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1 Seminar für ABWL und Management im Gesundheitswesen | WiSo-Fakultät| Dr. Desdemona Möller | [email protected] |

Entscheidungstheorie Vorlesung VI: Entscheidung bei Sicherheit und einem Ziel Literatur: Eisenführ/Weber/Langer, Kapitel 5, Seiten 109-126 Dozent:

Desdemona Möller

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Gliederung der Veranstaltung I. II. III. IV. V. VI. VII. VIII. IX. X. XI. XII.

Worum es geht Die Strukturierung des Entscheidungsproblems Die Generierung von Zielsystemen Die Generierung und Vorauswahl von Alternativen Operations Research Entscheidung bei Sicherheit und einem Ziel Entscheidung bei Sicherheit und mehreren Zielen Die Generierung von Wahrscheinlichkeiten Die Simulation der Verteilung einer Zielvariablen Entscheidung bei Risiko und einem Ziel Entscheidung bei Risiko und mehreren Zielen Entscheidung bei Risiko: Unvollständige Information und mehrere Ziele 3

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VI. Entscheidung bei Sicherheit und einem Ziel 1. Wertfunktion und Präferenz  Präferenzen von Entscheidern werden durch Wertfunktionen abgebildet  zunächst wird der einfachste Fall betrachtet: • jede Alternative hat genau eine Konsequenz, d.h. es liegen sichere Erwartungen vor • nur ein Ziel ist entscheidungsrelevant

 es soll gelten: • endliche Alternativenmenge A = {a, b, c, …} • Konsequenz von a auf das Ziel bzw. Attribut X sei xa (= Attributsausprägung) • Attributsausprägung kann nominal-, ordinal- oder kardinalskaliert sein

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VI. Entscheidung bei Sicherheit und einem Ziel 1. Wertfunktion und Präferenz  Beispiel (Stellenangebote):

Alternative

Konsequenz

a

Beratungsfirma

80.000 €

b

Krankenhaus

50.000 €

c

Universität

30.000 €

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VI. Entscheidung bei Sicherheit und einem Ziel 1. Präferenz  ein Entscheider besitzt eine Präferenz zwischen zwei Alternativen a, b  A, wenn für ihn gilt • a ≻ b (a wird präferiert) oder • a ≺ b (b wird präferiert) oder • a ~ b (Indifferenz)

 um eine rationale Entscheidung treffen zu können, muss die Präferenzordnung • vollständig sein (d.h. der Entscheider besitzt für jedes Alternativenpaar eine Präferenz) und • transitiv sein (d.h. wenn a ≻ b und b ≻ c dann a ≻ c)

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VI. Entscheidung bei Sicherheit und einem Ziel 1.1 Wertfunktion  stellt mathematische Abbildung der Präferenz dar  Definition: • Eine Wertfunktion v ist eine Funktion, die den Alternativen a, b eine reelle Zahl derart zuordnet, dass der Wert von a genau dann größer als der Wert von b ist, falls der Entscheider a gegenüber b präferiert. • formal: v(a) > v(b)  a ≻ b mit a, b  A

 Satz (Existenz):

 daraus folgt: nicht jede Präferenz lässt sich durch eine Wertfunktion abbilden

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VI. Entscheidung bei Sicherheit und einem Ziel 1.1 Wertfunktion  stellt mathematische Abbildung der Präferenz dar  der eben definierte Typ von Wertfunktionen • repräsentiert die Ordnung der Alternativen • sagt aber nichts über die Stärke der Präferenz zwischen Alternativen aus

1.1 man spricht daher auch von ordinaler (nicht-messbarer) Wertfunktion 1.2 Abbildung der Stärke der Präferenz erfordert eine sog. messbare Wertfunktion • damit diese existiert muss eine Präferenz bzgl. der Übergänge zwischen Alternativen angegeben werden können • zusätzlich muss Transitivität und Vollständigkeit vorliegen

