Espirales PDF

Preview

Summary

ESPIRALES Andres L. Granados M., 25/Oct/2018, rev.04/May/2020 Compendio sobre lı́neas espirales planas. Todas se especifican por sus ecuaciones en coordenadas polares. ARQUIMEDES La espiral de Arquı́medes tiene una ecuación polar lineal r = a+bθ (1) A veces, el término es usado para un grupo más ...

Description

ESPIRALES Andres L. Granados M., 25/Oct/2018, rev.04/May/2020 Compendio sobre l´ıneas espirales planas. Todas se especifican por sus ecuaciones en coordenadas polares. ARQUIMEDES La espiral de Arqu´ımedes tiene una ecuaci´on polar lineal r = a+bθ

(1)

A veces, el t´ermino es usado para un grupo m´as general de espirales. r = a + b θ1/n

rn = a + bθ

(2)

con n = 1 para el caso t´ıpico. Cuando comienza en el origen se escoge a = 0. Con n = 2 y a = 0 se obtiene la espiral de Fermat, descrita adelante, que los antiguos griegos llamaban la curva asombrosa. La espiral de Arqu´ımedes tiene una pl´etora de aplicaciones. Por ejemplo, se emplean bombas de compresi´on o compresores rotativos (scroll pumps), hechos de dos espirales de Arqu´ımedes del mismo tama˜ no intercaladas, para comprimir l´ıquidos y gases. Este es un mecanismo corriente en m´aquinas de aire acondicionado con bajas emisiones de ruido.

Figura 1. Gr´ afico de la espiral de Arqu´ımedes. La figura 1 representa una espiral de Arqu´ımedes, Del lado derecho se escoge el coeficiente b = 1/(2π) para que sea peri´ odica incremental de 1 en el radio en cada vuelta. Una curva plana se puede representar en distintos sistemas de coordenadas y = f (x)

x = (x, y) = r(θ) (cos θ, sen θ) = r(θ) er

g(x, y) = c

(3)

El sistema de coordenadas x = (x, y) es el cartesiano y el sistema de coordenadas (r, θ) es el polar. La forma x(t) es la forma param´etrica y, en el caso polar r(θ), el a´ngulo θ es el par´ametro. El u ´ ltimo es el sistema de ecuaci´on impl´ıcita o curva de nivel, donde c es el nivel. En cualquier caso, el radio de curvatura ρ = 1/κ (inverso de la curvatura κ) se calcula como

ρ=

˙ 3 x { 1 + [f  (x)]2 }3/2 [ r2 + (r )2 ]3/2 ∇g3 1 = = = = ˜ [∇∇g] .∇g ˜ | ¨ κ |f  (x)| | 2(r )2 − r r + r2 | x˙ × x | ∇g. 1

(4)

donde ∇g es el gradiente y [∇∇g] es el tensor hessiano de la funci´on impl´ıcita g, junto con la transformada   0 −1 ˜ = [J]∇ ( la transformaci´ ∇ on [J] = es una rotaci´on de 90◦ con [J](x, y) = (−y, x), por lo cual se 1 0 ˜ | =  a × [T] × b , ya que |a × b| = a ˜ donde a ˜ = [J]b ). La pen´ ˜ .[T].b ˜ .b = −a.b ˜ = [J]a y b tiene que | a ultima 2 ˜ [14] se deduce de la u ´ltima en (4) a partir de ( x˙ = [J].∇g = ∇g [J].x˙ = [J] .∇g = −∇g ) ˙ t }.x˙ + ∇g.¨ x=0 g¨ = ∇g. ˙ x˙ + ∇g.¨ x = { [∇∇g].x˙ + ∇g.[∇x]

g˙ = ∇g.x˙ = 0 de donde se obtiene que ( ∇g ⊥ x˙

(5.a)

˙ t .x˙ = x.[∇ ˙ ˙ ∇g.[∇x] x].∇g =0) ˙ x.[∇∇g]. x˙ + ∇g.¨ x=0

(5.b)

