Examen de Matemáticas V PDF

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GUÍA DE MATEMÁTICAS V UNIDAD 1 (FUNCIONES ALGEBRAICAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS) 1. ¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a la función y= A)

B)

C)

2. Determine el dominio de la función A) B) C) D)

C) D)

D)

x +3 x 3+27

{ xϵR|x ≠ 3 } { xϵR|x ≠−3} { xϵR|x ≠ 27 } { xϵR|x ≠−27 }

3. ¿Cuál es el dominio de la función A) B)

y=

|x|−|2 x| ?

f ( x )=

x−10 2 x −16

{ xϵR|x ≠ 10 } { xϵR|x ≠ 16 } { xϵR|x ≠−4, x ≠ 4} { xϵR|x ≠−8, x ≠ 8 }

2 2 f ( x ) =−2 x −2 x −2 y g ( x) =− x −x+ 1 , el resultado de f(x)+g(x) es… A) −3 x2 −3 x −1 B) −3 x2 −3 x +3 C) x 2 −3 x −1 D) x 2 −3 x +3 f(x)  x  16 es: 5. El dominio de la función A) (- ∞ ,4] B) [8, ∞ ) C) [16, ∞ ) D) ( −∞ ,16]

4. Si

y x 

x 2 x 2  2 es:

6. El dominio de A) { x : x ∈ R } B) { x : x ∈ R−{x=± √ 2} } C) { x : x ∈ R− {x=± 2 }} D)

2,∞ x : x ∈¿ ¿

7. ¿Cuál de las siguientes funciones carece de asíntotas? A) B)

1 x f ( x )=csc x f ( x )=

C) f ( x )=sin x D) f ( x )=cot x 8. Para la función f(x) = log(x + 2), ¿cuál de los siguientes números reales NO está en su dominio? A) π B) Log2 C) 2-1 D) -2 9. Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:

A) a: Dom=R-{-3,3}, b: Dom: [2,∞) B) a: Dom=R+{3,3}, b: Dom: [-2,∞) C) a: Dom=R-{3,3}, b: Dom: [2,∞) D) a: Dom=R-{3,-3}, b: Dom: [-2,∞) 10. Asocia a cada una de las gráficas una de las siguientes expresiones analíticas: A) I:c,II:b,III:a,IV:d B) I:b,II:a,III:c,IV:d C) I:a,II:b,III:c,IV:b D) I:d,II:b,III:a,IV:b

11. Asocia a cada gráfica su ecuación: A) B) C) D)

I:c,II:d,III:a,IV:c I:b,II:d,III:c,IV:a I:c,II:d,III:a,IV:b I:c,II:d,III:b,IV:a

12. ¿Cuál es el dominio de la función f(x)=ex? A) (-∞,∞) B) (0,∞) C) (-∞,0) D) (0,-∞) 13. ¿Cuál es el dominio de la función y=log2(x+1)? A) {x ∈ R/x-1} 14. El dominio (D) y rango (R) de la función f(x)=2x, es: A) D: (0,∞) ; R: (-∞,∞) B) D: (0,∞) ; R: (0,∞) C) D: (-∞,∞) ; R: (0,∞) D) D: (0,∞) ; R: (-∞,0) 15. La función f(x)=log(x+1), su asíntota vertical, es: A) y=0 B) x=1 C) x=-1 D) x=0 16. El resultado de sumar f(x)=x2-1 y g(x)=(x-1)2, es: A) x2-2x B) x2+2x C) 2x2-2x D) x2+x-1 17. ¿Cuál es el dominio de la función f(x)= √ x−3 ? A) x≥7 B) x≤3 C) x≥3 D) x≥-2 18. Determina el dominio general de la función

f ( x )=

x−2 . 2 x +1

A) (-∞,∞)

1 ,∞) 2

B) (-∞,1) U ( C)

(

]

U

[−1 , ∞ )

D)

(−∞ , 12 )

U

( 12 , ∞)

−∞ ,

1 2

19. El dominio de la función y=log(x-1)? A) x≤1 B) x1 D) x≥1 20. La función f(x)=x, es _________ y la función f(x)= -x2, es ___________ en el intervalo (2,6). A) Decrece, constante B) Decrece, decrece

C) Creciente, decrece D) Constante, crece 21. La imagen de la función cuya gráfica se muestra a continuación, son los valores: A) Mayores o iguales que 0 B) Menores o iguales que 0 C) Mayores que -1 y menores que 1 D) Mayores o iguales que -1 y menores o iguales que 1

