Fy ⫽ 0. • Las componentes son positivas si están dirigidas a lo largo de

un eje positivo, y negativas si están dirigidas a lo largo de un eje negativo.

• Si hay más de dos incógnitas y el problema implica un resor-

te, aplique F ⫽ ks para relacionar la fuerza del resorte con la deformación s del mismo.

• Como la magnitud de una fuerza siempre es una cantidad positiva, si la solución produce un resultado negativo, esto indica que el sentido de la fuerza es el inverso del mostrado sobre el diagrama de cuerpo libre.

y TD

D A

x

A TB

B C

TC

Estas cadenas ejercen tres fuerzas sobre el anillo localizado en A, como se muestra en su diagrama de cuerpo libre. El anillo no se moverá, o se moverá con velocidad constante, siempre que la suma de esas fuerzas a lo largo de los ejes x y y en el diagrama de cuerpo libre sea igual a cero. Si se conoce una de las tres fuerzas, las magnitudes de las otras dos pueden obtenerse a partir de las dos ecuaciones de equilibrio.

3.3

91

SISTEMAS DE FUERZAS COPLANARES

EJEMPLO 3.2 Determine la tensión necesaria en los cables BA y BC para sostener el cilindro de 60 kg que se muestra la figura 3-6a.

C

A

3

TBD ⫽ 60 (9.81) N

5 4

3

45⬚ B

60 (9.81) N D

(b)

(a)

SOLUCIÓN Diagrama de cuerpo libre. Debido al equilibrio, el peso del cilindro ocasiona que la tensión en el cable BD sea TBD ⫽ 60(9.81) N, figura 3-6b. Las fuerzas en los cables BA y BC pueden determinarse al investigar el equilibrio del anillo B. Su diagrama de cuerpo libre se muestra en la figura 3-6c. Las magnitudes de TA y TC se desconocen, pero sus direcciones son conocidas. Ecuaciones de equilibrio. Al aplicar las ecuaciones de equilibrio a lo largo de los ejes x y y, tenemos 4 5

y

(1) TA

3 5

3

La ecuación (1) puede escribirse como TA ⫽ 0.8839TC. Al sustituir esto en la ecuación (2) resulta

TC 5

45⬚

4

B

x

TBD ⫽ 60 (9.81) N

3 5

De forma que

(c)

TC ⫽ 475.66 N ⫽ 476 N

Resp.

Al sustituir este resultado en la ecuación (1) o la ecuación (2), obtenemos TA ⫽ 420 N

Resp.

NOTA: por supuesto, la exactitud de esos resultados depende de la exactitud de los datos, es decir, de las medidas geométricas y de las cargas. Para la mayor parte de los trabajos de ingeniería que implican un problema como éste, los datos medidos con tres cifras significativas serían suficientes.

Fig. 3-6

92

CAPÍTULO 3

EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA

EJEMPLO 3.3 La caja de 200 kg que se muestra en la figura 3-7a está suspendida por las cuerdas AB y AC. Cada cuerda puede soportar una fuerza máxima de 10 kN antes de que se rompa. Si AB siempre permanece horizontal, determine el ángulo mínimo  al que se puede suspender la caja antes de que una de las cuerdas se rompa. y

3

C

FC u

FB A

u

A

x

B D

FD ⫽ 1962 N

(b)

Fig. 3-7

(a)

SOLUCIÓN Diagrama de cuerpo libre. Estudiaremos el equilibrio del anillo A. Hay tres fuerzas que actúan sobre él, figura 3-7b. La magnitud de FD es igual al peso de la caja, es decir, FD ⫽ 200 (9.81) N ⫽ 1962 N 6 10 kN. Ecuaciones de equilibrio. Al aplicar las ecuaciones de equilibrio a lo largo de los ejes x y y, ;

(1)

A partir de la ecuación (1), FC siempre es mayor que FB puesto que cos  … 1. Por lo tanto, la cuerda AC alcanzará la fuerza de tensión máxima de 10 kN antes que la cuerda AB. Al sustituir FC ⫽ 10 kN en la ecuación (2), obtenemos

Resp. La fuerza desarrollada en la cuerda AB puede obtenerse al sustituir los valores de  y FC en la ecuación (1).