¨ | = ([J].x).¨ ˙ x = −∇g.¨ ˙ |x˙ × x x = x.[∇∇g]. x˙

(5.c)

por lo que Para el caso de la espiral de Arqu´ımedes el radio de curvatura se calcula mediante la ecuaci´ on (4) como ρ=

( r2 + b2 )3/2 r2 + 2b2

(6)

a partir de la ecuaci´on (1). LOGARITMICA La espiral logar´ıtmica tiene una ecuaci´ on polar r = a bθ

θ = logb (r/a)

1 dr = ln b r dθ

(7)

La segunda forma, despejando θ, es la que le da su nombre. En la tercera forma, diferencial, θo = 0 y ro = a son las condiciones iniciales. Cualquier l´ınea recta al origen cortar´ a a la espiral logar´ıtmica con el mismo ´angulo β, que puede calcularse (en radianes) como β = arctan(1/ ln(b)). El grado de la espiral es el a´ngulo α = π/2−β (constante) que la espiral posee con circunferencias centradas en el origen. Puede calcularse como α = arctan(ln(b)). Una espiral logar´ıtmica de grado α = 0◦ (b = 1) es una circunferencia de radio r = a; el caso l´ımite es una espiral logar´ıtmica de grado α = 90◦ (b = 0 o b = ∞) es una l´ınea recta desde el origen. La figura 2 (izquierda) muestra una espiral logar´ıtmica de grado α = 5◦ .

Figura 2. Gr´ afico de la espiral logar´ıtmica. Blas´ on de Jakob Bernoulli. 2

Jakob (Jacobus) Bernoulli (1654-1705) escogi´ o la figura de la espiral logar´ıtmica como emblema y el epitafio en lat´ın Eadem mutata resurgo (”Mutante y permanente, vuelvo a resurgir siendo el mismo”) para su tumba en Basilea; contrariamente a su deseo de que fuese tallada una espiral logar´ıtmica (constante en el crecimiento de su radio, dr/dθ = (lnb) r), la espiral que tallaron los maestros canteros en su tumba fue una espiral de Arqu´ımedes (constante en la diferencia de los radios, dr/dθ = b). La espiral logar´ıtmica se distingue de la espiral de Arqu´ımedes por el hecho de que las distancias entre su brazos se incrementan en progresi´ on geom´etrica, mientras que en una espiral de Arqu´ımedes estas distancias son constantes 2πb. Ver en la figura 2 (derecha) el blas´on de Bernoulli con la espiral mencionada en su parte inferior. El radio de curvatura para la espira logar´ıtmica se calcula mediante la ecuaci´on (4) como ρ=r

 1 + (ln b)2

(8)

a partir de la ecuaci´on (7.a), DURERO La espiral de Durero formada por arcos de un cuarto de circunferencia, la espiral basada en la serie de  ´ Fibonacci, y la espiral Dorada basada en la relaci´ on Dorada (Aurea) ϕ = (1+ (5))/2, son levemente distintas. La Serie de Fibonacci (Leonardo de Pisa, 1170-1240), an+1 = an + an−1 tiende a la relaci´ on an /an−1 → ϕ antes mostrada, en abstracto hacia el infinito, est´ a encarnada en la arquitectura del Nautilo (Nautilus), la concha marina, cuya secci´on reproduce la figura 3 derecha, que es uno de los ejercicios m´ as comunes en el dibujo arquitect´ onico (Espiral de Durero), figura 3 izquierda, aproximaci´ on con arcos de circunferencia de la espiral logar´ıtmica Dorada r = a bθ

b = ϕ2/π = 1.358456...

(9)

de grado α = arctan(ln b) = 17.03239◦ (0.297271 rad), atribuida a Alberto Durero (Albrecht D¨ urer, 14711528). No obstante, esta operaci´ on sencilla produce una belleza incalculable.

