Examen 16 Mayo 2016, preguntas y respuestas PDF

Preview

Summary

Problema PbCA0109 El diagrama de la figura muestra un esquema de bloques de un modelo de proceso de diálisis por ultrafiltración. El sistema “paciente” se puede modelar mediante tres subsistemas o bloques (“tronco”, “brazos” y “piernas”). En cada uno de esos bloques existe un volumen de líquido (pla...

Description

Problema PbCA0109 El diagrama de la figura muestra un esquema de bloques de un modelo de proceso de diálisis por ultrafiltración. El sistema “paciente” se puede modelar mediante tres subsistemas o bloques (“tronco”, “brazos” y “piernas”). En cada uno de esos bloques existe un volumen de líquido (plasma) definido, respectivamente, por 𝑉𝑇 (𝑡), 𝑉𝐴 (𝑡) y 𝑉𝐿 (𝑡). Entre cada uno de los bloques existe una transferencia de líquido (plasma) según unas constantes de transferencia 𝑘𝑇𝐴 , 𝑘𝑇𝐿 , 𝑘𝐴 y 𝑘𝐿 . Por último, el proceso de ultrafiltración elimina del bloque “tronco” una cantidad de líquido definida por 𝑈𝐹𝑅(𝑡). Las ecuaciones dinámicas que relacionan la transferencia de líquido entre bloques son las siguientes: 𝑑𝑉𝑇 (𝑡) 𝑑𝑡

= −(𝑘𝑇𝐴 + 𝑘𝑇𝐿 )𝑉𝑇 (𝑡) + 𝑘𝐴 𝑉𝐴 (𝑡) + 𝑘𝐿 𝑉𝐿 (𝑡) − 𝑈𝐹𝑅(𝑡) 𝑑𝑉𝐴 (𝑡) = −𝑘𝐴 𝑉𝐴 (𝑡) + 𝑘𝑇𝐴 𝑉𝑇 (𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑉𝐿 (𝑡) = −𝑘𝐿 𝑉𝐿 (𝑡) + 𝑘𝑇𝐿 𝑉𝑇 (𝑡) 𝑑𝑡

a) Hallar el diagrama de bloques en 𝑠 que constituyen el sistema “paciente” considerando la entrada 𝑈𝐹𝑅(𝑡) y la salida 𝑉𝑇 (𝑡). b) Obtener la función de transferencia de dicho sistema. c) Reducir el diagrama de bloques del apartado a) hasta que tenga la forma de un sistema realimentado simple. d) Determinar la función de transferencia, sus ceros y polos, y trazar un mapa de ceros y polos, cuando las constantes de transferencia tienen los siguientes valores: 𝑘𝐴 = 0.15; 𝑘𝐿 = 0.25; 𝑘𝑇𝐴 = 0.33; 𝑘𝑇𝐿 = 0.28 e) El Sistema es controlado mediante un bucle de realimentación, en el que la cantidad 𝑈𝐹𝑅 de líquido que se extrae es proporcional a la diferencia entre el volumen de líquido en el tronco 𝑉𝑇 y su valor de deseado 𝑅 (volumen de referencia en el tronco) de acuerdo con la expresión 𝑈𝐹𝑅 = 𝐾 (𝑉𝑇 − 𝑅). Obtenga la función de transferencia de bucle cerrado cuando 𝐾 = 2. f) Dibuje la respuesta del sistema en bucle cerrado ante una entrada impulso y una entrada escalón.

Solución PbCA0109 Apartado a) El sistema “paciente”, sin desglosar en bloques, puede describirse de acuerdo con la siguiente figura

