Regresión y Correlación Lineal Simple – Ejercicios Resueltos PDF

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Ejercicios Resueltos:
-Estimación de los parámetros de Modelo de Regresión
-Prueba de Hipótesis e Intervalos de Confianza
-Coeficiente de Determinación (R2)
-Aplicaciones...

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8.- Regresión y Correlación Lineal Simple – Ejercicios Resueltos –  Estimación de los parámetros de Modelo de Regresión  Prueba de Hipótesis e Intervalos de Confianza  Coeficiente de Determinación (R2)  Aplicaciones

08. Regresión y correlación lineal simple – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTÁDISTICO

1. En la producción de herramientas, el método para deformar acero a temperatura normal mantiene una relación lineal con la dureza del mismo ya que, a medida que la deformación crece, se ve afectada la dureza del acero. Para investigar esta relación se evaluaron 12 muestras de acero, los resultados obtenidos se muestran a continuación: Muestra Deformación (en mm) Dureza Brinell (en kg/mm2 )

1 6 68

2 9 67

3 10 66

4 11 53

5 13 52

6 15 50

7 18 48

8 22 44

9 26 40

10 28 37

11 33 34

12 35 32

Suponiendo validos los supuestos necesarios: 1.1) Interprete la pendiente del modelo de regresión lineal, la cual relaciona la dureza Brinell con la deformación del acero, en el contexto del problema y estime la dureza Brinell de las muestras de acero cuando la deformación del acero es 15,5 mm. Justifique su respuesta 1.2) Estime con 90% de confianza, la dureza Brinell del acero, cuando la deformación del acero es de 26 mm.

1.1) Solución: Sean: 𝑥 = “Deformación, en mm”; 𝑦 = “Dureza Brinell, en kg/mm2” 𝑦 = 𝑏0 + 𝑏1 𝑥 𝐶𝑜𝑛 𝑏0 = 72,407; 𝑏1 = −1,229 → 𝑦 = 72,407 − 1,229 𝑥

Respuesta: Pendiente (𝑏1 = −1,229): Cuando la deformación del acero aumenta en un milímetro la dureza Brinell disminuye en 1,229 kg/mm2. 𝑦(𝑥 = 15,5) = 72,407 − 1,229 ∙ 15,5 = 53,3575

Respuesta: La dureza Brinell de las muestras de acero cuando la deformación del acero es 15,5 m, corresponde a 53,3575 kg/mm2. 1.2) Solución: La fórmula para determinar el intervalo confidencial: 𝐼𝐶(𝑌)1−𝛼 = (𝑏0 + 𝑏1 𝑥 ± 𝑡(𝑛−2; 1−𝛼 ) ∙ 𝑠𝑦.𝑥 √1 + 2

(𝑥 − 𝑥)2 1 + ) 𝑛 ∑(𝑥𝑖 − 𝑥 )2

Con: 𝑥 = 26; 1 − 𝛼 = 0,90; 𝑛 = 12; 𝑆𝑥 = 9,8057; 𝑆𝑦 = 12,6644; 𝑥 = 18,8333 Reemplazando, obtenemos: 𝑛−1 12 − 1 (12,66442 − 1,2292 9,80572 ) = 4,0830 𝑠𝑦.𝑥 = √ (𝑆𝑦 2 − 𝑏1 2 𝑆𝑥 2 ) = √ 12 − 2 𝑛−2

(𝑥 − 𝑥 )2 = (26 − 18,8333)2 = 51,3616 ;

∑(𝑥𝑖 − 𝑥)2 = (𝑛 − 1) 𝑆𝑥 2 = 11 ∙ 9,80572 = 1057,6693

𝐼𝐶 (𝑌 )0,90 = (72,407 − 1,229 ∙ 26 ± 𝑡(10;0,95) ∙ 4,0830√1 + 𝐶𝑜𝑛 𝑡(10;0,95) = 1,8125; →

1 51,3616 ) + 12 1057,6693

𝐼𝐶 (𝑌 )0,90 = [32,6012; 48,2742]

Respuesta: El intervalo [32,6012; 48,2742] contiene la dureza Brinell del acero, cuando la deformación del acero es de 26 mm, con un 90% de confianza.