Figura 3. Gr´ afico de la espiral de Durero y la concha del Nautilus. La espiral de durero tambi´en se suele obtener con fracciones de 1/3 de circunferencia o cualquier otra fracci´ on, aparte de 1/4. En la espiral de Fibonacci los radios de los arcos de circunferencia siguen una serie de Fibonacci por una constante rn = c an . TEODORO La espiral de Teodoro (Teodoro de Cirene, 465 a.C.-398 a.C.) o pitag´ orica se forma con tri´ angulos rect´angulos, los radios consecutivos de la espiral son uno la hipotenusa y el otro el cateto contiguo, siendo la espiral formada por catetos consecutivos todos de longitud unidad. El crecimiento del radio de la espiral hasta un cierto tri´ angulo n es Δrn = rn+1 − rn =

√ √ n+1− n 3

rn =

√ n

(10)

La espiral de Teodoro se aproxima a una espiral de Arquimedes r = 1.078891298 + θ/2, por lo que los brazos consecutivos de la espiral de Teodoro se distancian en una longitud tendiente a π (en el l´ımite Δr → π). La longitud de la espira tiende a crecer en cada vuelta Δl = 2π Δr → 2π 2 = 19.7392088022... y el a´rea de cada espira tiende a incrementarse respecto a la anterior en ΔS = Δl Δr → 2π 3 = 62.0125533606...

Figura 4. Gr´ afico de la espiral de Teodoro. Derecha extendida a 3 vueltas. La suma de los ´angulos de los primeros k tri´ angulos se designa a´ngulo total ϕ(k) y es igual a 

1 ϕn = arctan √ n

 ϕ(k) =

k 

√ ϕn = 2 k + c2 (k)

n=1

lim c2 (k) = −2.157782996659... (10 )

k→∞

FERMAT La espiral de Fermat o parab´ olica tiene la ecuaci´on polar r = ± a θ1/2

(11)

Es un caso particular de la espiral de Arqu´ımedes, pero con dos brazos intercalados. Mostrada en la figura 5 (izquierda).

Figura 5. Gr´ afico de la espiral de Fermat. Derecha espiral lituus. El radio de curvatura para la espiral de Fermat se calcula mediante la ecuaci´on (4) como ρ=

a ( 1 + 4θ2 )3/2 √ 2 θ ( 3 + 4θ2 )

a partir de la ecuaci´on (11) (rama positiva). 4

(12)

LITUUS La espiral lituus o de litius es una espiral de Arqu´ımedes, donde el ´angulo es inversamente proporcional al cuadrado del radio  r = ± k/θ (13) r2 θ = k Esta espiral, que tiene dos ramas, dependiendo del signo de r, es asinttica al eje x. Su punto de inflexin se √ encuentran en (r, θ) = (± 2k, 1/2). En el lituus el a´rea del sector circular OM1 M2 de dos puntos M1 y M2 unidos por el arco, M1 sobre la curva y el otro M2 sobre el eje x, O en el origen, es constante e igual a k 2 /2. La espiral fue denominada as´ı, debida a la similitud con el lituus romano, bast´ on ritual augural, por el matem´atico ingl´es Roger Cotes (1682-1716) en una serie de art´ıculos titulados Harmonia Mensurarum y fue publicada en 1722, seis a˜ nos despu´es de su muerte. El radio de curvatura para la espiral littus se calcula mediante la ecuaci´ on (4) como  ρ=

k ( 4θ + 1/θ )3/2 4 ( 4θ2 − 1 )

(14)

a partir de la ecuaci´on (13) (rama positiva). CLOTOIDE La clotoide, tambi´en denominada radioide de arcos o espiral de Corn´ u en honor de Marie Alfred Cornu (1841-1902) o espiral de Euler (1707-1783), es una curva tangente al eje de las abscisas en el origen y cuyo radio de curvatura disminuye de manera inversamente proporcional a la distancia recorrida sobre ella. Es por ello que en el punto origen de la curva, el radio de curvatura es infinito. La expresi´on matem´atica usual es ρ s = a2