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VI. Entscheidung bei Sicherheit und einem Ziel 1.1 messbare Wertfunktion  Definition • Eine messbare Wertfunktion v muss zusätzlich zu den Erfordernissen einer nicht-messbaren Wertfunktion die Eigenschaft haben, dass der Übergang von a nach b genau dann besser als der Übergang von c nach d ist, wenn die Differenz der Werte von b und a größer als die Differenz der Werte von d und c ist. • formal: • mit a, b, c, d  A

 wichtig: die Bezeichnung „messbar“ ist missverständlich, d.h. auch nichtmessbare Wertfunktionen messen Präferenzen

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VI. Entscheidung bei Sicherheit und einem Ziel 1.1-1.2 messbare und nicht-messbare Wertfunktionen  Bsp. Arbeitsplatzausstattung • v(2 Räume + Vorzimmer) = 10 • v(1 Raum + Vorzimmer) = 8 • v(1 Raum) = 3

 im Fall einer nicht-messbaren Wertfunktion bedeutet das: • „2 Räume + Vorzimmer“ besser als „1 Raum + Vorzimmer“ besser als „1 Raum“

 im Fall einer messbaren Wertfunktion bedeutet das: • „2 Räume + Vorzimmer“ besser als „1 Raum + Vorzimmer“ besser als „1 Raum“ • Übergang von „1 Raum“ zu „1 Raum + Vorzimmer“ besser als Übergang von „1 Raum + Vorzimmer“ zu „2 Räume + Vorzimmer“

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VI. Entscheidung bei Sicherheit und einem Ziel 1.3 Eindeutigkeit von Wertfunktionen  die Wertfunktion ist nicht eindeutig  Sei v eine Wertfunktion und m eine streng monoton wachsende Funktion, dann ist v*(x) = m (v(x)) wieder eine Wertfunktion.  Beispiel: v* = m(v) = 2v bzw. v** = m*(v*) 2 Räume + VZ

≻

1 Raum + VZ

≻

1 Raum

V

10

8

3

V*

20

16

6

V**

20

16

14

 Auch messbare Wertfunktionen sind nicht eindeutig. Es sind aber nicht mehr beliebige Transformationen zulässig. Erlaubt ist beispielsweise m(v) = a·v+b mit a>0.

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VI. Entscheidung bei Sicherheit und einem Ziel 1.3 Eindeutigkeit von Wertfunktionen  die Wertfunktion ist nicht eindeutig  Beispiel: v* = m*(v*) m*

14

v* 6

16

20 12

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VI. Entscheidung bei Sicherheit und einem Ziel 2. Ermittlung von Wertfunktionen  korrekte Ermittlung von Wertfunktionen ist eines der zentralen Anliegen der ET  Grund: aus der Wertfunktion kann die Präferenz des Entscheiders bzgl. Alternativen direkt abgeleitet werden  Ermittlung erfolgt durch Befragung des Entscheiders  Konsistenzprüfung erforderlich  Wertfunktion wird i.d.R. in einem Diagramm dargestellt • Abszissenachse: Ausprägungen der Alternativen • Ordinatenachse: Werte der Wertfunktion

 Wertfunktion wird i.d.R. auf das Intervall [0, 1] normiert  beste Alternative wird als x+ und schlechteste Alternative als x- bezeichnet

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VI. Entscheidung bei Sicherheit und einem Ziel 2. Bsp.: Wertfunktion für Jahresgehalt v 1

0,5

Tausend €

0 30x

40

50

60

70

80+ x

 man erkennt: Übergang von 30.000€ auf 41.000€ ist genau so viel wert wie Übergang von 41.000€ auf 80.000€ 14 Seminar für ABWL und Management im Gesundheitswesen | WiSo-Fakultät| Dr. Desdemona Möller | [email protected] |

