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FACULDADE ASSIS GURGACZ – FAG

Áreas e Volumes Conjuntos Numéricos Engenharia

Profa: Alessandra Stadler Favaro Misiak

Cascavel – 2009

Introdução ao Cálculo

Engenharia FAG

O conceito de região poligonal

Áreas

Uma região poligonal é a reunião de um número finito de regiões triangulares não-sobrepostas e coplanares (estão no mesmo plano). Na gravura abaixo, apresentamos quatro regiões poligonais. Observe que uma região triangular é por si mesmo uma região poligonal e, além disso, uma região poligonal pode conter "buracos".

Uma região poligonal pode ser decomposta em várias regiões triangulares e isto pode ser feito de várias maneiras

O estudo de área de regiões poligonais depende de alguns conceitos primitivos: 1. A cada região poligonal corresponde um único número real positivo chamado área. 2. Se dois triângulos são congruentes então as regiões limitadas por eles possuem a mesma área. 3. Se uma região poligonal é a reunião de n regiões poligonais não-sobrepostas então sua área é a soma das áreas das n-regiões. Exemplo: A área da figura poligonal ABCDEFX pode ser obtida pela decomposição da região poligonal em regiões triangulares.

Após isto, realizamos as somas dessas áreas triangulares. Área(ABCDEFX)=área(XAB)+área(XBC)+...+área(XEF)

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Introdução ao Cálculo

Engenharia FAG

Unidade de área Para a unidade de medida de área, traçamos um quadrado cujo lado tem uma unidade de comprimento.

Esta unidade pode ser o metro, o centímetro, o quilômetro, etc. Área do Retângulo A figura ao lado mostra o retângulo ABCD, que mede 3 unidades de comprimento e 2 unidades de altura. O segmento horizontal que passa no meio do retângulo e os segmentos verticais, dividem o retângulo em seis quadrados tendo cada um 1 unidade de área.

A área do retângulo ABCD é a soma das áreas destes seis quadrados. O número de unidades de área do retângulo coincide com o obtido pelo produto do número de unidades do comprimento da base AB pelo número de unidades da altura BC. Assim: A= b× h Área do quadrado Um quadrado é um caso particular de retângulo cuja medida da base é igual à medida da altura. A área do quadrado pode ser obtida pelo produto da medida da base por si mesma.

Esta é a razão pela qual a segunda potência do número x, indicada por x², tem o nome de quadrado de x e a área A do quadrado é obtida pelo quadrado da medida do lado x. A = x²

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Introdução ao Cálculo

Engenharia FAG

Área do Paralelogramo Qualquer lado do paralelogramo pode ser tomado como sua base e a altura correspondente é o segmento perpendicular à reta que contém a base até o ponto onde esta reta intercepta o lado oposto do paralelogramo. No paralelogramo ABCD abaixo à esquerda, os segmentos verticais tracejados são congruentes e qualquer um deles pode representar a altura do paralelogramo em relação à base AB.

No paralelogramo RSTV acima à direita, os dois segmentos tracejados são congruentes e qualquer um deles pode representar a altura do paralelogramo em relação à base RV. A área A do paralelogramo é obtida pelo produto da medida da base b pela medida da altura h. A=b×h Área do losango O losango é um paralelogramo e a sua área é também igual ao produto do comprimento da medida da base pela medida da altura.

A área do losango é o semi-produto das medidas das diagonais.

A

d1 * D2 2

Área do trapézio Em um trapézio existe uma base menor de medida b1, uma base maior de medida B2 e uma altura com medida h.

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Introdução ao Cálculo

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A área A do trapézio é o produto da média aritmética entre as medidas das bases pela medida da altura.

A

 B1  b2  h 2

Área do Triângulo A área de um triângulo qualquer é a metade do produto da medida da base pela medida da altura.

A

b h 2

Casos especiais: Conhecidos dois lados (a e b) e o ângulo (

^

C ) formado por eles:

 a b sen(C ) A 2



Conhecidos três lados (a, b e c):

p  A

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a b c 2

p ( p  a) ( p  b ) ( p  c )

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Introdução ao Cálculo

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Área do Triângulo eqüilátero No triangulo eqüilátero, todos os lados são congruentes, todos os ângulos internos são congruentes (600, 600, 600) e toda altura é também mediana e bissetriz. Assim:

A

l2  3 4

Área do hexágono regular O hexágono regular é um polígono especial, pois é formado por seis triângulos eqüiláteros. Assim:

 l2  3   6 A   4   

Área do circulo regular Área do círculo é o valor limite da seqüência das áreas das regiões poligonais regulares inscritas no círculo quando o número n de lados das poligonais aumenta arbitrariamente.