22. Si log2x= -3, el valor de x es: A) 8-3 B) 9-2 C) 83+i D) 92+i 23. El dominio de la relación { (− π , π ) , (− π ,− π ) , (π , π ) ,( π ,− π ) } es el conjunto: A) {π } B) {− π , π } C) R D) Q’ 24. En un contrato de alquiler de una casa figura que el coste subirá un 2% cada año. Si el primer año se pagan 7200 euros (en 12 recibos mensuales): Obtén la función que nos dé el coste anual al cabo de x años. A) f(x)=7200x(0.02) B) f(x)=7200+(0.02)x C) f(x)=7200(1.02)x D) f(x)=7200x1.02 25. La ecuación f(x) = 3π representa una función: A) lineal. B) constante. C) cuadrática. D) exponencial. Con base a la información, contesta las preguntas 26 y 27. En una empresa de la construcción se tuvo el siguiente estado financiero, en millones de pesos, en el primer semestre del año: mes

ene

feb

mar

abr

may

jun

$

40

70

100

130

160

190

26. ¿Cuál es la ganancia mensual de la empresa? A) $ 10 millones B) $ 30 millones C) $ 40 millones D) $ 70 millones 27. ¿Cuál es el modelo matemático que representa el estado financiero de la empresa? A) f(x) = 10x + 30 B) f(x) = 30x – 10 C) f(x) = 30x + 10 D) f(x) = 40x – 10 28. El dominio y el rango de la función: f(x) = 4x−1

A) D: [4, ∞), R: (– 1, ∞) B) D: [– 1, ∞), R: (– ∞, ∞) C) D: (– ∞ , ∞), R: (0, ∞) D) D: (– ∞ , ∞), R: (– ∞, ∞) 29. Las funciones f y g están definidas por: composición, podemos obtener: A) q(x)= g(f(x)) B) q(x)= (f ○ g)(x) C) q(x)= (g ○ f)(x) D) q(x)=f(gx)

Explica cómo, a partir de ellas, por

GUÍA DE MATEMÁTICAS V UNIDAD 2 (Límites y derivadas) 1. El

lim

x5

A) B) C) D)

x2  25 x  5 es: 10 0 –5 indeterminado.

f(x) 

x 1  x  4 x  1 están en

2. Los puntos de discontinuidad de la función A) x = –2 x = 2 B) x = 1 x = 4 C) x = –1 x = –4 D) x = 0 x = 1 3. El límite de la función f(x)=4 cuando x tiende a -2, es: A) -2 B) -4 C) 2 D) 4 4. La pendiente de la tangente a la curva es la representación geométrica de la A) integral definida. B) integral indefinida. C) derivada. D) secante. Insistente la he visto 5. La pendiente de la recta tangente a la curva y = x2 – 5x en el punto P(2, 6) es igual a A) –1 B) –5 C) 2 D) 6 6. La derivada de la expresión 1 3

A)

y ' =2 x +6 x

B)

y ' = x 2 +2 x3 2 −1 y'= 1 - 2 x3 x2 2 1 y'= 1 + 2 x2 x3

C) D) 7. La

1 2

1

1

dy 3 (x +8 x+ 5) es: dx

1

1

y=2 x 2 +6 x 3

es:

A) 3x2+8x B) 3x2+8 C) 3x2+x D) 3x2+8x+1 8. El punto máximo de y=sen(x) en el intervalo (-∞,∞) es: A) 1

√3

B)

2 1 2

C)

D) 0 9. La expresión f(t) = cos(2t + 3) es una función de posición de movimiento armónico, la expresión para la aceleración es A) a(t) = –4 cos(2t – 3) B) a(t) = cos(2t + 3) C) a(t) = –cos(2t + 3) D) a(t) = –4 cos(2t + 3) 10. La derivada de y = ln(x2 + 5) es:

1 x +5 2x B) x +5 2x C) 2 x −5 2x D) x 2 +5 11. La función f ( x )=x 3−3 x 2 +1 tiene un mínimo en el punto de abscisa… A)

A) B) C) D)

2

0 1 2 3

12. Resolver

lim x →−2

A) B) C) D)

x 2−x +6 x 2−3 x −10

−7 5 3 7 5 7 9 5 ( x )=x 2−8 x +15 , entonces la recta y=2x-8, es:

13. Sea f A) Recta tangente a f(x) B) Recta secante a f(x) C) Recta perpendicular a f(x) D) Recta tangente a f(x) en el punto (2,5) 14. ¿Cuál es la tercera derivada de la función f(x)= (x + 1)3? A) f’’’(x) = 18x B) f’’’(x) = 6(x+1)2 C) f’’’(x) = 6 D) f’’’(x) = 6x

15. La gráfica de la función f(x) es la siguiente: ¿En qué intervalo la derivada de f es negativa? A) (-2,4) B) [2,4) C) (2,4) D) [-2,4]

16. Si

9 3x ( x+1 ) = , esto significa que la función: 2 x→ 2 2 x 9 cuando x toma el valor de 2. A) Toma el valor de 2 9 B) Es siempre . 2 9 C) Toma el valor de 2 cuando x toma el valor de . 2 lim