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08. Regresión y correlación lineal simple – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTÁDISTICO

2.- Se toma una muestra aleatoria de 10 piezas de plástico, utilizadas en cierta maquinaria. Se registra la resistencia (Y) a la fractura, en Newton (N) y la concentración (X) de un componente H, expresada en porcentaje, utilizada en la fabricación de las piezas de plásticos, obteniendo la siguiente información: Pieza X (% H) Y (Resistencia)

1 2,0 3,04

2 2,7 3,05

3 3,6 3,12

4 4,5 3,57

5 5,0 7,82

6 5,7 8,68

7 6,2 9,71

8 6,5 10,20

9 7,0 11,32

10 7,5 12,3

Suponiendo que existe asociación lineal entre X e Y: 2.1) Interprete la pendiente del modelo de regresión lineal, ajustado mediante el criterio de los mínimos cuadrados, que relaciona la resistencia con la concentración del componente H, en el contexto del problema y estime la resistencia a la fractura de las piezas cuando la concentración del componente H es de 7,2%. Justifique su respuesta 2.2) Estime, con 95% de confianza, la resistencia media a la fractura de las piezas que tienen 5,7% de concentración del componente H 2.1) Solución: Sea:

𝑥 = “Concentración de un componente H, en porcentaje” 𝑦 = “Resistencia a la fractura, en Newton”

𝑦 = 𝑏0 + 𝑏1 𝑥

𝐶𝑜𝑛 𝑏0 = −2,4110 ; 𝑏1 = 1,9116 → 𝑦 = −2,4110 + 1,9116𝑥

Respuesta: Pendiente (𝑏1 = 1,9116): Cuando la concentración del componente H aumenta en un 1%, la resistencia a la fractura de la pieza de plástico aumenta en 1,9116 Newton 𝑦(𝑥 = 7,2) = −2,4110 + 1,9116 ∙ 7,2 = 11,3525

Respuesta: La resistencia a la fractura de las piezas cuando la concentración del componente H es de 7,2%, corresponde a 11,3525 Newton. 2.2) Solución: La fórmula para determinar el intervalo confidencial: 𝐼𝐶(𝜇𝑦.𝑥 )1−𝛼 = (𝑏0 + 𝑏1 𝑥 ± 𝑡(𝑛−2; 1−𝛼 Reemplazando, obtenemos:

2

∙ 𝑠𝑦.𝑥 √ )

(𝑥 − 𝑥 )2 1 ) + 𝑛 ∑(𝑥𝑖 − 𝑥 )2

Con: 𝑥 = 5,7; 1 − 𝛼 = 0,95; 𝑛 = 10; 𝑆𝑥 = 1,8524; 𝑆𝑦 = 3,7289; 𝑥 = 5,07

𝑛 −1 10 − 1 2 (3,72892 − 1,91162 ∙ 1,85242 ) = 1,2395 𝑠𝑦.𝑥 = √ (𝑆𝑦 2 − 𝑏1 2 𝑆𝑥 ) = √ 10 − 2 𝑛−2

(𝑥 − 𝑥 )2 = (5,7 − 5,07)2 = 0,3969 ;

∑(𝑥𝑖 − 𝑥 )2 = (𝑛 − 1) 𝑆𝑥 2 = 9 ∙ 1,85242 = 30,8825

𝐼𝐶(𝜇𝑦.𝑥 )0,95 = (−2,4110 + 1,9116 ∙ 5,7 ± 𝑡(𝑛−2; 1−𝛼 𝐶𝑜𝑛 𝑡(8;0,975) = 2,3060; →

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2

)

∙ 1,2395 √

0,3969 1 + ) 10 30,8825

𝐼𝐶(𝜇𝑦.𝑥 )0,95 = [7,5249; 9,4453]

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08. Regresión y correlación lineal simple – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTÁDISTICO

Respuesta: El intervalo [7,5249; 9,4453] contiene la resistencia media a la fractura de las piezas que tienen un 5,7% de concentración del componente H con una confianza del 95%. 3. Se encontró la siguiente información entre la concentración de cierta sustancia, expresada en porcentaje, y la lectura en el colorímetro medido en lux, para una muestra aleatoria de tamaño 6. CONCENTRACIÓN (X) LECTURA (Y)

4 80

5 170

6 260

7 330

8 390

9 430

Bajo el supuesto que existe una relación lineal entre las variables 3.1) Encuentre un intervalo con una confianza del 95%, para estimar la lectura en el colorímetro de todas las sustancias que tengan una concentración de 5.5 por ciento. 3.2) Con  = 0.10 ¿Es posible concluir que la pendiente de la ecuación de regresión es mayor que 67?

3.1) Solución: Sea: 𝑥 = “Concentración, en porcentaje”; 𝑦 = “Lectura en el colorímetro, en lux” 𝑦 = 𝑏0 + 𝑏1 𝑥

𝐶𝑜𝑛 𝑏0 = −183,9048; 𝑏1 = 70,8571 → 𝑦 = −183,9048 + 70,8571 𝑥

La fórmula para determinar el intervalo confidencial:

𝐼𝐶(𝑌)1−𝛼 = (𝑏0 + 𝑏1 𝑥 ± 𝑡(𝑛−2; 1−𝛼 ) ∙ 𝑠𝑦.𝑥 √1 + 2

Reemplazando, obtenemos:

(𝑥 − 𝑥)2 1 ) + 𝑛 ∑(𝑥𝑖 − 𝑥 )2

Con: 𝑥 = 5,5; 1 − 𝛼 = 0,95; 𝑛 = 6; 𝑆𝑥 = 1,8708; 𝑆𝑦 = 133,8158; 𝑥 = 6,5

𝑛−1 6−1 (133,81582 − 70,85712 1,87082 ) = 20,4529 𝑠𝑦.𝑥 = √ (𝑆𝑦 2 − 𝑏1 2 𝑆𝑥 2 ) = √ 𝑛−2 6−2 (𝑥 − 𝑥 )2 = (5,5 − 6,5)2 = 1 ;

∑(𝑥𝑖 − 𝑥)2 = (𝑛 − 1) 𝑆𝑥 2 = 5 ∙ 1,87082 = 17,4995

𝐼𝐶(𝑌 )0,95 = (−183,9048 + 70,8571 ∙ 5,5 ± 𝑡(4;0,975) ∙ 20,4529√1 + 𝐶𝑜𝑛 𝑡(4;0,975) = 2,7764; →

1 1 + ) 6 17,4995

𝐼𝐶 (𝑌 )0,95 = [142,9898; 268,6287]

Respuesta: El intervalo [142,9898; 268,6287] contiene la lectura en el colorímetro de las sustancias que tengan una concentración de 5,5%, con una confianza del 95%. 3.2) Solución: Las hipótesis que nos interesan contrastar son: 𝐻0 : 𝛽1 = 67 𝐻1 : 𝛽1 > 67

Con: 𝑛 = 12; 𝑠𝑦.𝑥 = 20,4529; ∑(𝑥𝑖 − 𝑥)2 = 17,4995

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08. Regresión y correlación lineal simple – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTÁDISTICO

Entonces, el estadístico de prueba es: 𝑇=

𝑏1 − 67

𝑏1 𝑠−𝑦.𝑥67

20,4529 70,8571 − 67 = 0,7889 = 𝑆𝑏1 √17,4995 La Región Crítica (Con 𝛼 = 0,10): √∑(𝑥𝑖−𝑥 )2 𝑅𝐶 = {𝑥 | 𝑇 > 𝑡(𝑛−2; 1− 𝛼) } → 𝑅𝐶 = {𝑥 | 𝑇 > 𝑡(10; 0,90) } → 𝑅𝐶 = {𝑥 | 𝑇 > 1,3722}

