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MECANICA VETORIAL PARA ENGENHEIROS - livro do Beer...

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Gabarito de Questões de Mecânica dos Sólidos Assunto: Cap. 3 – Corpos Rígidos: Sistemas Equivalentes (Beer) 3.97 – Determine as componentes do momento da força de 150N com relação ao ponto A.

200 mm A

120 mm 35o 150 N 40 mm 60 mm 20 mm

a) Cálculo dos vetores posição e força:

F

 mm

180i  120 j  100k

rD/A

Fx i  Fy j  Fz k

F cosTx i  F cosTy j  F cosTz k

F 150  0 i 150cos 35 q j 150sen35 k

F cosI i  FsenI j FsenT k

N 

b) Cálculo do momento da força com relação ao ponto A: MDA

rD/A x F

i

j

k

180

120

100

0

150

 cos 35q sen35





 

MD/A

150.ª  120    sen35  100    cos 35 i   0   180 .  sen35  j  180    co s 35  k ¬« ¼»

MDA

22611,67 i  15486,56 j  22117,11k N  mm

1

3.119 – Quatro forças são aplicadas no componente de máquinas ABDE. Substitua essas forças por um sistema de força-binário equivalente em A (Os pontos A, B, D e E estão localizados na metade da espessura do componente).

200 mm A

50 N

40 mm

300 N

20 mm 250 N

160 mm

100 mm 120 N

a) Cálculo dos vetores posição: rB1/A

220 i  mm

rB2/A

200 i  10 j mm 

rD/A

220 i  170 k  mm

rE/A

220 i  100  j  160 k  mm

 

b) Cálculo dos vetores força: FB1 FB2 FD FE

   N 50   j  N 250   k  N 120   i   N 300  i

c) Cálculo da força resultante em A (somando e subtraindo as forças em A): RAx

300  120

RAy

50  N

RAz

250  N

 420  N

d) Cálculo dos binários com relação a A. MB1

rB1/A x FB1

220 i x 300 i

N  mm 2

MB2



 

200 i  10 j » x 50  j ¬« ¼

rB2/A x FB2

 N mm

 ¼» x 250 k

 N

200 i  170 k

mm

MD

rD/A x FD

¬«

ME

rE/A x FE

    «¬ 220 i 100 j 160 k »¼ x 120 i

 

 

 

 N

mm

e) Cálculo do binário resultante em A. MRA

MB1  MB2  MD

 

ME



 

 

200  50 k  200  250 j  100 120 k  160 120  j

N  mm 

 N  mm

MRAx

0

MRAy

200  250  160  120

30800

MRAz

 200  50  100  120

 22000

 N  mm   N  mm

3

3.XX – Substitua as forças aplicadas na estrutura abaixo por um sistema de força-binário equivalente em A. R

¦ Fi

¦ ri x Fi

M

y

1m

1m C 150 N

0,5 m

B

0,5 m

250 N

D 300 N

3m

x

A

a) Cálculo dos vetores posição: rB/A

1 i  3,5 jº  m ¬ ¼

rC/A

¬

2 i  4 jº  m ¼

rD/A

¬

2 i  3 kº  m ¼

z

b) Cálculo dos vetores força: FB FC FD

   N 150  i   N  300   j  N 250  k

c) Cálculo da força resultante em A (somando e subtraindo as forças em A: RAx

150  N

RAy

300  N

RAz

 250  N

RA

RAx i  RAy j  RAz z 150 i  300  j  250  z   N

 

b) Cálculo do binário resultante em A.