Para obtener el desglose de sus bloques constituyentes en el dominio 𝑠 se calcula la transformada de Laplace de las ecuaciones dinámicas del sistema, 𝑑𝑉𝑇 (𝑡) ] = ℒ[−(𝑘𝑇𝐴 + 𝑘𝑇𝐿 )𝑉𝑇 (𝑡) + 𝑘𝐴 𝑉𝐴 (𝑡) + 𝑘𝐿 𝑉𝐿 (𝑡) − 𝑈𝐹𝑅(𝑡)]. ℒ[ 𝑑𝑡 𝑑𝑉𝐴 (𝑡) ℒ[ ] = ℒ[−𝑘𝐴 𝑉𝐴 (𝑡) + 𝑘𝑇𝐴 𝑉𝑇 (𝑡)]. 𝑑𝑡 𝑑𝑉𝐿 (𝑡) ] = ℒ[−𝑘𝐿 𝑉𝐿 (𝑡) + 𝑘 𝑇𝐿 𝑉𝑇 (𝑡)]. ℒ[ 𝑑𝑡 obteniendo 𝑠 𝑉𝑇 (𝑠) = −(𝑘𝑇𝐴 + 𝑘𝑇𝐿 )𝑉𝑇 (𝑠) + 𝑘𝐴 𝑉𝐴 (𝑠) + 𝑘𝐿 𝑉𝐿 (𝑠) − 𝑈𝐹𝑅(𝑠). 𝑠 𝑉𝐴 (𝑠) = −𝑘𝐴 𝑉𝐴 (𝑠) + 𝑘𝑇𝐴 𝑉𝑇 (𝑠). 𝑠 𝑉𝐿 (𝑠) = −𝑘𝐿 𝑉𝐿 (𝑠) + 𝑘𝑇𝐿 𝑉𝑇 (𝑠). Agrupando términos se obtiene (𝑠 + 𝑘𝑇𝐴 + 𝑘𝑇𝐿 ) 𝑉𝑇 (𝑠) = 𝑘𝐴 𝑉𝐴 (𝑠) + 𝑘𝐿 𝑉𝐿 (𝑠) − 𝑈𝐹𝑅(𝑠). (𝑠 + 𝑘𝐴 ) 𝑉𝐴 (𝑠) = 𝑘𝑇𝐴 𝑉𝑇 (𝑠). (𝑠 + 𝑘𝐿 ) 𝑉𝐿 (𝑠) = 𝑘𝑇𝐿 𝑉𝑇 (𝑠). Despejando 𝑉𝑇 (𝑠) =

𝑘𝐴

𝑠 + 𝑘𝑇𝐴 + 𝑘 𝑇𝐿

𝑉𝐴 (𝑠) +

𝑘𝐿

𝑠 + 𝑘𝑇𝐴 + 𝑘 𝑇𝐿

𝑉𝐿 (𝑠) −

𝑉𝐴 (𝑠) =

𝑘𝑇𝐴 𝑉 (𝑠 ). 𝑠 + 𝑘𝐴 𝑇

𝑉𝐿 (𝑠) =

𝑘𝑇𝐿 𝑉 (𝑠 ). 𝑠 + 𝑘𝐿 𝑇

1

𝑠 + 𝑘𝑇𝐴 + 𝑘𝑇𝐿

𝑈𝐹𝑅(𝑠).

La primera de estas ecuaciones puede representarse por el siguiente diagrama de bloques

En este diagrama los valores de 𝑉𝐴 (𝑠) y 𝑉𝐿 (𝑠) pueden obtenerse de las otras dos ecuaciones dinámicas. La incorporación de estas ecuaciones al diagrama de bloques conduce a la siguiente figura:

Como podemos ver, la entrada 𝑉𝑇 (𝑠) de los dos nuevos bloques coincide con la salida, por lo que se puede obtener mediante realimentación tal como se indica en la figura siguiente que representa el diagrama de bloques que constituyen el sistema “paciente”.

Apartado b) Para obtener la función de transferencia 𝐺(𝑠) del sistema “paciente” sustituimos la expresión de 𝑉𝐴 (𝑠) y de 𝑉𝐿 (𝑠) en la primera de las ecuaciones dinámicas, obteniéndose

𝑉𝑇 (𝑠) =

𝑉𝑇 (𝑠) =

𝑘𝐴

𝑘𝐿 𝑘𝑇𝐴 𝑘𝑇𝐿 𝑉 (𝑠) 𝑠 + 𝑘𝐿 𝑇 𝑉𝑇 (𝑠) + 𝑠 + 𝑘 𝑇𝐴 + 𝑘𝑇𝐿1𝑠 + 𝑘𝐴 𝑠 + 𝑘𝑇𝐴 + 𝑘𝑇𝐿 − 𝑈𝐹𝑅(𝑠). 𝑠 + 𝑘𝑇𝐴 + 𝑘 𝑇𝐿

𝑘𝐿 𝑘𝑇𝐿 𝑘𝐴 𝑘𝑇𝐴 𝑉𝑇 (𝑠) + 𝑉 (𝑠) (𝑠 + 𝑘𝑇𝐴 + 𝑘𝑇𝐿 )(𝑠 + 𝑘𝐴 ) (𝑠 + 𝑘𝑇𝐴 + 𝑘 𝑇𝐿 )(𝑠 + 𝑘𝐿 ) 𝑇 1 − 𝑈𝐹𝑅(𝑠). 𝑠 + 𝑘𝑇𝐴 + 𝑘 𝑇𝐿