VI. Entscheidung bei Sicherheit und einem Ziel 2. Vorgehensweise bei der Ermittlung der Wertfunktion  bei stetigen Attributen werden stets nur einige Punkte der Wertfunktion direkt bestimmt  die restlichen Attributsausprägungen können ermittelt werden durch • stückweise lineare Interpolation zwischen den ermittelten Punkten • statistische Verfahren, die eine Kurve ungefähr an die direkt ermittelten Punkte anpassen (häufig: logarithmische, quadratische oder Exponentialfunktion)

 beide Vorgehensweisen sind leicht EDV-technisch umsetzbar

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VI. Entscheidung bei Sicherheit und einem Ziel 2. Beispiele zur Ermittlung der fehlenden Werte einer stetigen Wertfunktion 1

v

1

v

0,5

0,5

Tausend €

0 30 x-

40

50

60

70

80 x+

Tausend €

0 30 x-

40

50

60

70

16 Seminar für ABWL und Management im Gesundheitswesen | WiSo-Fakultät| Dr. Desdemona Möller | [email protected] |

80 x+

VI. Entscheidung bei Sicherheit und einem Ziel 2. Beispiele zur Ermittlung der fehlenden Werte einer stetigen Wertfunktion mit Hilfe einer Exponentialfunktion

 monoton wachsend

 1  exp    x  Untergrenze /  ,   1  exp   Obergrenze  Untergrenze /  v(x)   x  Untergrenze  , sonst  Obergrenze  Untergrenze 

 monoton fallend

 1  exp  Obergrenze  x /  ,   1  exp  Obergrenze  Untergrenze /  v(x)   Obergrenze  x  , sonst  Obergrenze  Untergrenze 

Formel aus Übung beachten 17 Seminar für ABWL und Management im Gesundheitswesen | WiSo-Fakultät| Dr. Desdemona Möller | [email protected] |

VI. Entscheidung bei Sicherheit und einem Ziel 2. Beispiele zur Ermittlung der fehlenden Werte einer stetigen Wertfunktion mit Hilfe einer Exponentialfunktion monoton wachsend

monoton fallend

001

1,20

001

1,00

0,80

001

Rho = -1

Rho = -1

Rho = -5

Rho = -5

001

Rho = "Groß"

0,60

Rho = "Groß" Rho = 5

Rho = 5

Rho = 1

Rho = 1

000

0,40

000

0,20

000 000

002

004

006

008

010

0,00 0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

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VI. Entscheidung bei Sicherheit und einem Ziel 3. Methoden zur Ermittlung der Wertfunktion  es gibt zahlreiche Methoden zur Ermittlung von Wertfunktionen  im Folgenden werden drei Methoden behandelt:

 dabei wird davon ausgegangen, dass • die Attributsausprägung kontinuierlich skaliert ist • die Wertfunktion monoton steigend ist (für monoton fallende Wertfunktionen analog anwendbar)

19 Seminar für ABWL und Management im Gesundheitswesen | WiSo-Fakultät| Dr. Desdemona Möller | [email protected] |

VI. Entscheidung bei Sicherheit und einem Ziel 3.1 Direct-Rating-Methode  einfachste und schwächste Methode zur Bestimmung von Wertfunktionen  Vorgehensweise: • beste und schlechteste Zielausprägung festlegen • wertmäßige Rangfolge der Alternativen festlegen • direkte Bewertung  beste Alternative erhält 100 Punkte und schlechteste 0 Punkte  Bewertung der dazwischen liegenden Alternativen soll Rangfolge und Präferenzdifferenzen abbilden

• Normierung auf [0, 1] und Skizze • Konsistenzprüfung

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VI. Entscheidung bei Sicherheit und einem Ziel 3.1 Bsp. zur Direct-Rating-Methode  hier: Berufswahl  einziges relevantes Ziel: Jahresgehalt  5 Alternativen • • • • •

(a) Uni-Assistent: 40.000€ (b) Banktrainee: 45.000€ (c) Unternehmensberater: 80.000€ (d) Segellehrer: 30.000€ (e) Vorstandsassistent: 60.000€

 beste und schlechteste Alternative: x+ = c, x- = d  Rangfolge: c ≻ e ≻ b ≻ a ≻ d  Bewertung: c=100, e=90, b=80, a=70, d=0

21 Seminar für ABWL und Management im Gesundheitswesen | WiSo-Fakultät| Dr. Desdemona Möller | [email protected] |

VI. Entscheidung bei Sicherheit und einem Ziel 3.1 Bsp. zur Direct-Rating-Methode  Normierung: c=1, e=0,9, b=0,8, a=0,7, d=0  Skizze: v

1

0,5

0 30 x-

40

50

60

70

Tausend € 80 x+

 Konsistenzprüfung: Stimmt Rangfolge mit Bewertung überein?

