Exámenes resueltos álgebra lineal 2010.pdf PDF

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILEFACULTAD DE MATEMATICASDEPARTAMENTO DE MATEMATICAPrimer Semestre de 2010MAT1203 - Algebra Lineal Examen - Soluci ́on SeaV el espacio vectorial de las matrices de 2×2 con coeficientes reales yT la transformaci ́on linealT:V →V tal que: T(X) =M X−XM, dondeM=[ 2 ...

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE FACULTAD DE MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Primer Semestre de 2010 MAT1203 - Algebra Lineal Examen - Soluci´on 1. Sea V el espacio vectorial de las matrices de 2 × 2 con coeficientes reales y T la transformaci´on lineal T : V → V tal que: · ¸ 2 1 T (X) = MX − XM, donde M = 1 0 . a) Determine una base de Ker(T ). Soluci´ on: ·

a b c d

Base:

¸

∈ Ker(T ) ↔ b = c ∧ a = 2c + d ↔

½·

2 1 1 0

·

a b c d

¸

∈<

·

2 1 1 0

¸ ¸ · 1 0 , 0 1 >.

¸¾ ¸ · 1 0 . , 0 1

b) Calcule la dimensi´on de la Imagen de T . Soluci´ on: La dimensi´on de V es 4 y la dimensi´on de Ker(T ) es 2, entonces la dimensi´on de la imagen es 4 − 2 = 2.

1

2.

a) Sean u y v vectores en Rn y N la matriz de n × n dada por ¤ £ N = u v e3 e4 · · · en ,

donde e3 , · · · , en son vectores can´onicos en Rn . Calcule el determinante de N y encuentre condiciones para que N sea invertible. Soluci´ on: 







x1 y1 ..  ..    Si u = , entonces Det(N ) = x1 y2 − y2 x1 . yv= . . xn yn

N es invertible si y s´olo si x1 y2 − y2 x1 6= 0. ·

b) Sea A =

1 −3/2 0 −1/2

¸

2

y la sucesi´on en R dada por xk = Axk−1 y x0 =

Calcule el l´ım xk . k→∞

Soluci´ on: Valores propios: 1, −1/2. E1 =<

·

x0 = −8

1 0

·

¸ 1 0

> y E−1/2 =<

¸

·

1 1

−8 0

¸ .

+ 11

El l´ımite queda

·

·

1 1

¸

¸ .

2

>.

·

3 11

¸ .

3.

   a) Sea H un hiperplano en R5 dado por x1 − 2x2 + x4 + x5 = 0 y v =  Calcule la proyecci´on de v sobre H .



2 3  1 .  4 −1

Soluci´ on: 

1 −2    La proyecci´on sobre H ⊥ queda: 1/7   0 . 1 1







15  19   La proyecci´on sobre H queda: 1/7   7 . 29 −6



1  0 b) Calcule la descomposici´on A = QR para la siguiente matriz A =  1 0

Soluci´ on:

√ 1/ 2 0  Queda A = QR =  1/√2 0



√  0 1/ 3 " √ 2 1 √0  0  0 −1/√3 0 0 1/ 3

3

√ # 2 0 1 √0 . 0 3



1 1 1 0  . 1 −1  0 1

4.

a) Determine x e y en R tal que la siguiente expresi´on sea m´ınima: (2x + y − 2)2 + (x + y − 1)2 + (3 − y )2 . Soluci´ on: Queda: x = −1/2 e y = 5/2.



1 1 0 b) Pruebe que la matriz P =  1 3 1

0 1 1 −1 −1 2 1 0



1 1  es una matriz de proyecci´on y 0  2

determine una base del espacio sobre el cual proyecta. Soluci´ on:

Se prueba que P = P t y P 2 = P . El espacio pedido propio 1.      1  0  Base:  1  ,    1

es la imagen de P o bien el espacio propio asociado al valor 

1   1  . 0   2

4

  a 0 0 0  0 a 0 0  y a ∈ R.   5. Sea A = 0 0 a 1 0

1 a

0

a) Determine los valores de a para que A sea positiva definida. Soluci´ on: Tomando los determinantes de las submatrices principales o bien los valores propios la condici´on queda a > 1. b) Determine una base del siguiente subespacio:     1      1  U = x ∈ R4 tal que xt A  1  = 0 .     1

Soluci´ on:

      −1 − 1/a  −1 − 1/a −1     1   0  0   , . Base:  0  ,     0  1    0

1

0

c) Diagonalice ortogonalmente A. Soluci´ on: 





a 0 0 0 1 0 0 0   0 1  0 a −1 P AP =  0 0 a + 1 , con P =  0 0 0  0 0 0 a−1 0 0

5

0 √0 1/√2 1/ 2



0 √0 . 1/√2  −1/ 2...