𝑘𝐿 𝑘𝑇𝐿 𝑘𝐴 𝑘𝑇𝐴 − 1] + 𝑉𝑇 (𝑠) [ (𝑠 + 𝑘𝑇𝐴 + 𝑘𝑇𝐿 )(𝑠 + 𝑘𝐴 ) (𝑠 + 𝑘𝑇𝐴 + 𝑘 𝑇𝐿 )(𝑠 + 𝑘𝐿 ) 1 = 𝑈𝐹𝑅(𝑠). 𝑠 + 𝑘𝑇𝐴 + 𝑘𝑇𝐿 La función de transferencia es pues 𝑉𝑇 (𝑠) = 𝐺(𝑠) = 𝑈𝐹𝑅(𝑠)

1 𝑠 + 𝑘𝑇𝐴 + 𝑘 𝑇𝐿

𝑘𝐿 𝑘𝑇𝐿 𝑘𝐴 𝑘𝑇𝐴 −1 + (𝑠 + 𝑘𝑇𝐴 + 𝑘 𝑇𝐿 )(𝑠 + 𝑘𝐴 ) (𝑠 + 𝑘𝑇𝐴 + 𝑘 𝑇𝐿 )(𝑠 + 𝑘𝐿 )

.

Operando se obtiene 1 𝑠 + 𝑘𝑇𝐴 + 𝑘𝑇𝐿 . 𝐺(𝑠) = 𝑘𝐴 𝑘𝑇𝐴 (𝑠 + 𝑘𝐿 ) + 𝑘𝐿 𝑘𝑇𝐿 (𝑠 + 𝑘𝐴 ) − (𝑠 + 𝑘𝑇𝐴 + 𝑘𝑇𝐿 )(𝑠 + 𝑘𝐴 )(𝑠 + 𝑘𝐿 ) (𝑠 + 𝑘𝑇𝐴 + 𝑘 𝑇𝐿 )(𝑠 + 𝑘𝐴 )(𝑠 + 𝑘𝐿 ) 𝐺(𝑠) =

(𝑠 + 𝑘𝐴 )(𝑠 + 𝑘𝐿 ) 𝑛(𝑠) = . 𝑘𝐴 𝑘𝑇𝐴 (𝑠 + 𝑘𝐿 ) + 𝑘𝐿 𝑘𝑇𝐿 (𝑠 + 𝑘𝐴 ) − (𝑠 + 𝑘𝑇𝐴 + 𝑘𝑇𝐿 )(𝑠 + 𝑘𝐴 )(𝑠 + 𝑘𝐿 ) 𝑑(𝑠)

El numerador vale 𝑛(𝑠) = 𝑠 2 + 𝑠 (𝑘𝐴 + 𝑘𝐿 ) + 𝑘𝐴 𝑘𝐿 . Por otra parte, el denominador se puede expandir de acuerdo con la siguiente expresión 𝑑(𝑠) = 𝑘𝐴 𝑘𝑇𝐴 𝑠 + 𝑘𝐴 𝑘𝑇𝐴 𝑘𝐿 + 𝑘𝐿 𝑘𝑇𝐿 𝑠 + 𝑘𝐿 𝑘𝑇𝐿 𝑘𝐴 ⋯ −(𝑠 2 + 𝑘𝐴 𝑠 + 𝑘𝑇𝐴 𝑠 + 𝑘𝑇𝐴 𝑘𝐴 + 𝑘𝑇𝐿 𝑠 + 𝑘 𝑇𝐿 𝑘𝐴 )(𝑠 + 𝑘𝐿 ). 𝑑(𝑠) = 𝑘𝐴 𝑘𝑇𝐴 𝑠 + 𝑘𝐴 𝑘𝑇𝐴 𝑘𝐿 + 𝑘𝐿 𝑘𝑇𝐿 𝑠 + 𝑘𝐿 𝑘𝑇𝐿 𝑘𝐴 ⋯ −𝑠 3 − 𝑘𝐴 𝑠 2 − 𝑘𝑇𝐴 𝑠 2 − 𝑘𝑇𝐴 𝑘𝐴 𝑠 − 𝑘 𝑇𝐿 𝑠 2 − 𝑘𝑇𝐿 𝑘𝐴 𝑠 ⋯ −𝑠 2 𝑘𝐿 − 𝑘𝐴 𝑘𝐿 𝑠 − 𝑘𝑇𝐴 𝑘𝐿 𝑠 − 𝑘𝑇𝐴 𝑘𝐴 𝑘𝐿 − 𝑘𝑇𝐿 𝑘𝐿 𝑠 − 𝑘𝑇𝐿 𝑘𝐴 𝑘𝐿 . Simplificando, agrupando y ordenando términos tenemos