=

Respuesta: Como 𝑇 ∈ 𝑅𝐶 , no se rechaza la hipótesis nula, es por esto que es posible concluir que la pendiente de la ecuación de regresión es mayor que 67 con un 10% de significación. 4. Los datos que se presentan a continuación muestran el contenido de carbono (%) y la resistencia a la tracción de cierto tipo de barra de acero Barra Carbono (%) Resistencia (kg/cm2)

1 2,0 43

2 2,4 46

3 2,2 45

4 2,3 44

5 2,5 45

6 2,8 48

7 2,2 43

8 2,7 47

9 2,4 44

10 2,3 45

11 2,0 42

12 2,2 44

En base a información obtenida, y suponiendo validos los supuestos necesarios: 4.1) Estime la ecuación de regresión lineal que permita predecir la resistencia a la tracción de las barras de este tipo de acero a partir del contenido de carbono. 4.2) ¿Es posible concluir con 5% de nivel significación que el contenido de carbono de las barras de este tipo de acero se asocia linealmente con la resistencia a la tracción? 4.3) Encontrar el porcentaje de variación la resistencia a la tracción de las barras de acero que no es explicada por el contenido de carbono. 4.1) Solución: Sean: 𝑥 = “Contenido de carbono, en porcentaje”; 𝑦 = “Resistencia a la tracción, en kg/cm2” 𝑦 = 𝑏0 + 𝑏1 𝑥 𝐶𝑜𝑛 𝑏0 = 29,85; 𝑏1 = 6,35 → 𝑦 = 29,85 + 6,35 𝑥 4.2) Solución: Las hipótesis que nos interesan contrastar son: 𝐻0 : 𝜌 = 0 𝐻1 : 𝜌 ≠ 0

Entonces, el estadístico de prueba es: 𝑇=

𝑟 √𝑛 − 2 √1 −

La Región Crítica (Con 𝛼 = 0,05): 𝑅𝐶 = {𝑥 | 𝑇 < −𝑡(𝑛−2; 1− 𝛼

2

)

𝑟2

→

𝑇=

ó 𝑇 > 𝑡(𝑛−2; 1− 𝛼 ) } 2

0,9071 √12 − 2 √1 − 0,90712

Con: 𝑛 = 12; 𝑟 = 0,9071 = 6,8149

→ 𝑅𝐶 = {𝑥 | 𝑇 < −𝑡(10 ; 0,975) ó 𝑇 > 𝑡(10; 0,975) }

𝑅𝐶 = {𝑥 | 𝑇 < −2,2281 ó 𝑇 > 2,2281}

Respuesta: Como 𝑇 ∈ 𝑅𝐶 , se rechaza la hipótesis nula, es decir, con 5% de significación, existe asociación lineal entre el contenido de carbono de las barras de este tipo y la resistencia a tracción.

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08. Regresión y correlación lineal simple – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTÁDISTICO

4.3) Solución: 1 − 𝑅2 = 1 − 0,90712 = 0,1772

Respuesta: El 17,72% de variabilidad de la resistencia a la tracción está explicada por otros factores.

5. En la producción de herramientas, el método para deformar acero a temperatura normal mantiene una relación lineal con la dureza del mismo ya que, a medida que la deformación crece, se ve afectada la dureza del acero. Para investigar esta relación se evaluaron 12 muestras de acero, los resultados obtenidos se muestran a continuación: Muestra Deformación (en mm)

1 6

2 9

3 10

4 12

5 14

6 15

7 18

8 22

9 26

10 28

11 33

12 35

Dureza Brinell (en kg/mm2 ) 70

68

66

55

52

50

48

44

40

37

35

30

Suponiendo validos los supuestos necesarios 5.1) Interprete el coeficiente de determinación en el contexto del problema. Justifique 5.2) Estime con 95% de confianza, la dureza Brinell media del acero, cuando la deformación del acero es de 33 mm. 5.3) ¿Es posible concluir que existe una relación lineal inversa entre las variables en estudio, con un 2,5% de nivel de significación?