κ(s) = 1/ρ(s) =

dϕ = ϕ (s) ds

(15)

con ρ(s) el radio de curvatura, κ(s) es la curvatura, s la longitud del desarrollo o arco de la curva y a la constante de la espiral. El a´ngulo ϕ(s) = s2 /α2 es el ´angulo que forma el vector tangente λ con la horizontal, √ siendo α = 2 a. Este resultado se obtuvo de integrar las ecuaciones en (15), combinadas entre s´ı. El vector de posici´on de la clotoide es r(s) = (x(s), y(s)) = α (C(s/α), S(s/α)), donde las integrales de Fresnel C(x) y S(x) se definen como

x

C(x) =

cos(t2 ) dt =

0

S(x) = 0

∞ 

(−1)n

n=0 x

∞ 

x4n+1 (4n + 1) (2n)!

x4n+3 sen(t ) dt = (−1) (4n + 3) (2n + 1)! n=0 2

n

 √ π/8 = 2π/4  √ S(∞) = π/8 = 2π/4

C(∞) =

(16)

El vector tangente es λ(s) = r (s) = (x (s), y  (s)) = (cos ϕ(s), sen ϕ(s)) y su derivada es λ (s) = ϕ (s) (− sen ϕ(s), cos ϕ(s)) = κ(s) n(s) (ecuaci´on de Frenet-Serret, con n(s) el vector normal). Estas integrales de Fresnel (16) est´an representadas (normalizadas) en la figura 6 derecha (en esta gr´ afica el argumento en las funciones trigonom´etricas es πt2 /2, en lugar de t2 , por lo que, para obtener el mismo resultado, se debe  multiplicar la integral por 2/π y dividir el argumento x por el mismo factor), mientras que en la izquierda est´a representada la curva clotoide r(s), con sus dos ramales. 5

Figura 6. Gr´ afico de la espiral clotoide y las integrales de Fresnel. La espiral de Corn´ u, tambi´en conocida como clotoide, es la curva cuyas ecuaciones param´etricas vienen dadas por x(s) = α C(s/α) y y(s) = α S(s/α) (algunos la usan con α = 1 directamente, lo cual escala la figura pero no la deforma y conserva su relaci´on de aspecto). Puesto que λ(s)2 = [C  (s/α)]2 + [S  (s/α)]2 = cos2 (t2 ) + sen2 (t2 ) = 1

(17)

 En esta parametrizaci´on el vector tangente tiene longitud unidad y t = s/α = ϕ(s) es la longitud de arco medida a partir de (0, 0) (e incluyendo signo) escalada con α, de lo que se deduce que la curva tiene longitud √ infinita en el punto r(+∞) = (1, 1) a π/2 alrededor del cual se enrrolla. En el origen r = (0, 0) la curva √ tiene curvatura κ(0) = 0 y crece linealmente hasta κ = ∞ en el punto (1, 1) a π/2, antes mencionado. La espiral de Cornu tiene la propiedad de que su curvatura en cualquier punto es proporcional a la distancia a lo largo de la curva medida desde el origen. Esta propiedad hace que sea u ´ til como curva de transici´on en el trazado de autopistas, ferrocarriles o monta˜ nas rusas, puesto que un veh´ıculo que siga dicha curva a velocidad constante tendr´ a una aceleraci´on angular ϕ (s) constante. COTES En f´ısica y en matem´aticas de curvas planas, el t´ermino espiral de Cotes designa a una familia de espirales que llevan el nombre del matem´atico ingl´es Roger Cotes (1682-1716). La forma de las espirales en la familia depende de sus par´ametros. La ecuaci´on de la curva en coordenadas polares puede tomar una de las cinco formas siguientes ⎧ A cos(a + b θ) ⎪ ⎪ ⎪ A cosh(a + b θ) ⎨ 1 = a +bθ ⎪ r ⎪ ⎪ ⎩ A exp(a + b θ) A senh(a − b θ)

(18)