𝑑(𝑠) = −𝑠 3 − 𝑘𝐴 𝑠 2 − 𝑘 𝑇𝐴 𝑠 2 − 𝑘𝑇𝐿 𝑠 2 − 𝑘𝑇𝐿 𝑘𝐴 𝑠 − 𝑠 2 𝑘𝐿 − 𝑘𝐴 𝑘𝐿 𝑠 − 𝑘𝑇𝐴 𝑘𝐿 𝑠. 𝑑(𝑠) = −𝑠 3 − 𝑠 2 (𝑘𝐴 + 𝑘𝐿 + 𝑘𝑇𝐴 + 𝑘 𝑇𝐿 ) − 𝑠(𝑘𝐴 𝑘𝐿 + 𝑘𝐴 𝑘𝑇𝐿 + 𝑘𝐿 𝑘𝑇𝐴 ). La función de transferencia es pues, 𝐺(𝑠) = −

𝑠 2 + 𝑠 (𝑘𝐴 + 𝑘𝐿 ) + 𝑘𝐴 𝑘𝐿 . 𝑠 3 + 𝑠 2 (𝑘𝐴 + 𝑘𝐿 + 𝑘𝑇𝐴 + 𝑘𝑇𝐿 ) + 𝑠(𝑘𝐴 𝑘𝐿 + 𝑘𝐴 𝑘𝑇𝐿 + 𝑘𝐿 𝑘𝑇𝐴 )

Una forma alternativa de calcular la función de transferencia es mediante el uso del siguiente código MATLAB %% Obtaining the transfer function from the system's equations % Defining symbolic variables syms s VT VA VL UFR syms kTA kTL kA kL % Defining the system's equations VA = kTA/(s+kA) * VT; VL = kTL/(s+kL) * VT; eq = VT == (kA/(s+kTA+kTL)) * VA +... (kL/(s+kTA+kTL)) * VL - (1/(s+kTA+kTL)) * UFR; % Solving the system's equation, obtaining VT as a function of UFR VT = solve(eq,VT); % Obtaining the system's transfer function G = VT/UFR; G = collect(G); %Write G as a quotient of polynomials pretty(G);

El resultado obtenido es el siguiente: 2 - s + (- kA - kL) s - kA kL ----------------------------------------------------------3 2 s + (kA + kL + kTA + kTL) s + (kA kL + kA kTL + kL kTA) s

que coincide con el calculado anteriormente. Apartado c) El diagrama de bloques obtenido en el apartado a) puede redibujarse tal como aparece en la figura siguiente

En dicho gráfico los valores de cada de los bloques es el siguiente: 𝐺1 (𝑠) = 𝐺2 (𝑠) = 𝐺3 (𝑠) =

1

𝑠 + 𝑘𝑇𝐴 + 𝑘𝑇𝐿

.

𝑘𝐴 𝑘𝑇𝐴 · . 𝑠 + 𝑘𝐴 𝑠 + 𝑘𝑇𝐴 + 𝑘𝑇𝐿

𝑘𝑇𝐿 𝑘𝐿 . · 𝑠 + 𝑘 𝑠 + 𝑘𝐿 𝑇𝐴 + 𝑘𝑇𝐿

Los bloques 𝐺2 (𝑠) y 𝐺3 (𝑠) están en paralelo por lo que el diagrama de bloques puede simplificarse de acuerdo con el gráfico siguiente.

Para que el diagrama de bloques tenga la forma de un sistema realimentado simple, conviene cambiar los signos en el nodo de suma, tal como se refleja en la figura siguiente.

En ese sistema se tiene que 𝑉𝑇 (𝑠) = −𝐺1 (𝑠) 𝑈𝐹𝑅(𝑠) + [𝐺2 (𝑠) + 𝐺3 (𝑠)] 𝑉𝑇 (𝑠). [1 − 𝐺2 (𝑠) + 𝐺3 (𝑠)]𝑉𝑇 (𝑠) = −𝐺1 (𝑠) 𝑈𝐹𝑅(𝑠). Por tanto su función de transferencia será

𝐺(𝑠) =

𝑉𝑇 (𝑠)

𝑈𝐹𝑅(𝑠)

−𝐺1 (𝑠) = 1 − 𝐺2 (𝑠) + 𝐺3 (𝑠)

El diagrama de bloques puede transformarse introduciendo el primer bloque dentro del bucle de realimentación pero con un nuevo valor 𝐺4 (𝑠) en el bloque del lazo realimentado, tal como se muestra en la siguiente figura que tiene ya la forma de un sistema realimentado simple.