A  r 2

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Introdução ao Cálculo

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EXERCÍCIOS: 1. Feito o levantamento de um terreno, foram determinados os lados indicados na figura abaixo. Nessas condições, qual é a área do terreno?

2. Um terreno tem a forma de um trapézio de bases 20m e 14m, e a altura 11m. Nesse terreno, construiu-se uma piscina retangular de 8m por 5m. No restante do terreno foram colocadas pedras. Qual área foi utilizada para colocar pedra? 3. Um campo de futebol tem 80 m de comprimento e 42 m de largura. Qual é a sua área? 4. O proprietário de uma casa quer transformar um quartinho em uma dispensa e quer azulejar as paredes. As medidas desse cômodo são: 2 paredes de 2 m de comprimento por 2 m de altura e outras 2 paredes de 1,5 m de comprimento por 2 m de altura, menos a medida da porta de entrada que é de 1 m por 2 m de altura. Sabendo que os azulejos medem 20 cm por 20 cm. Quantos azulejos, no mínimo, devem ser comprados. 5.

Uma piscina tem 25 m de comprimento por 10 m de largura por 2 m de profundidade. Quantos litros de água são necessários para enchê-la?

6. Um terreno tem forma quadrada, de lado 30,2m. Calcule a área desse terreno. 7. Para ladrilhar totalmente uma parede de 27m 2 de área foram usadas peças quadradas de 15cm de lado. Quantas peças foram usadas? 8. A área de um trapézio é 39m 2. A base maior mede 17m e a altura é 3m. Qual é a medida da base menor? 9. O perímetro de um triângulo eqüilátero é 30cm. Calcule a área desse triângulo. 10. De uma chapa de alumínio foi recortada uma região retangular eqüilátera de lado 20cm. Qual área dessa região foi recortada?

11. Qual é a área de toda a parte colorida da figura abaixo? E da área não pintada?

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Introdução ao Cálculo

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12. Calcule a área de uma região triangular limitada pelo triangulo cujos lados medem 4cm, 6cm e 8cm? 13. Calcule a área do terreno cuja forma e dimensões estão representadas pela figura.

14. Qual a área região triangular limitada pelo triangulo cujas as medidas estão indicadas na figura ao lado?

15. Um terreno tem a forma da figura abaixo e suas medidas estão indicadas na figura. Calcule a área desse terreno.

16. A área de um triângulo eqüilátero é de 16 3 cm2. Nessas condições, qual é perímetro do triângulo? 17. Calcule a área da região poligonal de uma cartolina limitada por um hexágono regular de lado 10cm. 18. Um piso de cerâmica tem a forma hexagonal regular. O lado do piso mede 8cm. Qual é a área desse piso? 19. Um hexágono regular tem 12cm de lado. Determine a área desse hexágono. 20. Uma pizzaria oferece aos seus clientes pizzas grandes, de forma circular, por R$ 5,40. Para atender alguns pedidos, a pizzaria passará a oferecer a seus clientes pizzas médias, também de forma circular. Qual deverá ser o preço da pizza média, se os preços das pizzas médias e grandes são proporcionais às suas áreas? ( raio da pizza grande 18cm e da média 12cm)

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Introdução ao Cálculo

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21. Um disco de cobre tem 20cm de diâmetro. Qual é a área desse disco? 22. Qual é a área da figura a seguir?

4m

4m 23. Quatro círculos de raios unitário, cujos centros são vértices de um quadrado, são tangentes exteriormente dois a dois. A área da parte sombreada é:

24. Na figura, ABCD é uma figura de lado igual a 8. Os arcos que limitam a região sombreada tem raios iguais a 8 e seus centros em A e C. Calcule a área pintada.

A

B

C

D

25. Determine a área das figuras a seguir: a)

10cm

b) 7cm

10cm 10cm

7cm

c)

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d)

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26. Determine a área das figuras Hachuradas. a)

b)

c)

d)

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Introdução ao Cálculo

Engenharia FAG Poliedros e Volumes

Poliedro Poliedro é um sólido limitado externamente por planos no espaço R³. As regiões planas que limitam este sólido são as faces do poliedro. As interseções das faces são as arestas do poliedro. As interseções das arestas são os vértices do poliedro. Cada face é uma região poligonal contendo n lados. Poliedros convexos são aqueles cujos ângulos diedrais formados por planos adjacentes têm medidas menores do que 180 graus. Outra definição: Dados quaisquer dois pontos de um poliedro convexo, o segmento que tem esses pontos como extremidades, deverá estar inteiramente contido no poliedro.