5.1) Solución: Sean: 𝑥 = “Deformación, en mm”; 𝑦 = “Dureza Brinell, en kg/mm2” 𝑦 = 𝑏0 + 𝑏1 𝑥 𝐶𝑜𝑛 𝑏0 = 74,6589; 𝑏1 = −1,3198 → 𝑦 = 74,6589 − 1,3198 𝑥 𝑟 = −0,9624

𝑅2 = (−0,9624)2 = 0,9262

Respuesta: El 92,62% de la variación de la dureza Brinell del acero está determinada por la deformación. 5.2) Solución: La fórmula para determinar el intervalo confidencial: 𝐼𝐶(𝜇𝑦.𝑥 )1−𝛼 = (𝑏0 + 𝑏1 𝑥 ± 𝑡(𝑛−2; 1−𝛼 Reemplazando, obtenemos:

2

∙ 𝑠𝑦.𝑥 √ )

(𝑥 − 𝑥 )2 1 ) + 𝑛 ∑(𝑥𝑖 − 𝑥 )2

Con: 𝑥 = 33; 1 − 𝛼 = 0,95; 𝑛 = 12; 𝑆𝑥 = 9,6859; 𝑆𝑦 = 13,2833; 𝑥 = 19

𝑛−1 12 − 1 (13,28332 −1,31982 9,68592 ) = 3,7858 (𝑆𝑦 2 − 𝑏1 2 𝑆𝑥 2 ) = √ 𝑠𝑦.𝑥 = √ 𝑛−2 12 − 2

(𝑥 − 𝑥 )2 = (33 − 19)2 = 196 ;

∑(𝑥𝑖 − 𝑥)2 = (𝑛 − 1) 𝑆𝑥 2 = 11 ∙ 9,68592 = 1031,9832

𝐼𝐶(𝜇𝑦.𝑥 )0,90 = (74,6589 − 1,3198 ∙ 33 ± 𝑡(10;0,975) ∙ 3,7858√ 𝐶𝑜𝑛 𝑡(10;0,975) = 2,2281; →

196 1 + ) 12 1031,9832

𝐼𝐶(𝜇𝑦.𝑥 )0,95 = [26,6961; 35,5149]

Respuesta: El intervalo [26,6961; 35,5149] contiene la dureza Brinell media del acero, cuando la deformación del acero es de 33 mm, con un 95% de confianza.

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08. Regresión y correlación lineal simple – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTÁDISTICO

5.3) Solución: Las hipótesis a contrastar para determinar si estas muestras están relacionadas linealmente: 𝐻0 : 𝜌 ≥ 0 𝐻1 : 𝜌 < 0 𝐶𝑜𝑛: 𝑟 = −0,9624; 𝑛 = 12

Luego, para determinar el estadístico de prueba, tenemos: −0,9624√12 − 2 𝑟√𝑛 − 2 → 𝑇= = −11,2039 𝑇= 2 √1 − 𝑟 √1 − 0,96242 La Región Crítica (𝐶𝑜𝑛 𝛼 = 0,025): 𝑅𝐶 = { 𝑥 |𝑇 < −𝑡(𝑛−2; 1− 𝛼 ) } → 𝑅𝐶 = { 𝑥 | 𝑇 < −𝑡(10; 0,975) } → 𝑅𝐶 = { 𝑥 | 𝑇 < −2,2281}

Respuesta: Como 𝑇 ∈ 𝑅𝐶 , en conclusión hay información suficiente para rechazar la hipótesis nula, es decir, existe una relación lineal inversa entre las variables en estudio, con 𝛼 = 0,025.

6. Se encontró la siguiente información entre la concentración de cierta sustancia, expresada en porcentaje, y la lectura en el colorímetro en lux, para una muestra aleatoria de tamaño 8. CONCENTRACIÓN (X) LECTURA (Y)

4 80

5 170

5 200

6 260

7 330

7 334

8 390

9 430

Bajo el supuesto que existe una relación lineal entre las variables 6.1) Determinar el modelo de regresión lineal e intérprete el pendiente. 6.2) Encuentre un intervalo con una confianza del 95%, para estimar la lectura en el colorímetro de todas las sustancias que tengan una concentración de 6.5 por ciento. 6.3) Esboce un gráfico adecuado que muestre la ecuación de regresión estimada 6.1) Solución: Sean: 𝑥 = “Concentración, en porcentaje”; 𝑦 = “Lectura en el colorímetro, en lux” 𝑦 = 𝑏0 + 𝑏1 𝑥