3.3

93

SISTEMAS DE FUERZAS COPLANARES

EJEMPLO 3.4 Determine la longitud requerida para el cable de corriente alterna de la figura 3-8a, de manera que la lámpara de 8 kg esté suspendida en la posición que se muestra. La longitud no deformada del resorte AB es l ¿AB ⫽ 0.4 m, y el resorte tiene una rigidez de kAB ⫽ 300 N>m. 2m

y

C TAC

3

kAB ⫽ 300 N/m

30⬚

30⬚ A

B

x

A

TAB

W ⫽ 78.5 N (b) (a)

Fig. 3-8

SOLUCIÓN Si se conoce la fuerza presente en el resorte AB, el alargamiento del resorte se puede encontrar mediante F ⫽ ks. A partir de la geometría del problema, es posible calcular la longitud requerida de AC. Diagrama de cuerpo libre. La lámpara tiene un peso W ⫽ 8(9.81) ⫽ 78.5 N y entonces el diagrama de cuerpo libre del anillo en A se muestra en la figura 3-8b. Ecuaciones de equilibrio. Si utilizamos los ejes x, y,

Al resolver estas ecuaciones obtenemos

Entonces, el estiramiento del resorte AB es

y la longitud alargada es, por tanto

Resp.

94

CAPÍTULO 3

EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA

PROBLEMAS FUNDAMENTALES Todas las soluciones a los problemas deben incluir un DCL. F3-1. La caja tiene un peso de 550 lb. Determine la fuerza en cada cable de soporte.

0.3 m

C

B

3

F3-4. El bloque tiene una masa de 5 kg y descansa sobre un plano inclinado liso. Determine la longitud sin estirar del resorte.

5

3

4

30⬚

k ⫽ 200 N/m

A 0.4 m

D 45⬚

F3-1

F3-4

F3-2. La viga tiene un peso de 700 lb. Determine el cable ABC más corto que puede usarse para levantarla, si la fuerza máxima que puede soportar el cable es de 1500 lb.

F3-5. Si la masa del cilindro C es de 40 kg, determine la masa del cilindro A a fin de sostener el ensamble en la posición mostrada.

B B u

30⬚ D

u

A

E

C

C

10 pies

40 kg

A

F3-2 F3-3. Si el bloque de 5 kg se suspende de la polea B y la flecha de la cuerda es d ⫽ 0.15 m, determine la fuerza en la cuerda ABC. No tome en cuenta el tamaño de la polea.

F3-5 F3-6. Determine la tensión necesaria en los cables AB, BC y CD para sostener los semáforos de 10 kg y 15 kg en B y C, respectivamente. Además, determine el ángulo .

0.4 m D

A C

A

d ⫽ 0.15m

15⬚

B

C

B D

F3-3

F3-6

u

3.3

95

SISTEMAS DE FUERZAS COPLANARES

PROBLEMAS Todas las soluciones a los problemas deben incluir un DCL. •3-1. Determine la fuerza en cada cuerda para mantener el equilibrio de la caja de 200 kg. La cuerda BC permanece horizontal debido al rodillo en C, y AB tiene una longitud de 1.5 m. Considere y ⫽ 0.75 m. 3-2. Si la cuerda AB de 1.5 m de largo puede soportar una fuerza máxima de 3500 N, determine la fuerza en la cuerda BC y la distancia y de modo que se pueda sostener la caja de 200 kg.

•3-5. Los elementos de una armadura están conectados a la placa de refuerzo. Si las fuerzas son concurrentes en el punto O, determine las magnitudes F y T para lograr el equilibrio. Considere  ⫽ 30°. 3-6. La placa de refuerzo está sometida a las fuerzas de cuatro elementos. Determine la fuerza en el elemento B y su orientación  adecuada para lograr el equilibrio. Las fuerzas son concurrentes en el punto O. Considere F ⫽ 12 kN. 3

2m 8 kN

A

A

O u

y

45⬚ D B

B

C

T

5 kN

C

F

Probs. 3-1/2

Probs. 3-5/6

3-3. Si la masa de la viga es de 3 Mg y su centro de masa se ubica en el punto G, determine la tensión desarrollada en los cables AB, BC y BD para lograr el equilibrio.

3-7. El suspensor de remolque AB está sometido a la fuerza de 50 kN ejercida por un remolcador. Determine la fuerza en cada una de las retenidas BC y BD, si el barco se mueve hacia delante con velocidad constante.

*3-4. Si los cables BD y BC pueden soportar una fuerza de tensión máxima de 20 kN, determine la viga con la masa máxima que puede colgarse del cable AB de forma que ninguno de los cables falle. El centro de masa de la viga se localiza en el punto G.

D

C 30⬚

FAB 20⬚

A

B

B 45⬚

30⬚ D

C

A 50 kN

G

Probs. 3-3/4

Prob. 3-7

96

CAPÍTULO 3

EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA

*3-8. Los...