Factores CON Pagos Uniformes Equivalentes PDF

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CAPITULO 4 Factores con pagos uniformes equivalentes El valor presente de una serie de pagos uniformes equivalentes, se puededeterminar considerando cada valor (A) como un valor futuro (F) en el factor-valor presente pago-único y luego sumando los valores (A) presentes. Lafórmula general es:�� = [��...

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CAPITULO 4

4.1. Factores con pagos uniformes equivalentes

El valor presente de una serie de pagos uniformes equivalentes, se puede determinar considerando cada valor (A) como un valor futuro (F) en el factorvalor presente pago-único y luego sumando los valores (A) presentes. La fórmula general es: 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 + + ⋯+ + + 𝑃=[ ] 𝑛−1 3 2 1 (1 + 𝑖 ) (1 + 𝑖 ) (1 + 𝑖) (1 + 𝑖) (1 + 𝑖 )𝑛

Factor izando:

1 1 1 1 1 + + ⋯ + + + 𝑃 = 𝐴[ ] (1 + 𝑖)𝑛−1 (1 + 𝑖)𝑛 (1 + 𝑖)1 (1 + 𝑖)2 (1 + 𝑖)3

(1)

La ecuación (1) se simplifica multiplicando ambos lados por 1/(1+i):

𝑃 1 1 1 1 1 ] + + ⋯+ + + = 𝐴[ (1 + 𝑖)𝑛 (1 + 𝑖)𝑛+1 (1 + 𝑖 )2 (1 + 𝑖)3 (1 + 𝑖)4 (1 + 𝑖)

Restando la ecuación (1) de la ecuación (2) 𝑃 1 1 ] + − 𝑃 = 𝐴 [− (1 + 𝑖)1 (1 + 𝑖)𝑛+1 (1 + 𝑖)

Operando y reordenando tenemos:

(

1 −𝑃𝑖 1 ) = 𝐴[ ] − 𝑛+1 (1 + 𝑖) 1+𝑖 (1 + 𝑖 )

(2)

Simplificando ambos lados de la ecuación, se tiene:

(1 + 𝑖) (1 + 𝑖) −𝑃𝑖 = 𝐴 [ ] − 𝑛+1 (1 + 𝑖) (1 + 𝑖) −𝑃𝑖 = 𝐴 [

1 −1 ] (1 + 𝑖)𝑛

1 − (1 + 𝑖)𝑛 −𝑃𝑖 = 𝐴 [ ] (1 + 𝑖)𝑛 (𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏 ] 𝑷 = 𝑨[ 𝒊( 𝟏 + 𝒊) 𝒏

(𝟑)

4.1.1. Factor para pasar de series uniformes a valor presente. Este factor permite actualizar (P), una serie de pagos uniformes equivalentes (A). La ecuación (3) es la fórmula del factor de actualización, de la serie de pagos uniformes equivalentes: (𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏 ] 𝑷 = 𝑨[ 𝒊( 𝟏 + 𝒊) 𝒏

(𝟑)

4.1.2. Factor de recuperación del capital. Este factor permite transformar un valor presente (P) a una serie de pagos uniformes equivalentes (A). Despejando (A) de la ecuación (3) tenemos: 𝑨 = 𝑷[

𝒊(𝟏 + 𝒊)𝒏 ] 𝒊( 𝟏 + 𝒊) 𝒏 − 𝟏

(𝟒)

4.1.3. Factor para pasar de series uniformes a valor futuro Este factor transforma los pagos uniformes equivalentes (A) a un valor futuro (F). Considerando las ecuaciones, de capitalización con pago único y la ecuación (3): 𝑭 = 𝑷 ( 𝟏 + 𝒊) 𝒏

(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏 𝑷 = 𝑨[ ] 𝒊( 𝟏 + 𝒊) 𝒏

(𝟑)

Remplazando: (𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏 ] (𝟏 + 𝒊)𝒏 𝑭 = 𝑨[ 𝒊( 𝟏 + 𝒊) 𝒏

(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏 ] 𝑭 = 𝑨[ 𝒊

(𝟓)

4.1.4. Factor del fondo de amortización Este factor permite transformar un valor futuro (F), a pagos uniformes equivalentes (A). Despejando A de la ecuación (5): 𝑨 = 𝑭[

𝒊 ] (𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏

(𝟔)

4.2. Ejercicios Resueltos Ejercicio 4.2.1. La Empresa “ EQUS” tiene que realizar pagos semestrales durante cinco años, por una cantidad uniforme de 12,500 um cada uno. La tasa de interés pactada es de 5% mensual. ¿Cuánto es la deuda de la empresa? Solución 𝐴 = 12,500 𝑖𝑚𝑒𝑛 = 5% 𝑚=6 𝑛 = 5 𝑎ñ𝑜𝑠 Calculamos la tasa efectiva semestral. La tasa de interés mensual es de 0.05 La tasa de interés nominal semestral es (0.05 × 6 = 0.3) Calculamos la tasa de interés efectiva semestral: 𝑖𝑒 𝑠𝑒𝑚