La función de transferencia 𝐺(𝑠) del sistema realimentado anterior será 𝐺(𝑠) =

−𝐺1 (𝑠) . 1 − 𝐺1 (𝑠) · 𝐺4 (𝑠)

Como ese resultado debe coincidir con el obtenido anteriormente, podemos escribir −𝐺1 (𝑠) −𝐺1 (𝑠) , = 1 − 𝐺2 (𝑠) + 𝐺3 (𝑠) 1 − 𝐺1 (𝑠) · 𝐺4 (𝑠) de donde podemos deducir que 𝐺2 (𝑠) + 𝐺3 (𝑠) = 𝐺1 (𝑠) · 𝐺4 (𝑠) 𝐺4 (𝑠) =

𝐺2 (𝑠) + 𝐺3 (𝑠) · 𝐺1 (𝑠)

Para obtener el valor de la función de transferencia se puede utilizar el siguiente código MATLAB %% Obtaining the transfer function from the reduced block diagram % Defining blocks' transfer functions G1 = 1/(s+kTA+kTL); G2 = kTA/(s+kA) * kA/(s+kTA+kTL); G3 = kTL/(s+kL) * kL/(s+kTA+kTL); % Obtaining reduced transfer function G4 = (G2+G3) / G1; % Obtaining the system's transfer function G = -G1/(1-G1*G4); G = collect(G); %Write G as a quotient of polynomials pretty(G);

El resultado obtenido es el siguiente:

2 - s + (- kA - kL) s - kA kL ----------------------------------------------------------3 2 s + (kA + kL + kTA + kTL) s + (kA kL + kA kTL + kL kTA) s

que coincide con el calculado anteriormente. Apartado d) Para los valores de las constantes dadas, la función de transferencia es 𝐺(𝑠)

=−

𝑠 2 + 𝑠 (0.15 + 0.25) + 0.15 · 0.25 . 𝑠 3 + 𝑠 2 (0.15 + 0.25 + 0.33 + 0.28) + 𝑠(0.15 · 0.25 + 0.15 · 0.28 + 0.25 · 0.33) 𝐺(𝑠) = −

𝑠 2 + 0.4 𝑠 + 0.0375 . 𝑠 3 + 1.01 𝑠 2 + 0.162 𝑠

Los ceros se obtienen resolviendo la ecuación 𝑠 2 + 0.4 𝑠 + 0.0375 = 0. 𝑠=

−0.4 ± √0.42 − 4 · 1 · 0.0375 −0.4 ± 0.1 𝑠 = −0.15 . ={ = 𝑠 = −0.25 2 2

Análogamente, los polos se calculan resolviendo la ecuación 𝑠 3 + 1.01 𝑠 2 + 0.162 𝑠 = 0. 𝑠 (𝑠 2 + 1.01 𝑠 + 0.162) = 0. Por tanto un polo está en 𝑠 = 0 y los otros dos se obtienen resolviendo 𝑠 2 + 1.01 𝑠 + 0.162 = 0 . 𝑠=

−1.01 ± √1.012 − 4 · 1 · 0.162 −1.01 ± 0.61 𝑠 = −0.81 = . ={ 𝑠 = −0.20 2 2

También puede resolverse este apartado, con ayuda de MATLAB, añadiendo el siguiente código: %% Obtaining the numeric transfer function, its zeros and its poles % Substituting the transfer constants by their values (symbolic expresions) G = subs(G, [kA,kL,kTA,kTL], [0.15,0.25,0.33,0.28]); %Symbolic expression [numGs,denGs] = numden(G); %Obtains the numerator and denominator of G(s)

% Converting the symbolic G(s) to a transfer function object numG = sym2poly(numGs); %Obtains the numerator of G(s)as a numeric vector denG = sym2poly(denGs); %Obtains the denominator of G(s)as a numeric vector G = tf(numG,denG); %Obtains G(s) as a transfer function object G = minreal(G); %Obtains the minimal realization of G(s) display(G); % Obtaining the zeros and poles of G(s) zerosG = zero(G); polesG = pole(G); display(zerosG); display(polesG); % Plotting the pole-zero map of G(s) pzmap(G);