D) Es siempre 2. 17. ¿Cuál es el valor de A)

2 9

B)

3 2

C)

9 2

D)

1 2

18. Determina el valor de A) B) C) D)

lim 3 (x +1) ? x→ 2 x

5 x2 lim 3 x +6 3 x→ 0 4 x +2

2 1 0 -2

1 2x f (x )= e , es: 2 A) f ( x )=2 x e2 x 1 x B) f ( x )=e (x + ) 2 x C) f ( x )=x e D) f ( x )=e2 x 20. La derivada de la función f ( x )=2 e x , es: A) f ( x )=2 e x 2x B) f ( x )=e C) f ( x )=e4 x D) f ( x )=4 e x 21. ¿Cuál es la derivada de f ( x ) =2 xe x , es: x A) f ( x )=2 e 19. La derivada de

B) C) D)

f ( x )=2 e x ( x+1 ) 2 x f ( x )=2 e ( x +1 ) f ( x )=2 e x ( x 2+2 x )

22. ¿Cuál es la derivada de la función A) B) C) D)

f (x )=

sin 2 x ? x e

2 cos 2 x+ sen 2 x ex 2 cos 2 x−sen 2 x ex sen 2 x−2 cos 2 x x e 2 cos 2 x−sen 2 x e2 x

23. ¿Cuál es la segunda derivada de la función

f ( x )=2 e

x

?

A) f ( x )=2 e B) f ( x )=e2 x C) f ( x )=e4 x D) f ( x )=4 e x 24. ¿Cuál es la tercera derivada de la función y = x 2 (3 x 3−2) ? A) 15 x 4−4 x B) 60 x3 −4 C) 180 x2 D) 360x 25. ¿Cuál es la 5ta derivada de la función f(x)=5x6? A) 1800x3 B) 2150x2 C) 2540x D) 3600x 26. Un objeto se mueve de tal manera que la función de posición respecto al tiempo en segundos esta dada por S(t)=5t2-20t. Determine en qué momento la velocidad es 0. A) 2s B) 20s C) 0s D) 4s x

27. El valor del lim x→ 2

x 2−4 =¿ x−2

A) ∞ B) 0 C) 2 D) 4 28. La derivada de f(x)=sen(x2+4), es: A) 2x cos (x2+4) B) 2 cos (2x+4) C) -2 cos (2x+4) D) -2x cos (x2+4) 29. En un cultivo de larvas la tasa de crecimiento es proporcional a la cantidad presente. Si hay 2,000 larvas presentes inicialmente y la cantidad se duplica en 2 días. ¿Cuántos días deben pasar para que haya 64, 000 larvas? A) 10 B) 20 C) 16

D) 24 2

lí m x −9 x→ 3 x−3

30. Resuelve: A) B) C) D)

0 2 6 ∞

lím

30. Resuelve: A) B) C) D)

32. El

3x2 – 5x – 4 =

∞ 0 4 –4

31. Resuelve: A) B) C) D)

x→0

√9 x−3 x→ ∞

lí m

∞ (3, ∞) (– ∞, 3) ∩ (3, ∞) (– ∞, 3) ∪ (3, ∞)

lí m x→ ∞

√4 2

x −9

presenta una gráfica:

A) continua en los puntos (– 2, 3) y (2, 3). B) continua en el intervalo (– ∞, 3] ∪ [3, ∞). C) discontinua en los puntos (– 3, 2) y (3, 2). D) discontinua en el intervalo (– ∞, 3) ∩ (3, ∞). 33. La derivada de: f(x) = 5x3 + 2x2 – 3, es: A) 15x2 + 4x B) 5x2 + 2x – 3 C) 15x4 + 4x – 3x D) 15x2 + 4x – 1/3 34. La derivada de f(x) = cos (2x + 1), es: A) – 2 sen x B) 2x sen 2x C) 2 sen (2x + 1) D) – 2 sen (2x + 1) 35. La derivada de f(x) = e2x+1,es: A) 2ex+1 B) – e2x C) – 2ex D) 2e2x+1

36. La derivada de f(x) = 3x cos x – tan 2x A) 3x sen x – 3 cos x + 2 sec2 x B) 3 sen x – 3x cos x + 2 sec2 2x C) – 3x sen x + 3 cos x – 2 sec2 2x D) – 3x sen x – 3 cos x + 2x sec2 2x 37. Derivar: y = ln (x2 + 4x + 4)

A) B)

C)

D)

2 ( x +2 ) 2x ( x +2 ) x+ 2 ¿ ¿ ¿ 2x ¿ 1 ( x +2 )

