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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA EN INGENIERÍA Y TECNOLOGÍAS AVANZADAS

CONTROL CLÁSICO

BRAHIM EL FILALI

SALAS ESPINO ANDRÉS

3MM4

PRÁCTICA 1: ESTABILIDAD BIBO Y ARREGLO DE ROUTH

14 DE FEBRERO DE 2020

Control Clásico

Práctica 1: Estabilidad BIBO y Arreglo de Routh

INTRODUCCIÓN Estabilidad BIBO La estabilidad BIBO dicta que una entrada limitada implica que exista una salida limitada. De ahí el significado del acrónimo BIBO: bounded-input, bounded-output. Para demostrar la estabilidad del sistema podemos usar la respuesta al impulso: 𝑡

𝑦(𝑡) = ∫ 𝑔(𝑡 − 𝜏)𝑢(𝜏)𝑑𝜏 0

El teorema establece que el sistema es BIBO estable si y solo si la función 𝑔(𝑡) es

absolutamente integrable en el intervalo [0, ∞). Expresado de otra manera: ∞

∫ |𝑔(𝑡)| 𝑑𝑡 ≤ 𝑀 < ∞ 0

Sin embargo, existe otro método para corroborar que el sistema es BIBO estable, el cual consiste en evaluar el sistema a través de su función de transferencia, de la cual podemos definir una entrada acotada. El procedimiento se explica con un ejemplo a continuación: 𝐹. 𝑇. =

5 𝑠+3

1. Proponemos una entrada acotada. Por ejemplo: 0.1 ≤ 𝑡 ≤ 1.1. Entonces, sea 𝑢(𝑡) = 1.

2. Despejamos 𝑢(𝑠) de F.T. para obtener únicamente la salida. Tenemos 𝑌(𝑠) =

5 𝑢(𝑠) 𝑠+3 1

3. Al tener 𝑢(𝑡) = 1, aplicamos transformada de Laplace y obtenemos 𝑢(𝑠) = . 𝑠

Entonces, 𝑌(𝑠) =

5 𝑠(𝑠 + 3)

4. Aplicamos fracciones parciales, quedando como 𝑌(𝑠) =

5 𝐴 𝐵 = + 𝑠(𝑠 + 3) 𝑠 𝑠 + 3

5. Obtenemos los valores de las fracciones parciales. Finalmente, en términos de s, tenemos Salas Espino Andrés, 3MM4

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Práctica 1: Estabilidad BIBO y Arreglo de Routh 𝐴=

5

5 ,𝐵 = −3

3 5 5 5 𝑌(𝑠) = = − 3(𝑠 + 3) 𝑠(𝑠 + 3) 3𝑠 6. Por último, aplicamos transformada inversa de Laplace para obtener la salida en términos del tiempo, obteniendo como resultado final 5 𝑦(𝑡) = (1 − 𝑒 −3𝑡 ), 𝑡 ∈ ℝ+ 3 7. Después, derivamos la función obtenida para conocer si la función crece o decrece. Así, 𝑦 ′ (𝑡) = 5𝑒 −3𝑡 Podemos ver que la derivada siempre será positiva. Por lo tanto, la función crecerá siempre. 8. Por último, evaluamos la salida en términos del tiempo en un límite cuando t tiende al infinito para conocer el valor al que se aproxima. Al evaluar el límite, encontramos que 5

la salida tiende a 3. 5 5 5 5 lim (1 − 𝑒 −3𝑡 ) = (1 − 𝑒 −3(∞) ) = (1 − 0) = 𝑡→∞ 3 3 3 3 5

9. Esto indica que 0 ≤ 𝑦(𝑡) ≤ 3, lo que indica que la salida es acotada. Por lo tanto, el sistema, según BIBO, es estable.

Arreglo de Routh Esta metodología sirve para conocer el comportamiento de los polos sin conocer a los mismos, cosa que no es posible con el método anteriormente descrito. Consiste en identificar el polinomio que tenemos como denominador e igualarlo a 0, obteniendo así una ecuación característica. Acto seguido, debemos ordenar el polinomio como se mostrará a continuación, y efectuar las operaciones plasmadas en el mismo gráfico.