A, b y a son constantes arbitrarias reales. A determina el tama˜ no, b determina la forma y a determina la posici´on angular de la espiral. Cotes se refiri´o a las diferentes formas como ’Casos’. Las curvas anteriores corresponden a sus ’Casos’ 1, 5, 4, 2 y 3, respectivamente. La primera forma es una epiespiral, mostrada en la figura 8 izquierda; la segunda forma es una espiral de Poinsot, mostrada a la derecha de la figura 7; la tercera forma es una espiral hiperb´ olica, mostrada a la izquierda de la figura 7 con a = 0 y b = 1/k (asint´ otica a la recta y = k (t → 0), bajo la parametrizaci´ on t x = k cost t y y = k sen ), que puede verse como el caso l´ ımite entre una epiespiral y una espiral de Poinsot; t la cuarta forma es la espiral logar´ıtmica ya mostrada antes en la figura 2 izquierda (a = 1/A, 0 = −a y b = e−b ). 6

Figura 7. Gr´ afico de la espiral hiperb´olica y la espiral de Poinsot. El radio de curvatura para las espirales de Cotes se calculan mediante la ecuaci´ on (4) como ρ=

[ g 2 + (g  )2 ]3/2 g 3 (g + g  )

(19)

a partir de la ecuaci´on (18) generalizada de la forma r(θ) = 1/g(θ). Las espirales de la forma r = A cos(a + b θ)

(20)

ya dejan de serlo y se convierten en rosetas de formas variadas por asemejarse a una flor de p´etalos, denominada Rosa Polar, mostrada en la figura 8 derecha. Utilizar sen en lugar de cos produce la misma curva, pero rotada π/2. Se puede tambi´en utilizar otras funciones trigonom´etricas e hiperb´ olicas, tambi´en potencias de estas y obtener resultados asombrosos.

Figura 8. Gr´ afico de la epiespiral y la rosa polar. Cicloide, hipocicloide, epicicloide, astroide, superelipse, trocoide, epitrocoide, cardiode, estrofoide son casi todas curvas c´ıclicas, algunas cerradas y otras no, del tipo Rosa polar, con bordes redondeados o en c´ uspides, pero ya no pueden llamarse espirales, como en la figura 8. Algunas espirales de Cotes dan la soluci´ on al problema de o´rbita central bajo la ley de fuerza radial ¨r = −μ r−3 r = −μ r−2 er

r = r er

donde μ = GM m es una constante positiva. Hay tres reg´ımenes de soluciones ⎧ para μ < h2 ⎨ A sec(kθ + ) r = A sech(k  θ + ) para μ > h2 ⎩ A/(θ + ) para μ = h2 7

r = r

(21)

(22)

donde A y son constantes

 μ k = 1− 2 h

 

k =

μ −1 h2

(23)

y h es el momentum angular espec´ıfico (Whittaker 1944, p. 83). El caso μ < h2 da una espiespiral y el caso olica. Los casos est´an μ > h2 es una espiral de Poinsot, mientras que μ = h2 conlleva a una espiral hiperb´ mostrado en la figura 9.

Figura 9. Problema de o´rbita central.

REFERENCIAS [1] https://es.wikipedia.org/wiki/Espiral de Arqu´ımedes [2] https://es.wikipedia.org/wiki/Espiral logar´ıtmica [3] https://es.wikipedia.org/wiki/Espiral dorada [4] https://es.wikipedia.org/wiki/Espiral de Teodoro [5] https://es.wikipedia.org/wiki/Espiral de Fermat [6] https://es.wikipedia.org/wiki/Lituus (matem´aticas) [7] https://es.wikipedia.org/wiki/Clotoide [8] https://es.wikipedia.org/wiki/Integral de Fresnel [9] https://es.wikipedia.org/wiki/Espiral de Cotes [10] https://es.wikipedia.org/wiki/Espiral hiperb´ olica [11] https://es.wikipedia.org/wiki/Espirales de Poinsot [12] https://es.wikipedia.org/wiki/Epiespiral [13] https://es.wikipedia.org/wiki/Rosa polar [14] http://wpd.ugr.es/ jperez/curvatura-coordenadas-polares-y-ecuaciones-implicitas/ [15] Whittaker, E. T. A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies: With an Introduction to the Problem of Three Bodies. Dover Publications (New York), 1944.

8...