0.3 6 = (1 + ) − 1 = 0.34 6

O también: 𝑖𝑒 𝑠𝑒𝑚 = (1 +

0.05 6 ) − 1 = 0.34 1

Reemplazando en la fórmula del factor para pasar de pagos uniformes equivalentes a valor presente:

(1 + 0.34)10 − 1 𝑃 = 12,500 [0.34(1 + 0.34)10] = 34,795 𝑢𝑚 Ejercicio 4.2.2. La empresa “FOQUS” compra un bien de capital por 32,000 um. La empresa acuerda con la Casa distribuidora, que el precio puede ser cancelado mediante cuotas mensuales, durante tres años. La tasa pactada es de 5.25% mensual. ¿A cuánto asciende cada pago mensual? Solución 𝑃 = 32,000 𝐴 =? 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 𝑛 = 3 𝑎ñ𝑜𝑠 = 36 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑖 = 5.25 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙

0.0525(1 + 0.0525)36 𝐴 = 32,000 [ ] = 1,996.413267 𝑢𝑚 (1 + 0.0525)36 − 1

Ejercicio 4.2.3. La empresa “SAC” deposita sus utilidades retenidas anuales, por un monto de 1,000 um, durante 12 años, en una entidad financiera que paga 4.5 % anual, capitalizable trimestralmente. ¿Cuánto será el monto acumulado al término de los 12 años?

Solución 𝐴 = 1,000 𝑖 = 4.5% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝑚=4 𝑛 = 12 𝑎ñ𝑜𝑠 𝐹 =? Calculamos la tasa efectiva anual. 4

0.045 ) − 1 = 0.045765 𝑖 = (1 + 4 Reemplazando los valores en el factor para pasar de pagos uniformes equivalentes a valor futuro. 𝐹 = 1,000 [

(1 + 0.045765)12 − 1 ] = 15,532.379 𝑢𝑚 0.045765

Ejercicio 4.2.4. La empresa “EQUS” tiene una deuda que asciende a la suma de 150,000 um, que debe honrar en el transcurso de 15 años. Para cancelar la deuda la empresa realiza depósitos semestrales, en una entidad financiera que paga un interés de 25% anual, capitalizable semestralmente. ¿A cuánto asciende el depósito semestral? Solución

𝐹 = 150,000 𝑛 = 15 𝑎ñ𝑜𝑠 𝑖 = 25% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝑚=2 𝑖𝑠𝑒𝑚 =

0.25 = 0.125 2

𝐴 =? 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 Reemplazamos los datos en el factor para pasar de valor futuro a pagos uniformes equivalentes: 𝐴 = 150,000 [

0.125 ] = 564.02334329 𝑢𝑚 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 (1 + 0.125)30 − 1

Ejercicio 4.2.5. El proyecto “Alpha” se financia con un préstamo no reajustable de 700,000 um, al 15% de interés anual al rebatir y se amortiza en 5 cuotas anuales, con igual servicio de deuda. Calcular, el cuadro del servicio de la deuda. Solución; 𝑃 = 700

𝑖 = 15% 𝑛=5

𝐴 = 𝐹𝐴𝐾 =?

𝑖(1 + 𝑖)𝑛 𝐴 = 𝐹𝐴𝐾 = 𝑃 [ (1 + 𝑖)𝑛 − 1]

𝐹𝐴𝐾 = 700,000 [

0.15(1 + 0.15)5 ] = 209,000 (1 + 0.15)5 − 1

Cuadro del Servicio de la Deuda Periodo Préstamo Interés Amortización Servicio Saldo Deuda 0 700,000 700,000 1 2 3 4 5

700,000 105,000 596,000 89,000 476,000 71,000 338,000 51,000 180,000 29,000

104,000 120,000 138,000 158,000 180,000

209,000 209,000 209,000 209,000 209,000

596,000 476,000 338,000 180,000

Ejercicio 4.2.5. El proyecto “Alpha” proyecta fabricar fibra óptica OMJ. Para seleccionar el tamaño del proyecto tiene tres alternativas, cuyos datos se muestran en la tabla. Rubros A B C Inversión 110,000 140,000 160,000 Producción por año (Metros) 20,000 24,000 30,000 Costo anual de producción 33,000 34,000 38,000 Vida útil (años) 4 4 4

El precio de mercado del metro de fibra óptica es de 4 unidades monetarias. El valor residual de los equipos disminuye 6% de su valor inicial con cada año de uso. La TMAR de “Alpha” es de 7% anual. Determine la mejor alternativa de tamaño. Solución. Calculamos el valor residual al final de los 5 años de las tres alternativas en la tabla.