Poliedros Regulares Um poliedro é regular se todas as suas faces são regiões poligonais regulares com n lados, o que significa que o mesmo número de arestas se encontram em cada vértice. Tetraedro

Hexaedro (cubo)

Octaedro

Características dos poliedros convexos Notações para poliedros convexos: V: Número de vértices, F: Número de faces, A: Número de arestas, n: Número de lados da região poligonal regular (de cada face), a: Medida da aresta A e m: Número de ângulos entre as arestas do poliedro convexo. Característica do poliedro convexo

Medida da característica

Relação de Euler

V+F=A+2

Número m de ângulos diedrais

m=2A

Na tabela a seguir, você pode observar o cumprimento de tais relações para os cinco (5) poliedros regulares convexos. Estes poliedros são conhecidos como poliedros de Platão. Poliedro regular Cada face Faces Vértices Arestas Ângulos entre convexo é um (F) (V) (A) as arestas (m) Tetraedro

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triângulo equilátero

4

4

6

12

11

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Hexaedro

quadrado

6

8

12

24

Octaedro

triângulo equilátero

8

6

12

24

Dodecaedro

pentágono regular

12

20

30

60

Isocaedro

triângulo equilátero

20

12

30

60

Prisma Prisma é um sólido geométrico delimitado por faces planas, no qual as bases se situam em planos paralelos. Quanto à inclinação das arestas laterais, os prismas podem ser retos ou oblíquos. Prisma reto

Aspectos comuns

Prisma oblíquo

Bases são regiões poligonais congruentes A altura é a distância entre as bases Arestas laterais são paralelas com as mesmas medidas Faces laterais são paralelogramos Objeto Arestas laterais

Prisma reto têm a mesma medida são perpendiculares ao plano da base são retangulares

Arestas laterais Faces laterais

Prisma oblíquo têm a mesma medida são oblíquas ao plano da base não são retangulares

Quanto à base, os prismas mais comuns estão mostrados na tabela: Prisma triangular Prisma quadrangular

Base:Triângulo

Base:Quadrado

Prisma pentagonal

Prisma hexagonal

Base:Pentágono

Base:Hexágono

Seções de um prisma Seção transversal: É a região poligonal obtida pela interseção do prisma com um plano paralelo às bases, sendo que esta região poligonal é congruente a cada uma das bases.

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Introdução ao Cálculo

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Seção reta (seção normal): É uma seção determinada por um plano perpendicular às arestas laterais. Princípio de Cavalieri: Consideremos um plano P sobre o qual estão apoiados dois sólidos com a mesma altura. Se todo plano paralelo ao plano dado interceptar os sólidos com seções de áreas iguais, então os volumes dos sólidos também serão iguais.

Prisma regular É um prisma reto cujas bases são regiões poligonais regulares. Exemplos: Um prisma triangular regular é um prisma reto cuja base é um triângulo equilátero. Um prisma quadrangular regular é um prisma reto cuja base é um quadrado. Planificação do prisma Um prisma é um sólido formado por todos os pontos do espaço localizados dentro dos planos que contêm as faces laterais e os planos das bases.

As faces laterais e as bases formam a envoltória deste sólido. Esta envoltória é uma "superfície" que pode ser planificada no plano cartesiano. Tal planificação se realiza como se cortássemos com uma tesoura esta envoltória exatamente sobre as arestas para obter uma região plana formada por áreas congruentes às faces laterais e às bases. A planificação é útil para facilitar os cálculos das áreas lateral e total.

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Introdução ao Cálculo

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Área da superfície do prisma Em todo prisma, consideramos:

Área lateral (Al): é formada pela área da superfície lateral; Área total (At): é formada pela área da superfície lateral e pelas bases; EXEMPLOS: 1. Em um prisma hexagonal regular, a aresta da base mede 3cm e a aresta da face lateral mede 6cm. Calcule: a) área da base; b) área lateral; c) área total. 2. Uma indústria precisa fabricar 10.000 caixas de sabão com as medidas da figura abaixo. Desprezando as abas, calcule aproximadamente, quantos m2 de papelão serão necessários.

