Examen 2 SG IE0305 PDF

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EIEEscuela de Ingeniería EléctricaIE0305 – Matemática Superior II - 2017Examen 221 de octubre de 2017Nombre: Carné:Consideraciones generales:El tiempo disponible para realizar el examen es de 3 horas. El examen debe realizarse en forma individual. Se puede hacer consultas únicamente al profesor. Tod...

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IE0305 – Matemática Superior II - 2017

Examen 2 21 de octubre de 2017

Nombre:

Carné:

Consideraciones generales: El tiempo disponible para realizar el examen es de 3 horas . El examen debe realizarse en forma individual. Se puede hacer consultas únicamente al profesor. Todos los resultados deben ser debidamente justificados; los comentarios forman parte de las soluciones. Las soluciones deben estar escritas en lapicero, de forma ordenada y legible. Se castigará severamente cualquier intento o asomo de copia durante el examen o en las soluciones.

Problema 1

(30 %)

Sea x(t) = |t| − π para −π ≤ t ≤ π . a. (15 %) Determine la serie trigonométrica de Fourier de xp (t), la versión periódica par de x(t). b. (5 %) Dibuje el espectro de magnitud de xp (t) hasta la cuarta armónica. c. (5 %) ¿Qué porcentaje de la potencia total de xp (t) representan las armónicas anteriores? Z 1 Ayuda: x cos (ax)dx = 2 [ax sin(ax) + cos(ax)] + C .

a

Problema 2

(15 %)

El estado le vendió a usted, persona encargada de las comunicaciones de la empresa, un ancho de banda de rad rad 650 rad s que va de los 1000 s hasta los 1650 s . Usted debe diseñar la etapa de multiplexación en frecuencia de manera que se pueda dividir ese espectro de la mejor manera entre tres emisores. Los emisores desean enviar las señales x1 (t), x2 (t) y x3 (t), con las siguientes magnitudes de los espectros:

|X1 (ω )|

|X3 (ω )|

|X2 (ω )|

2

2

2

ω -100

100

ω

ω -75

75

-125

125

La etapa de multiplexación en frecuencia es como se muestra en la siguiente figura:

1 de 2

IE0305 – Matemática Superior II - 2017

Examen 2

x1 (t)

cos (ω1 t) x2 (t)

y(t)

cos (ω2 t) x3 (t)

cos (ω3 t) Si ω3 > ω2 > ω1 , diseñe los valores de las frecuencias de las portadoras para que se cumplan los requisitos. Esboce |Y (ω )| con los valores hallados.

Problema 3

(55 %)

Resuelva lo que se le indica: a. (10 %)

t , calcule X(ω) utilizando la definición de la transformada de Fourier. 2a (5 %) A partir de lo obtenido en el inciso b. y utilizando la propiedad de simetría (dualidad), calcule la sin(t − 3) . transformada de Fourier de: x(t) = t−3 (5 %) La salida de un sistema LTI se relaciona con la entrada x(t) por medio de la siguiente ecuación dy(t) Y (ω ) . diferencial: + 2y(t) = x(t). Determine la respuesta en frecuencia H (ω) = X(ω) dt −t (10 %) A partir de lo obtenido en el inciso d. y si x(t) = e u(t), determine la transformada de Fourier de la salida Y (ω) y posteriormente calcule la salida y(t). (10 %) Determine la energía en la señal x(t) para la cual la magnitud de la transformada de Fourier |X(ω )| está dada por la siguiente gráfica:

b. (5 %) c.

d.

e. f.

Si X(ω) = 3ω F (ω) la transformada de Fourier de f(t) = tx(3t − 6). , calcule 

Si x(t) = rect

|X(ω )| 2 1 −2 g. (10 %)

−1

1

2

ω

Calcule la transformada inversa de Fourier de X(ω) dado en el gráfico del inciso f. 2 de 2...