𝐶𝑜𝑛 𝑏0 = −168,7925; 𝑏1 = 69,4969 → 𝑦 = −168,7925 + 69,4969 𝑥

Respuesta: Pendiente (𝑏1 = 69,4969): Cuando la concentración de la sustancia aumenta en un 1%, la lectura en el colorímetro aumenta en 69,4969 lux 6.2) Solución: La fórmula para determinar el intervalo confidencial: 𝐼𝐶(𝑌)1−𝛼 = (𝑏0 + 𝑏1 𝑥 ± 𝑡(𝑛−2; 1−𝛼 ) ∙ 𝑠𝑦.𝑥 √1 + 2

(𝑥 − 𝑥)2 1 + ) 𝑛 ∑(𝑥𝑖 − 𝑥 )2

Con: 𝑥 = 6,5; 1 − 𝛼 = 0,95; 𝑛 = 8; 𝑆𝑥 = 1,6850; 𝑆𝑦 = 118,7142; 𝑥 = 6,375 Reemplazando, obtenemos: 8−1 𝑛−1 (118,71422 − 69,49692 1,68502 ) = 21,0588 (𝑆𝑦 2 − 𝑏1 2 𝑆𝑥 2 ) = √ 𝑠𝑦.𝑥 = √ 8−2 𝑛−2

(𝑥 − 𝑥 )2 = (6,5 − 6,375)2 = 0,0156 ;

∑(𝑥𝑖 − 𝑥 )2 = (𝑛 − 1) 𝑆𝑥 2 = 7 ∙ 1,68502 = 19,8746

𝐼𝐶(𝑌 )0,95 = (−168,7925 + 69,4969 ∙ 6,5 ± 𝑡(6;0,975) ∙ 21,0588√1 +

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1 0,0156 ) + 8 19,8746

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08. Regresión y correlación lineal simple – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTÁDISTICO

𝐶𝑜𝑛 𝑡(6;0,975) = 2,4469; →

𝐼𝐶 (𝑌 )0,95 = [228,2638; 337,6109]

Respuesta: El intervalo [228,2638; 337,6109] contiene la lectura en el colorímetro de todas las sustancias que tengan una concentración de 6,5%, con una confianza del 95%. 6.3) Solución:

Lectura v/s Concentración 500

Lectura del colorimetro (lux)

400 300 200 100 0 -100

0

2

4

6

8

10

-200 -300

Concentración (%)

7. Se desea estudiar si la resistencia de una mezcla de hormigón es explicada por el número de días de fragüe de dicha mezcla. Para ello se tomó una muestra de 12 mezclas, obteniéndose la siguiente información. Mezcla Días de fragüe Resistencia (kg/cm2)

1 1 13

2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 7 2 3 7 7 3 2 21,9 29,8 32,4 24,5 24,2 30,4 34,5 26,2 24,5

11 1 13

12 10 42,6

Suponiendo validos los supuestos necesarios 7.1) ¿Es posible concluir que existe una relación lineal directa entre las variables en estudio, con un 5% de nivel de significación? 7.2) Si usted quiere probar que el coeficiente de correlación lineal entre las variables en estudio difiere de 0.975, con  = 0.01. Determine, evalúe y grafique la región de rechazo de la hipótesis nula 7.1) Solución: Sean: 𝑥 = “Número de días de fragüe”; 𝑦 = “Resistencia de una mezcla de hormigón, en kg/cm2” Debemos contrastar las siguientes hipótesis, para determinar si estas muestras están relacionadas linealmente: 𝐻0 : 𝜌 ≤ 0 𝐻1 : 𝜌 > 0 𝐶𝑜𝑛: 𝑟 = 0,9027; 𝑛 = 12 Página 188

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08. Regresión y correlación lineal simple – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTÁDISTICO

Luego, para determinar el estadístico de prueba, tenemos: 𝑇=

𝑟√𝑛 − 2

√1 − La Región Crítica (𝐶𝑜𝑛 𝛼 = 0,05):

𝑟2

0,9027√12 − 2 = 6,6344 𝑇 = √1 − 0,90272

→

𝑅𝐶 = { 𝑥 | 𝑇 > 𝑡(𝑛−2; 1− 𝛼) } → 𝑅𝐶 = { 𝑥 | 𝑇 > 𝑡(10; 0,95) } → 𝑅𝐶 = { 𝑥 | 𝑇 > 1,8125}

Respuesta: Como 𝑇 ∈ 𝑅𝐶 , en conclusión hay información suficiente para rechazar la hipótesis nula, es decir, existe una relación lineal directa entre las variables en estudio, con 𝛼 = 0,05. 7.2) Solución: Las hipótesis que nos interesan contrastar son: 𝐻0 : 𝜌 = 0,95 𝐻1 : 𝜌 ≠ 0,95

La Región Crítica (Con 𝛼 = 0,01):

𝑅𝐶 = {𝑥 | 𝑇 < −𝑡(𝑛−2; 1− 𝛼 ) ó 𝑇 > 𝑡(𝑛−2; 1− 𝛼 ) } 2

→ 𝑅𝐶 = {𝑥 | 𝑇 < −𝑡(10 ; 0,995) ó 𝑇 > 𝑡(10 ; 0,995) }

2

𝑅𝐶 = {𝑥 | 𝑇 < −3,1693 ó 𝑇 > 3,1693}

8. Se desea estudiar si la resistencia de una mezcla de cemento es explicada por el número de días de fragüe de dicha mezcla. Para ello se tomó una muestra de 10 mezclas, obteniéndose la siguiente información. Mezcla Días de fragüe Resistencia (kg/cm2)

1 1 20

2 2 21,9

3 3 29,8

4 7 32,4

5 2 24,5

6 3 24,2

7 7 30,4

8 7 34,5

9 3 26,2

10 2 24,5

Suponiendo validos los supuestos necesarios 8.1) Determinar el modelo de regresión lineal e intérprete el intercepto 8.2) ¿Es posible concluir que existe una relación lineal inversa entre las variables en estudio, con un 5% de nivel de significación? 8.3) Con  = 0.05 ¿Es posible concluir que la pendiente de la ecuación de regresión es igual a 1,78? 8.1) Solución: Sean: 𝑥 = “Número de días de fragüe”; 𝑦 = “Resistencia, en kg/cm2” 𝑦 = 𝑏0 + 𝑏1 𝑥

𝐶𝑜𝑛 𝑏0 = 20,1623; 𝑏1 = 1,8048 → 𝑦 = 20,1623 + 1,8048 𝑥

Respuesta: Intercepto (𝑏0 = 20,1623): Cuando la los días de fragüe es igual a cero, la resistencia de la mezcla de cemento es iguala 20,1623 kg/cm2 8.2) Solución: Las hipótesis a contrastar para determinar si estas muestras están relacionadas linealmente: 𝐻0 : 𝜌 ≥ 0 𝐻1 : 𝜌 < 0 𝐶𝑜𝑛: 𝑟 = 0,9021; 𝑛 = 10 Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas

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08. Regresión y correlación lineal simple – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTÁDISTICO

Luego, para determinar el estadístico de prueba, tenemos: 𝑇=

𝑟√𝑛 − 2

0,9021√10 − 2 = 5,9128 𝑇 = √1 − 0,90212

→

√1 − 𝑟2 La Región Crítica (𝐶𝑜𝑛 𝛼 = 0,05): 𝑅𝐶 = { 𝑥 |𝑇 < −𝑡(𝑛−2; 1− 𝛼) } → 𝑅𝐶 = { 𝑥 | 𝑇 < −𝑡(8; 0,95) } → 𝑅𝐶 = { 𝑥 | 𝑇 < −1,8595}

Respuesta: Como 𝑇 ∈ 𝑅𝐶 , en conclusión no...