La ejecución de ese código ofrece como resultado la función de transferencia y sus ceros y polos: G = -s^2 - 0.4 s - 0.0375 -----------------------s^3 + 1.01 s^2 + 0.162 s Continuous-time transfer function. zerosG = -0.2500 -0.1500 polesG = 0 -0.8100 -0.2000

Estos resultados coinciden con los obtenidos anteriormente. El código también genera el mapa de polos y ceros que se muestra en la figura siguiente: Pole-Zero Map 1 0.8

Imaginary Axis (seconds-1)

0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3 -1

Real Axis (seconds )

Apartado e)

-0.2

-0.1

0

Considerando que 𝑈𝐹𝑅 = 𝐾 (𝑉𝑇 − 𝑅), el sistema en bucle cerrado se puede describir de acuerdo con la siguiente figura:

Nótese que los signos en la realimentación no siguen la forma convencional, de forma que la función de transferencia en bucle cerrado debe ser cuidadosamente calculada de acuerdo con la siguiente expresión: 𝑉𝑇 (𝑠) = 𝑈𝐹𝑅(𝑠) 𝐺(𝑠) = 𝐾[𝑉𝑇 (𝑠) − 𝑅(𝑠)]𝐺 (𝑠) = 𝐾 𝑉𝑇 (𝑠) 𝐺 (𝑠) − 𝐾 𝑅(𝑠) 𝐺(𝑠). 𝐾 𝑅 (𝑠) 𝐺 (𝑠) = 𝐾 𝑉𝑇 (𝑠) 𝐺(𝑠) − 𝑉𝑇 (𝑠) = 𝑉𝑇 (𝑠) [𝐾 𝐺 (𝑠) − 1]. Por tanto, la función de transferencia en bucle cerrado es 𝑀(𝑠) ≡

𝐾 𝐺(𝑠) 𝑉𝑇 (𝑠) = . 𝑅(𝑠) 𝐾 𝐺(𝑠) − 1

𝑠 2 + 0.4 𝑠 + 0.0375 𝑠 2 + 0.4 𝑠 + 0.0375 2 3 2 𝑠 + 1.01 𝑠 2 + 0.162 𝑠 . + 1.01 𝑠 + 0.162 𝑠 = 𝑀(𝑠) = 𝑠 2 + 0.4 𝑠 + 0.0375 𝑠 2 + 0.4 𝑠 + 0.0375 −2 3 −1 1+2 3 2 𝑠 + 1.01 𝑠 2 + 0.162 𝑠 𝑠 + 1.01 𝑠 + 0.162 𝑠 −2

𝑠3

𝑠 2 + 0.4 𝑠 + 0.0375 + 1.01 𝑠 2 + 0.162 𝑠 . 𝑀(𝑠) = 3 2 (𝑠 + 1.01 𝑠 + 0.162 𝑠) + 2 (𝑠 2 + 0.4 𝑠 + 0.0375) 𝑠 3 + 1.01 𝑠 2 + 0.162 𝑠 2

𝑀(𝑠) =

𝑠3

2 𝑠 2 + 0.8 𝑠 + 0.075 . (𝑠 3 + 1.01 𝑠 2 + 0.162 𝑠) + (2 𝑠 2 + 0.8 𝑠 + 0.075) 𝑀(𝑠) =

2 𝑠 2 + 0.8 𝑠 + 0.075 . 𝑠 3 + 3.01 𝑠 2 + 0.962 𝑠 + 0.075

Este apartado puede resolverse también añadiendo el siguiente código MATLAB: %% Obtaining the closed-loop transfer function K = 2; %Proportional controller M = (K*G) / (K*G-1); %Obtains the closed-loop transfer function M = minreal(M); %Obtains the minimal realization of M(s) display (M);

La ejecución de este código ofrece el siguiente resultado: M = 2 s^2 + 0.8 s + 0.075

-------------------------------s^3 + 3.01 s^2 + 0.962 s + 0.075

Apartado f f) Para dibujar la respuesta del sistema en bucle cerrado ante una entrada impulso y una entrada escalón se añade el siguiente código MATLAB: %% Obtaining the closed-loop impulse & step responses % Obtaining the responses [ir,t] = impulse(M); %Obtaining the impulse response sr = step(M,t); %Obtaining the step response % Plotting the responses figure; plot(t,ir,'b',t,sr,'r'); axis tight; legend({'Impulse response','Step response'},'Location','Best'); xlabel('Time'); ylabel('V_T(t)');

El resultado obtenido se muestra en la figura siguiente:...