22 Seminar für ABWL und Management im Gesundheitswesen | WiSo-Fakultät| Dr. Desdemona Möller | [email protected] |

VI. Entscheidung bei Sicherheit und einem Ziel 3.2 Methode gleicher Wertdifferenzen  anspruchsvoller als Direct-Rating-Methode  Vorgehensweise: • • • • • • •

Bestimmung der schlechtesten Ausprägung x- mit x- = 0 Punkte Erhöhung von x– um 1/5 des Gesamtintervalls auf a1 mit v(a1)= 1 Punkt (x-  a1) wird als Normintervall bezeichnet Bestimmung von a2, so dass gilt: (x-  a1) ~ (a1  a2) Wiederholung dieses Vorgangs bis x+ erreicht wird Normierung auf [0, 1] und Skizze Konsistenzprüfung

23 Seminar für ABWL und Management im Gesundheitswesen | WiSo-Fakultät| Dr. Desdemona Möller | [email protected] |

VI. Entscheidung bei Sicherheit und einem Ziel 3.2 Bsp. zur Methode gleicher Wertdifferenzen  gleiches Bsp. wie bei Direct-Rating-Methode (Berufswahl)  schlechteste Ausprägung x- = 30.000  Erhöhung um 1/5 des Gesamtintervalls, d.h. 10.000, so dass v(a1) = v(40.000) = 1 Punkt und (30.000  40.000) = Normintervall  Befragung des Entscheiders nach weiteren Intervallen, die den gleichen Wert wie das Normintervall haben, z.B. • v(a2)= v(53.000) = 2 Punkte • v(a3)= v(69.000) = 3 Punkte; v(a4)= v(95.000) = 4 Punkte

 wichtig: a1, …, a4 sind nur hypothetische Alternativen!  Normierung: x-=0, v*(a1)=0,25, v*(a2)=0,5, v*(a3)=0,75, v*(a4)=1 • Berechnung: kumulierte Punktezahl/höchste kumulierte Punktzahl

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VI. Entscheidung bei Sicherheit und einem Ziel 3.2 Bsp. zur Methode gleicher Wertdifferenzen  Skizze:

v 1

0,5

0 30x

40 a1

50

a2

60

70 a3

Tausend € 80+ 90 100 x a4

 Konsistenzprüfung: entspricht subjektive wertmäßige Mitte von [x–, x+] = x0,5?  „echte“ Alternativen können aus Skizze abgelesen werden 26 Seminar für ABWL und Management im Gesundheitswesen | WiSo-Fakultät| Dr. Desdemona Möller | [email protected] |

VI. Entscheidung bei Sicherheit und einem Ziel 3.3 Halbierungsmethode  ebenfalls anspruchsvoller als Direct-Rating-Methode  Vorgehensweise: • • • • • • •

Festlegung von x- und x+ Bestimmung des wertmäßigen Mittelpunkts von [x–, x+] = x0,5 mit v(x0,5)=0,5 Bestimmung des wertmäßigen Mittelpunkts von [x–, x0,5] = x0,25 mit v(x0,25)=0,25 Bestimmung des wertmäßigen Mittelpunkts von [x0,5, x+] = x0,75 mit v(x0,75)=0,75 ggf. weitere Wiederholungen Skizze Konsistenzprüfung