 

 



 

 

MRA

1 i  3,5 j » x 250  k  « 2 i  4 j » x 150 i  « 2 i  3 j » x 300  j ¬« ¼ ¬ ¼ ¬ ¼

MRA

250 j  3,5  250  i  4 150  k  2 300  k

MRA

875  i  250 j  1200  k



 

 



 

 

 

N m  4

Assunto: Cap. 4 – Equilíbrio de Corpos Rígidos (Beer) 4.15 – Duas hastes AB e DE são conectadas por uma alavanca BCD como mostrado. Sabendo que a tração na haste AB é 720N, determine (a) a tração na haste DE, (b) a reação em C. 80 mm

120 mm

D

60 mm E

90 mm

TDE

TAB

RCx RCy

cosD

4 5

,

3

senD

5

E 180   90  D cos E

90  D

cos 90  cos D  sen90  senD

senD ,

senE

sen90  cosD  cos 90 senD

cosD

b) Imposição do equilíbrio de forças: o ¦ Fx

n ¦ Fy

¦M

B

0, RCx  TAB cos E

0

0, RCy  TAB sen E  TDE



(1) (2)

0









0, ª«rC/Bx i  rC/By j » x «RCx i  R Cy j »  « rD/Bx i  rD/By ¬ ¼ ¬ ¼ ¬



 









 

ª80 i  60  j x R Cx i  R Cy j  200 i  30 j x TDE  j «¬ »¼ «¬ »¼ «¬ »¼

 

 

 

60  RCx k  80  RCy k  200  TDE k

60  RCx  80  R Cy  200  TDE

 j ¼» x T  j  DE

0

 N  mm

0

0

(3)

0

c) Resolução das equações: De (1):

R Cx

720

3 5

De (2):

R Cy

720

4  TDE 5

432 N

(4)

576  TDE

(5)

Substituindo (4) e (5) em (3): 60  432  80   576  TDE   200  TDE

0

5

120  TDE RCy

72000

576  600



TDE

600  N 

1176  N

6

4.26 – A barra AB, articulada em A e presa em B ao cabo BD, suporta as cargas mostradas na figura. Sabendo que d = 200 mm, determine (a) a tração no cabo BD, (b) a reação em A. o ¦ Fx

0 , n ¦ Fy

0

, ¦ Mi

¦r xF i

0

i

RAy

RAx

TBD 100 mm 90 N

90 N 100 mm 100 mm 100 mm

a) Equações de equilíbrio: o ¦ Fx

0, RAx  TBD cos 45

0

(1)

n ¦ Fy

0, RAy  TBD sen45  90  90

¦M A

0, T BDsen45 300  TBD cos 45 100  90 100  90  200 90  300

TBD

300  sen45  100  cos 45

RAx

135 N

RAy

45 N

T

§ R Ay · a tan ¨ ¸ © R Ax ¹





0

(2)

TBD

0,

(3)

190,9 N

T 18,4 q

7

4.38 – A barra AD sustenta a carga de 600 N. O rolete D está apoiado em uma superfície sem atrito, e dois cabos BE e CF estão presos em B e C, respectivamente. Determine (a) a tração nos cabo BE e CF, (b) a reação em D.

TBE

80 mm

D

RDx

E TCF

600 N 100 mm

80 mm

100 mm

100 mm

a) Determinação dos ângulos: tan D

80 200

tanE

80 100

 

D E

21,8q 38,66q

b) Equilíbrio de forças o ¦ Fx

0, RDx  TBE cos D  TCF cos E

0

(1)

n ¦ Fy

0,  600  TBE sen D  TCF sen E

0

(2)

¦M D

0, 600  300  TBEsen D 200  TCFsen E.100

RDx

 3750 N

TBE

3231,1N

TCF

960,5 N

0,

(3)

8

Assunto: Cap. 5 – Cálculo de Centro de Gravidade e Centróide (Beer) 5.1 – Determinar o centróide das áreas abaixo. y 20 mm 30 mm

