Examen 28 Mayo 2018, preguntas PDF

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Inicial primer apellido Geometr´ıa de curvas y superficies ´ticas 2o del Grado en Matema ´n en Ingenier´ıa Informa ´tica-Matema ´ticas 3o de Doble titulacio Curso 2017-2018 28 de mayo de 2018 Examen Final Apellidos y Nombre D.N. Justificar todas las respuestas. 1. Sea α(t) una curva en R3 con rapide...

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Inicial primer apellido

Geometr´ıa de curvas y superficies ´ticas 2o del Grado en Matema ´n en Ingenier´ıa Informa ´tica-Matem´ 3o de Doble titulaci o aticas Curso 2017-2018 28 de mayo de 2018 Examen Final Apellidos y Nombre

D.N.I.

Justificar todas las respuestas. 1. Sea α(t) una curva en R3 con rapidez unitaria, triedro de Frenet-Serret {t(t),n(t),b(t)}, curvatura κ(t) >0 y torsi´on τ(t)6= 0 para todo t. Suponemos que α(t) pertenece a la esfera de radio uno y centro el origen S2 ={v ∈R3 :kvk =1}, para todo t. Demostrar: (a) 1 κ′(t) =0, =− y = k(t) τ(t)(κ(t))2 (b) ′!′  1 1 τ(t) + =0 κ(t) τ(t) κ(t) 2. Considera la superficie de Enneper S parametrizada por   v3 u3 +uv2 , v− +u2 v, u2 −v2 X(u,v)= u− 3 3

(a) Demuestra que los coeficientes de la primera forma fundamental son: E =G =(1+ u2 +v2 )2 y F =0. (b) Calcula la longitud de la curva α(t):(0,1)−→S dada por α(t)= X(t,t). (c) Asume que la aplicaci´ on de Gauss compuesta con la parametrizaci´on X viene dada por 1 (−2u, 2v, 1− u2 −v2 ) N(u,v)= 1+u2 +v2 y calcula la segunda forma fundamental. (d) Encuentra las curvaturas principales y las direcciones principales de curvatura. (e) Determina y resuelve la ecuaci´ on diferencial que debe cumplir γ(t)=X(u(t),v(t)) para ser l´ınea asint´otica.

3. Considera el dominio Ω={(u,v)∈R2 : 0...