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El resultado de cada una de estas operaciones dará un número real, del cual será su signo la parte relevante. Si este “arreglo” genera un cambio de signo entre los números obtenidos a partir de estas operaciones, tendremos un sistema inestable ya que estos cambios generan un polo en el semiplano derecho, cuestión que indica que un sistema es inestable.

DESARROLLO DE LA PRÁCTICA Primeramente, introdujimos el diagrama de bloques a Simulink, estableciendo t como el tiempo a seguir. Para continuar, ubicamos las funciones de transferencia relacionadas con una salida al Workspace de MATLAB. Es importante recordar que debemos establecer la entrada de tiempo como arreglo, ya que de no ser así el programa no funcionará. Introducir las tres funciones y simularlas al mismo tiempo no será un problema pues las gráficas serán generadas hasta que lo solicitemos dentro del Workspace.

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Al generar la primera gráfica, vemos que cuando t tiende al infinito, la función se acerca a 0.8. Podemos ver que el sistema después de poco más de un segundo se estabiliza.

Después encontramos un sistema oscilatorio, característica que podemos notar debido a que el sistema no se estabiliza instantáneamente. Es apreciable que la función, cuando t tiende al infinito, se acerca a 0.05.

A diferencia de los dos sistemas anteriores, notamos que cuanto más crece t, crece la función, lo cual indica que el sistema no es estable. Salas Espino Andrés, 3MM4

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Después introdujimos dos funciones de transferencia, las cuales son distintas comparadas con las anteriores ya que, para las primeras, los numeradores eran polinomios de orden 1. Para los siguientes, pusimos polinomios de orden 0.

Para este primer caso apreciamos un sistema estable que se estabiliza en 0.7, cuando t tiende al infinito. Este sistema de control se estabiliza sin oscilar como los primeros casos, en lo que puede intervenir lo que mencionamos anteriormente: el orden de los numeradores.

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Caso contrario es el presente, pues presenta un sistema inestable, lo que podemos predecir debido a cómo se comporta el sistema. Es similar al sistema inestable del primer ejercicio, a diferencia de que este sube mucho más rápido.

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Finalmente, introdujimos un sistema de control de retroalimentación, al cual le proporcionamos una ganancia K. Aparte de depender de la variable t, ahora dependerá del valor que a K le sea asignado. Podemos apreciarlo mejor en las gráficas generadas y expuestas más adelante.

Podemos notar que, como podríamos esperar, cuando K=0 el sistema se mantiene inactivo, pues su valor siempre es cero.

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Para finalizar, podemos notar que los valores de K intervienen de manera importante en el sistema pues son capaces de determinar el comportamiento que este tendrá. Por ejemplo, cuando K toma el valor de 7/5 podemos notar que es cuando el sistema oscila con mayor intensidad. Cuando toma valores muy lejanos a este y más pequeños (7/5), el sistema es estable. Sin embargo, cuando toma valores más grandes y lejanos de 7/5, el sistema se hace inestable.

CONCLUSIÓN Los sistemas de control requieren de un diseño muy cuidadoso pues de ellos pueden depender tareas importantes. Esta introducción a su análisis matemático ha sido de gran ayuda para dimensionar su capacidad y cuán complicados pueden tornarse debido a la estabilidad que presenten. A través del desarrollo de esta práctica fue posible conocer cómo se ven distintos sistemas, variando su estabilidad para identificar desde su función de transferencia si habrá o no la ya mencionada. El uso de software para esta entrega no resulta necesario pues contamos con los conocimientos suficientes para saber qué es lo que ocurrirá con el sistema introducido. Sin embargo, habrá ocasiones en las que no será tan fácil identificar sus características y habrá que recurrir a graficar el sistema con ayuda de este software para saber si es ideal implementar un sistema de la naturaleza que apreciemos.

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FUENTES CONSULTADAS Castaño Giraldo, S. A. (n.d.). Estabilidad Entrada-Salida. Retrieved Febrero 13, 2020, from página

web

de

Control

Automático

Educación:

https://controlautomaticoeducacion.com/sistemas-dinamicos-lineales/5-1estabilidad-entrada-salida/ Apuntes de la clase de Control Clásico.

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