36 mm

24 mm

x

x.A

³ x.dA ¦ xi  A1

x

¦ xi  A1 ¦ A1

x

30 · § 36  30 · § 10  60  20   ¨ 20  ¸ ¨ ¸ 3 ¹ © 2 © ¹ § 36  30 · 60 20     ¨ ¸ © 2 ¹

y.A

mm

³ y.dA ¦ yi  A1

y

¦ y i  A1 ¦ A1

y

36 · § 36  30 · § 30   60  20  ¨24  ¸ ¨ ¸ 3 ¹ © 2 © ¹   60  20  §¨ 36 30 ·¸ © 2 ¹

mm

9

5.4 – Determinar o centróide da área formada por um arco parabólico. y

k.x 2

³ y.dA ³ y

y.A a

y

y el

.dA

a

y

³0 2 .y.dx

2 ³ y .dx 10 2 a ³ y.dx

a

³ y.dx 0

y

h

0

a

1

x

2 ³  k.x 

2

y

.dx

dx

x

0 a

2

³ k.x

2

a

.dx

0

a

y

ª x5 º « » k ¬ 5 ¼0 2 ª x3 º a « » ¬ 3 ¼0

para : x

y

a

3 h a2 2 a2 5

k a5 3 2 5 a3



a

el

k

h a2

a

0

2

.dx

0

k.a 3

3

k.a 3

a

³ x.k.x x



.dA

³ x.y.dx ³ x.k.x x

h

3h 10

³ x.dA ³ x

x.A

y

3k a 2 2 5

3

a

2

.dx

0

³x

3

.dx

0

k.a 3

3

a3 3

a

x

ª x4º « 4» ¬ ¼0 a3 3

x

3a 4

a4 4 a3 3

10

5.15 – Determine o centróide da figura abaixo.

vértice parábola 60 mm

60 mm

75 mm

Superfície parabólica:

3a ;y 8

x

h

3h ;A 5

c

120

2ah 3

Equação da parábola: y1  x 

a.x 2  bx  c

dy 1  x  dx

2a.x  b

para : x

0mm



para : x

0mm



para : x

75mm

y1  x 



120 752



y1 0  120

dy1  0



2a.0  b

dx y1  75

0



0



b

0

a.75 2  120

0



a



120

m



60

75 2

.x 2  120

a

h

ah 2

Superfície triangular: x 3 ; y 3 ; A Equação da reta: y2  x

m.x  n

para : x

0mm

para : x

75mm

y2  x 



60 75





y 2 0 

60

y 2 75 

0





n

60

0

m.75  60



75

.x  60

Cálculo do centróide pelas integrais: 11

³ y.dA ³ y

y.A 75

y

³0

el

.dA

y 2  y1 .  y 2  y 1  .dx 2

2

1 2

75

³0  y 2  y1  .dx

75

y

1 2

³

0

³0  y 2



75

 y 21 .dx

75

³  y 2  y1 .dx

0

2 2 ª§ 120 2 · § 60 · º .x  60 ¸ ».dx «¨  2 .x  120 ¸  ¨  ¹ © 75 ¹ ¼» ¬«© 75 75

ª 120

³ «¬  75

§ 60 ·º .x 2 120  ¨  .x  60 ¸».dx © 75 ¹¼

2

0

75

75

y

ª 120 x5 1202  2. « 2 75 5 75 2 1 ¬ 2 ª 120 « 2 ¬ 75

º ª 60 x3 º x3 602 x 2  1202 .x »  «  2.  602 .x » 3 75 3 75 2 ¼0 ¬ ¼0

y

ª 120 x5 º ª 60 x 3 º 1202 x3 602 x2  2.  1202 .x »  «  2.  602 .x» « 2 2 75 3 75 2 1 ¬ 75 5 ¼0 ¬ 75 3 ¼0 75 75 2 ª 120 x 3 º ª 60 x 2 º 120.x »  «   60.x » « 2 ¬ 75 3 ¼0 ¬ 75 2 ¼0