3. Quantos cm2 de cartolina, aproximadamente, foram usados para montar um cubo de 10cm de aresta? 4. Dispondo de uma folha de cartolina de 50cm de comprimento por 30cm de largura, pode-se construir uma caixa aberta cortando um quadrado de 8cm de lado em cada canto da folha. Quantos cm2 de material são necessários terá essa caixa? Volume de um prisma O volume de um poliedro correspondente à região de espaço limitada pelo poliedro. O volume de um prisma é dado por: V(prisma) = Abase.h 

Volume do paralelepípedo reto retangular: V = a.b.c



Volume do Hexaedro regular ou cubo:

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Introdução ao Cálculo

Engenharia FAG V = a3

EXEMPLOS: 1. Qual o volume de concreto necessário para fazer uma laje de 20cm de espessura em uma sala de 3m por 4m? 2. Quais são as medidas das arestas dos cubos cujos volumes são: a) 125 dm3 b) 3 3 cm3 3. Sabendo-se que foram gastos 0,96 m2 de material para se montar uma caixa cúbica , calcule o volume da mesma. 4. Qual o volume de areia que cabe em uma caixa de base hexagonal de aresta da base 11cm e de altura 35cm ? 5. Calcule o volume do prisma reto indicado na figura abaixo:

15cm 20cm

12 cm 25 cm

Introdução aos cilindros O conceito de cilindro é muito importante. Nas cozinhas encontramos aplicações intensas do uso de cilindros. Nas construções, observamos caixas d'água, ferramentas, objetos, vasos de plantas, todos eles com formas cilíndricas.

Os cilindros abaixo sugerem alguma aplicação importante em sua vida?

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Introdução ao Cálculo

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A Construção de cilindros Seja P um plano e nele vamos construir um círculo de raio r e tomemos também um segmento de reta AB que não seja paralelo ao plano P e nem esteja contido neste plano P. Um cilindro circular é a reunião de todos os segmentos congruentes e paralelos a AB com uma extremidade no círculo.

Observamos que um cilindro é uma superfície no espaço R³, mas muitas vezes vale a pena considerar o cilindro como a região sólida contida dentro do cilindro. Quando nos referirmos ao cilindro como um sólido usaremos aspas, isto é, "cilindro" e quando for à superfície, simplesmente escreveremos cilindro. A reta que contém o segmento AB é denominada geratriz e a curva que fica no plano do "chão" é a diretriz. Em função da inclinação do segmento AB em relação ao plano do "chão", o cilindro será chamado reto ou oblíquo, respectivamente, se o segmento AB for perpendicular ou oblíquo ao plano que contém a curva diretriz.

Objetos geométricos em um "cilindro" Em um cilindro, podemos identificar vários elementos: 1. Base: É a região plana contendo a curva diretriz e todo o seu interior. Num cilindro existem duas bases. 2. Eixo: É o segmento de reta que liga os centros das bases do "cilindro".

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Introdução ao Cálculo

Engenharia FAG

3. Altura: A altura de um cilindro é a distância entre os dois planos paralelos que contêm as bases do "cilindro". 4. Superfície Lateral: É o conjunto de todos os pontos do espaço, que não estejam nas bases, obtidos pelo deslocamento paralelo da geratriz sempre apoiada sobre a curva diretriz. 5. Superfície Total: É o conjunto de todos os pontos da superfície lateral reunido com os pontos das bases do cilindro. 6. Área lateral: É a medida da superfície lateral do cilindro. 7. Área total: É a medida da superfície total do cilindro. 8. Seção meridiana de um cilindro: É uma região poligonal obtida pela interseção de um plano vertical que passa pelo centro do cilindro com o cilindro. Classificação dos cilindros circulares 1. Cilindro circular oblíquo: Apresenta as geratrizes oblíquas em relação aos planos das bases. 2. Cilindro circular reto: As geratrizes são perpendiculares aos planos das bases. Este tipo de cilindro é também chamado de cilindro de revolução, pois é gerado pela rotação de um retângulo. 3. Cilindro eqüilátero: É um cilindro de revolução cuja seção meridiana é um quadrado. Área lateral e área total de um cilindro circular reto Em um cilindro circular reto, a área lateral é dada por: Alateral = 2  r h onde r é o raio da base e h é a altura do cilindro. A área total corresponde à soma da área lateral com o dobro da área da base.

Atotal = Alateral + 2. Abase Atotal = 2  r h  2  r2 Atotal = 2  r ( h  r )

Volume de um "cilindro" Em um cilindro, o volume é dado pelo produto da área da base pela altura.

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Introdução ao Cálculo

Engenharia FAG V = Abase .h

Se a base é um círculo de raio r, e pi=3,141593..., então: V =  r 2 h

Um cilindro circular equilátero é aquel...