38. Determinar la derivada implícita de 2 – y2 = x

1 y2 1 B) y’ = 2y −1 C) y’ = y2 −1 D) y’ = 2y A) y’ =

39. Derivar: y = cot 4x A) – 4 csc2 4x B) – 4 sec2 4x C) – 4 tan2 4x D) – 4 cos2 4x 40. De la siguiente función y = 2x3 – 6x + 3, determinar el punto donde hay un mínimo. A) (1 , 1) B) (1, – 1) C) ( – 1, 7) D) (– 1, – 7) 41. Para que el valor de x en la función f(x)= x3 – 3x +2, tiene un máximo local. A) 2 B) 1 C) -1 D) -2 42. La derivada de y=sen2(x-2) A) 2 sen (x - 2) cos (x - 2) B) sen2 (x - 2) cos2 (x – 2) C) -2 (x – 2) cos (x – 2)2 D) cos x/2 (senx)1/2 43. Encuentra el punto de inflexión de la siguiente función: f(x)= 2x3+3x2-7x+1 A) (1,5) B) (-1/2,5) C) (-1,1/2) D) (5,1) 44. ¿Cuál de los siguientes puntos de inflexión pertenece a la función (y – 2)3 = x – 4? A) (2,4) B) (-2,-4)

C) (-4,-2) D) (4,2) GUÍA DE MATEMÁTICAS V UNIDAD 3 (Problemas de optimización) 1. El movimiento de un asteroide que viaja por el espacio exterior está dada por la ecuación: f(t) = 12t2 + 8t – 24, ¿cuál es su velocidad en 12 s? A) f’(t) = 288 m/s B) f’(t) = 296 m/s C) f’(t) = 280 m/s D) f’(t) = 264 m/s 2. Se quiere construir una caja, sin tapa, partiendo de una lámina rectangular de 32 cm de larga por 24 de ancha. Para ello se recortará un cuadradito en cada esquina y se doblará. ¿Cuál debe ser el lado del cuadradito cortado para que el volumen de la caja resultante sea máximo?

A) 14.14 cm B) 24 cm C) 4.53cm D) 12.14 cm 3. Se dispone de una tela metálica de 100 metros de longitud para vallar una región como la de la figura. ¿Cuáles son los valores de x e y que hacen que el área encerrada sea máxima? A) x=23.43cm, y=14.85cm B) x=24.45cm, y=13.24cm C) x=25.50 cm, y=12.50 cm D) x=23.50cm, y=14.50cm 4. Se dispone de una tela metálica de 100 metros de longitud para vallar una región rectangular. ¿Cuáles son los valores de x e y, dimensiones del rectángulo, que hacen que el área del romboide, formado por la unión de los puntos medios de los lados, sea máxima? A) B) C) D)

x=50m, y =60m x=30m, y=20m x=40m, y=30m x=25m, y=25m

5. Considera la función f(x)=3-x2 y un punto de su gráfica, M, situado en el primer cuadrante (x 0, y 0). Si por el punto M se trazan paralelas a los ejes de coordenadas, su intersección con OX y OY determina dos puntos, A y B, respectivamente. La siguiente gráfica muestra el planteamiento del problema. Halla las coordenadas del punto M que hace que el rectángulo OAMB tenga área máxima

A) B) C) D)

M=(-1,-2) M=(1,2) M=(-1,27) M=(1,27)

6. Una imprenta recibe el encargo de diseñar un cartel con las siguientes características: la zona impresa debe ocupar 100 cm2, el margen superior debe medir 3 cm, el inferior 2 cm, y los márgenes laterales 4 cm cada uno. Calcula las dimensiones que debe tener el cartel de modo que se utilice la menor cantidad de papel posible. A) B) C) D)

(4 √ 10 , 2.5 √ 10 ) (8+4 √10 , 5+2.5 √ 10 ) (2.5 √ 10 , 4 √ 10 ) (8+2.5 √ 10 , 5+2.4 √ 10 )

7. De todos los prismas rectos de base cuadrada y tales que el perímetro de una cara lateral es de 30 cm, halla las dimensiones del que tiene volumen máximo.

A) B) C) D)

100cm3 200cm3 400cm3 500cm3

8. Determinar las dimensiones del rectángulo de área máxima inscrito en un círculo de radio ½

√2 , y= 2 2 √3 , y= √ 3 B) x= 2 2 √4 , y= √ 4 C) x= 2 2 1 1 D) x= , y= 2 2

A) x=

√2

9. La posición de una partícula está dada por S=t3 – 2t2 – 5t + 10, donde s está en metros y t en segundos. ¿Qué tiempo transcurre para que la aceleración instantánea sea cero? A) 4s B) 3s C) 1.66s D) 0.66s

10. Una función tiene un máximo en el punto P(x1,y2), si su derivada. A) Es negativa antes del punto. B) Es positiva antes del punto. C) Es menor que x1 D) Pasa de ser positiva antes del punto y negativa después del punto. 11. ¿Qué número minimiza la suma de él y su reciproco? A) 2 B) 1 C) 4 D) 3...