y

1  ah 3 2a 1  2

75

75

º ª 60 x 2 º x3 120.x »  «   60.x » 3 ¼0 ¬ 75 2 ¼0 75

³ x.dA

x.A

1 5 1 3

h 2 6 2 15

³ x.k.x x

x

2h 5

x

.dx

0

0

0 3

k.a 3

2

.dx

3

a

³x

3

.dx

0

k.a 3 3

a

k.a 3

a

2

a

³ x.y.dx ³ x.k.x

³ x el.dA

a

75

a3 3

x

ªx4 º « » ¬ 4 ¼0 a3 3

a4 4 a3 3

3a 4

Cálculo do centróide da figura composta com os centróides das figuras: x

x 1.A 1  x 2.A 2 A1  A 2

3.75 2.75.120 75 75.120 . .  8 3 3 2 2.75.120 75.120  A2 3 2

y

y1 .A1  y2 .A2 A1  A 2

7.120 2.75.120 120 75.120 . .  5 3 3 2 2.75.120 75.120  A2 3 2

30mm

64,80mm

12

Assunto: Cap. 6 – Diagramas de Esforços Internos (Hibbeler) 1 – O eixo abaixo é suportado por dois mancais, um em A e outro em B, que resistem somente a esforços verticais. Construa os diagramas de força cortante V(x) e de momento fletor M(x) considerando o carregamento indicado. dV dx

w ,

dM dx

V y C

A

B

x

250 mm

800 mm RB

RA 24 kN

a) Cálculo das reações nos apoios:  ¦M A

0, R B.0,8  24.0,25

n ¦ Fy

0, R A  R B  24 0 , R A

0 , RB

7,5 kN

31,5 kN

b) Cálculo das equações de força cortante e de momento fletor: 1) Trecho CA (0 d x d 0,25m): n ¦ Fy

0, V  24

0, V

 ¦M centr 0, M  24.x

Para x

0m :

MC

Para x

0,25m :

V

M

24 kN

0, M

24.x kN.m ,

dM dx

x

24

V

24 kN

0 kN.m MA

6 kN.m

V

M

2) Trecho AB (0,25m d x d 1,05m): n ¦ Fy

0, V  24  31,5 0 , V

7,5 kN

 ¦M centr 0, M  24.x  31,5. x  0,25  0 ,

24 kN

0,25 m 31,5 kN x

13

M 7,5.x  7,875 kN.m

dM dx

0,25m :

MA

6 kN.m

Para x 1,05m :

MB

0 kN.m

Para x

V

7,5

C) Diagrama dos esforços internos V(x) e M(x): y C

A

B

x

250 mm

800 mm RA

RB

24 kN

24 Força Cortante (kN) 31,5

-7,5

Momento Fletor (kN.m) -6

14

3.2)Substitua essas forças por um sistema de força-binário equivalente em . || Calculo vetor posição força R=-(50N)j-(300N)i-(120N)i-(250N)k R=-(420N)i-(50N)j-(250N)k rB=(0,2m)i rd=(0,2m)i+(0,16)k rE=(0,2m)i-(0,1m)j+(0,16m(k MRA= rB.[-(300N)i-(50N)j] +rD.(-250N)k +rx(-120N)i =i j k i j k 0,2m 0 0 + 0,2 0 016 -300N -50N 0 0 0 -250N i j k + 0,2m -0,1m 0,16 =-(10N.m)k+(50N.m)j-(19,2N.m)j -(12N.m)k -120N 0 0

4.1) Duas hastes AB e DE são conectadas por uma alavanca BCD como mostrado. Sabendo que a tração na haste AB é 720N, determine (a) a tração na haste DE, (b) a reação em C. a)Cálculo do ângulo α cosα= 4/5, senα=3/5 β=180 - (90+α) = 90 - α cosβ= (cos90.cosα)+ (sen90.senα)= senα senβ= (sen90.cosα) (cos90.senα) =cosα b) Imposição do equilíbrio de forças: ->ΣFx=0, RCx - TABcosβ=0 (1) îΣFy=0, RCy -TABsensβ TDE=0 (2)