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VI. Entscheidung bei Sicherheit und einem Ziel 3.3 Bsp. zur Halbierungsmethode      

gleiches Bsp. wie bei Direct-Rating-Methode (Berufswahl) x- = 30.000 x+ = 80.000 wertmäßiger Mittelpunkt von [30.000, 80.000] = 50.000 = x0,5 wertmäßiger Mittelpunkt von [30.000, 50.000] = 38.000 = x0,25 wertmäßiger Mittelpunkt von [50.000, 80.000] = 63.000 = x0,75

28 Seminar für ABWL und Management im Gesundheitswesen | WiSo-Fakultät| Dr. Desdemona Möller | [email protected] |

VI. Entscheidung bei Sicherheit und einem Ziel 3.3 Bsp. zur Halbierungsmethode  Skizze:

v 1

0,5

Tausend €

0 30 x-

40

50

60

70

80 x+

 Konsistenzprüfung: entspricht subjektive wertmäßige Mitte von [x0,25, x0,75] = x0,5?  „echte“ Alternativen können aus Skizze abgelesen werden 29 Seminar für ABWL und Management im Gesundheitswesen | WiSo-Fakultät| Dr. Desdemona Möller | [email protected] |

VI. Entscheidung bei Sicherheit und einem Ziel 3.4 Inkonsistenzen  treten sehr häufig auf, weil • Entscheider ein beschränktes Urteilsvermögen haben • o.g. Methoden falsch angewendet werden

 werden häufig aufgedeckt, wenn eine Wertfunktion mit verschiedenen Methoden ermittelt wird  Entscheider sollte mit seinen Inkonsistenzen konfrontiert werden und diese ggf. korrigieren  gegebenenfalls weiteres Vorgehen: • Durchschnittsbildung • Fehlerminimierung

30 Seminar für ABWL und Management im Gesundheitswesen | WiSo-Fakultät| Dr. Desdemona Möller | [email protected] |

VI. Entscheidung bei Sicherheit und einem Ziel 3.5 Nicht-monotone Wertfunktionen  erfordern Anpassung der o.g. Methoden • Intervall wird in mehrere monotone Teilintervalle aufgeteilt • Methoden werden dann für die Teilintervalle separat durchgeführt • Bsp. Kölschkonsum  zunächst monoton steigend  Maximum bei ca. 10 Kölsch  danach monoton fallend

 allerdings: nicht-monotone Wertfunktionen sind oft das Ergebnis einer ungenügenden Zielstrukturierung • korrektes Ziel im o.g. Bsp. vermutlich „Wohlbefinden“ • bzw. Zerlegung in zwei Ziele: „Durstlöschung“ und „Aufnahmefähigkeit“

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VI. Entscheidung bei Sicherheit und einem Ziel 3.6 Unvollständige Informationen  wegen fehlender oder ungenauer Information kann keine Wertfunktion ermittelt werden  es gibt aber möglicherweise auf Basis der vorhandenen Information eine Klasse von möglichen Wertfunktionen (=V(I))  es kann dann aber noch auf Dominanz untersucht werden  formaler Zusammenhang: Sei a,b є A

32 Seminar für ABWL und Management im Gesundheitswesen | WiSo-Fakultät| Dr. Desdemona Möller | [email protected] |

VI. Entscheidung bei Sicherheit und einem Ziel 3.6 Unvollständige Informationen  Beispiel (Anzahl der Kölsch)  Ermittlung der Wertfunktion mittels direct rating  anstelle der Punktwerte werden nur Intervalle angegeben Wert

Wert

Unklar, ob 6 besser als 4

4

6

Kölsch

6 besser als 4!

4

6

Kölsch

33 Seminar für ABWL und Management im Gesundheitswesen | WiSo-Fakultät| Dr. Desdemona Möller | [email protected] |

VI. Entscheidung bei Sicherheit und einem Ziel Sektaufgabe  Ihr Freund hat eine monoton wachsende exponentielle Nutzenfunktion für Urlaubslänge (Einheit = 1 Tag).  Der Definitionsbereich ist 0 bis 30.  Wir kennen allerdings die Wertfunktion nicht exakt, sondern wissen lediglich dass ρ ...