Exam 10 december 2013 answers PDF

Preview

Summary

Bestem den kraft,Q, der skal bruges, for at der sker kontakt i punktC. ξ= 1, α= 13 ⇒ξ > αvC=QL 36 EIα 2 [3ξ−α] =QL 36 EI(13) 2[3· 1 −13] =481QL 3EI=δ ⇒Q=814EIL 3δ Beregn udbøjninigen i punktB, n ̊ar kraftenQhar den i spørgsm ̊al 1) fundne værdi. (Hvis spørgsm ̊al 1) ikke er besvaret kan d...

Description

41533 - Opgave 1 - 10. dec. 2013 - Løsning

1) Bestem den kraft, Q, der skal bruges, for at der sker kontakt i punkt C .

ξ = 1,

vC =

QL3 2 QL3 α [3ξ − α] = 6EI 6EI

α=

1 3

⇒ξ>α

 2 1 4 QL3 1 [3 · 1 − ] = =δ 81 EI 3 3

⇒Q=

81 EI δ 4 L3

2) Beregn udbøjninigen i punkt B, n˚ ar kraften Q har den i spørgsm˚ al 1) fundne værdi. (Hvis spørgsm˚ al 1) ikke er besvaret kan den approximative værdi Q ≃ 20EIδ/L3 benyttes.)

ξ = 31,

α=

1 3

QL3 3 81 EI L3 α = δ vB = 4 L3 3EI 3EI

⇒ξ=α

 3 1 3

⇒ vB =

δ 4

3) Beregn den numerisk største spænding i punkt A, se Figur 2, hvis kraften Q har den i spørgsm˚ al 1) fundne værdi. (Hvis spørgsm˚ al 1) ikke er besvaret kan den approximative værdi Q ≃ 20EIδ/L3 benyttes.)

|MA | = Q

81 EI L 27 EI L = δ = δ, 3 4 L 3 4 L2 3

Dvs. |σA | =

|MA | 27 EIδ = W 4 W L2

Side 1 af 4

NA = 0

41533 - Opgave 2 - 10. dec. 2013 - Løsning 1) Er bjælken statisk bestemt? Nej, ´en gang statisk ubestemt 2) Bestem samtlige reaktioner. Den lodrette reaktion i B, RB , indføres som overtallig. Den regnes positiv nedad. Geometrisk krav: vB = 0 (ξ = 21, α = β = 21 ⇒ ξ = α = β).  2 !  2  2  2 ! 1 1 R B L3 1 1 1 1 M0 L2 1 1 RB M0 − +1− vB = vB +vB = − 1− + 2−3 + = 6EI 2 2 6EI 2 2 2 2 2 2 RB L3 M0 L2 6M0 (positiv nedad) =0 ⇒ RB = + L 8EI 48EI De lodrette reaktioner i A og C, RAL og RC , er positive opad. Momentligevægt om A: x 3M0 L ⇒ RC = RC L − RB − M0 + M0 = 0 (positiv opad) A: 2 L −

Lodret kraftligevægt: ↑:

RAL − RB + RC = 0

⇒ RAL =

3M0 L

(positiv opad)

Vandret kraftligevægt: →:

RAV = 0

3) Bestem snitstørrelserne N (x), M (x) og T (x) mellem punkterne A og B . Der snittes mellem A og B og snitstørrelser indføres efter fortegnskonvention: M0

M(x)

RAL

N (x)

T (x) x

0

x

0 ≤ x ≤ L2 : x

x:

M (x) + M0 − RALx = 0

⇒ M (x) =

3M0 x − M0 L

Kraftligevægte: ↑:

RAL + T (x) = 0

⇒ T (x) = −

3M0 L

Side 2 af 4

→:

N (x) = 0

4) Bestem bjælkens udbøjningsfunktion, v(x), mellem punkterne A og B . Benyt: EIv” = M(x). Randbetingelserne er: v(0) = v(L/2) = 0 EIv”(x) =

3M0 x − M0 L

3M0 x2 − M0 x + C1 L 2 x2 3M0 x3 EIv(x) = − M0 + C1 x + C2 L 6 2 Af randbetingelserne findes: EIv ′ (x) =

C2 = 0

and

L2 L2 L L 3M0 L3 + C1 = −M0 + C1 = 0 − M0 L 8·6 2 4·2 16 2

⇒ C1 =

M0 L 8

Dvs. EIv(x) =

x2 M0 L 3M0 x3 −M0 + x L 6 2 8

⇒

v(x) =

Side 3 af 4

 M0 x  2 M0 x (L − 2x)2 4x − 4Lx + L2 = 8EI L 8EI L

41533 - Opgave 3 - 10. dec. 2013 - Løsning 1) Benyt blandingsreglen (det vægtede gennemsnit) til at bestemme de effektive stivheder, E1 og E2 , for henholdsvis omr˚ ade #1 og #2. Angiv resultatet ved Em . 3 1 3 1 E1 = Ef + Em = 13Em + Em = 4Em 4 4 4 4 1 1 1 1 E2 = Ef + Em = 13Em + Em = 7Em 2 2 2 2 2) Bestem beliggenheden af tværsnittets bøjningsneutralaksen. Idet der er symmetri om z-aksen i b˚ ade geometri og stivhed er neutralaksen beliggende i tværsnittets tyngdepunkt, dvs. for y = 0. 3) Bestem bøjningsstivheden omkring neutralaksen, H3∗. Angiv resultatet ved Em og a. H3∗

=H3 = Z

Z

− a2

Z

2

y EdA =

− a2

− a2

2

y E2 b(y )dy +

y 2 7Em (4a + 2y)dy +

− 32 a

y 4Em 3ady + 2

Z

3 a 2 a 2

Z

a 2

2

y E1 b(y )dy +

− 2a

− 32 a

A

a 2

2

Z

Z

a 2

y 2 4Em 3ady + − 2a

Z

y 2 7Em (4a − 2y )dy = Em a4 + 2

Side 4 af 4

3 a 2 a 2

Z

3 a 2

y 2 E2 b(y)dy =

a 2

y 2 7Em (4a − 2y )dy =

80 77 Em a4 = Em a4 ≃ 26.67Em a4 6 3...