ΣMB=0, [rC/Bx i +rC/By j] x [ RCxi + RCy j]+[rD/Bx i+ rD/Bx j]+TDE -j= 0 N.mm [80i +60-j] x [RCxi+ RCyj] + [200i+30j] + T DE -j= 0 60 . RCx k +80 RCy k +200. TDE -k = 0 60 . RCx k +80 RCy - 200. T DE = 0 (3) Resolução das equações: De (1): RCx = 720 3/5 = 432 N (4) De (2): RCy = 720 4/5 TDE = 576 + TDE (5) Substituindo (4) e (5) em (3): 60 . 432 + 80 . (576 + TDE) -200 .TDE = 0 120 . TDE = 72000 -> TDE = 600 (N) RCy = 576 +600 = 1176 (N)

3.3)Substitua as forças aplicadas na estrutura abaixo por um 3.4)a) Substitua por uma única forca F aplicada no ponto C sistema de força-binário equivalente em A. R ΣFi M= Σri x Fi determine distacia d de C b)resolva a parte a se as direções das C. vetores posição: vetores posição: duas forças de 360 N forem invertidas rB/A = 1i + 3,5j m FB= 250N -k ΣF= 360Nj -360j - 600k rC/A = 2i + 4j m Fc= 150N +i F= -600NK rD/A = 2i + 3k m Fd= 300N -j ΣMD: 360Nx 15m -600N x d = 0 = 5400Nm -600N x d Cálculo da força resultante em A (sod= 5400Nm / 600N = 90 ou 0,9m mando e subtraindo as forças em A: ΣFx= 0, 600N + Rx = 0 RA= 150i +300-J + 250-z (N) Rx= 600N Cálculo do binário resultante em A. 150mm ΣFY= 0, 360N - 360N = 0 MAR= [1i+3,5j] x 250k + [2i +4j] Rx= 0N x150i + [2i +3j] x 300-j MAR= 250j +(3,5x250-i) + (2i.150i) +(4x140-k) y +C ΣMc= 0 , (360Nx75)+(360x75)+600 x d = 875-i +250j +1200-k (n.m) d= 5400Nm / 600N = 90 ou 0,9m x z

4.2) Sabendo que d = 200 mm, determine (a) a tração no cabo BD, (b) a reação em A. a) tração artg 100/100= 45˚ ΣFA= (T sen45˚) . (200) + (900.100m) + (90.200m)= 0 T 141,42 +27000 T= 27000 / 141,42 T= 190,91N b) a reação A ->RAx, ΣFx= 0 RAx Tcos45˚= 0 -> RAx=190,91cos45˚->RAx=135N î RAy, ΣFy= 0 RAy -90N - 90N + Tsen45˚= 0 A RAy= 180N + 190,91 sen45˚ -> RAy = 45,64N 45,64N α α artg RAy/ RAx= 18,43˚ 135N

4.3) A barra AD sustenta a carga de 600 N. Determine (a) a tração 5.1) centróide Figura 1 nos cabo BE e CF, (b) a reação em D. Determinação dos ângulos: A, mm2 tanα = 80/200-> α=21,8˚ tanβ = 80/100-> β=38,66˚ 1 2/3.(75).(120)=6000 Equilíbrio de forças 2 -1/2.(75).(60)=2250 -> ΣFx=0, RDx+TBE . cosα+TCFcosβ = 0 (1) Σ 3750

3.4) De acordo com a figura substitua foças e o binário por uma única força F aplicada em C , determine a distacia x e de C até a linha BF. Ponto C é centro de cisalhamento da seção

4.4) BCD é articula em C e preso a um cabo B (a) tranção no cabo 4.5)tranção A e D / ΣFx= 0 (b) reação C. î ΣFy= 0 Ty/ Tx= 0,32/0,24=1,33 TBE= 200N a) ΣMc= 0 , ΣM=0 ...