Año

Alternativa A Depreciación Valor anual residual

Alternativa B Depreciación Valor anual residual

0 110,000 1 6,600 103,400 8,400 2 6,204 97,196 7,896 3 5,832 91,364 7,422 4 5,482 85,882 6,977 Ordenamos las inversiones y los beneficios.

140,000 131,600 123,704 116,282 109,305

Alternativas

Inversión

Beneficio anual (años 1 - 5)

Valor residual

A B C

110,000 140,000 160,000

47,000 62,000 82,000

85,882 109,305 124,919

Alternativa C Depreciació Valor n residual anual

9,600 9,024 8,483 7,974

160,000 150,400 141,376 132,893 124,919

Calculamos el Valor Presente Neto de cada alternativa, para descartar las alternativas que no son rentables. (1 + 0.07)4 − 1 1 𝑉𝑃𝐴 = −110,000 + 47,000 [ ] + 85 , 882 [ ] = 114,717.89 (1 + 0.07)4 0.07(1 + 0.07)4 𝑉𝑃𝐵 = −140,000 + 62,000 [

= 153,395.35

𝑉𝑃𝐶 = −160,000 + 82,000 [

(1 + 0.07)4 − 1 1 ] + 109,305 [ ] 4 (1 + 0.07)4 0.07(1 + 0.07)

1 (1 + 0.07)4 − 1 ] + 124,919 [ ] = 213,051.4 4 (1 + 0.07)4 0.07(1 + 0.07)

Las tres alternativas son rentables, pues el VPN de las tres alternativas es mayor a cero. El problema para el proyecto es resolver la siguiente interrogante: ¿es conveniente desde la perspectiva económica, incrementar la inversión de 110,000 unidades monetarias a 140,000 unidades monetarias, o aún incrementarlo hasta 160,000 unidades monetarias? Para resolver este problema, comparamos las alternativas. Analizamos si el incremento de la inversión, corresponde a un incremento de las ganancias. Utilizamos la técnica del análisis incremental. Comparamos en primer lugar la alternativa A con la alternativa B, ambos rentables, ya que sus VPN son positivos. Utilizamos la siguiente fórmula de análisis incremental: ∆𝑉𝑃𝐵𝐴

(1 + 𝑖)𝑛 − 1 1 ) ) (𝐵 ) [ ( (𝑉𝑆 [ ] ] + − 𝑉𝑆 = − 𝐼𝐵 − 𝐼𝐴 + 𝐵 − 𝐵𝐴 𝐵 𝐴 (1 + 𝑖 )𝑛 𝑖(1 + 𝑖)𝑛

(1 + 0.07)4 − 1 ∆𝑉𝑃𝐵𝐴 = −(140,000 − 110,000) + (62,000 − 47,000) [ ] 0.07(1 + 0.07)4 1 + (109,305 − 85,882) [ ] = 38,677.29 (1 + 0.07)4 (1 + 0.07)4 − 1 ] ∆𝑉𝑃𝐶𝐵 = −(160,000 − 140,000) + (82,000 − 62,000) [ 0.07(1 + 0.07)4 1 + (124,919 − 109,305) [ ] = 59,656.06 (1 + 0.07)4 Con estos resultados se elige a la alternativa C. Ya que con el análisis incremental, ante un incremento de la inversión de A a B, es decir se incrementa la inversión de 110,000 a 140,000 unidades monetarias, las ganancias se incrementan en 38,677.29 unidades monetarias. Asimismo cuando la inversión

se incrementa de 140,000 a 160,000 unidades monetarias, las ganancias se incrementan en 59,656.06 unidades monetarias.

Ejercicio 4.2.6. El proyecto “Betha” de producción de complementos electrónicos ha concluido el estudio de mercado, cuyo resultado de la proyección de la demanda se presenta en el cuadro.

Periodo 1 2 3 4 Demanda (miles) 2,000 2,100 2,205 2,315

5 2,431

El Proyecto tiene dos alternativas de tamaño A y B. La inversión para el tamaño A asciende a 80,000 unidades monetarias y la inversión para el tamaño B asciende a 90,000 unidades monetarias. Los costos de acuerdo al volumen de producción se muestran en el cuadro.

Producción Costo fijo A B 2,000 - 2,250 50,000 60,000 2,251 – 2,500 55,000 65,000

Costo Variable A B 10 8 12 6

La TMAR es del proyecto es de 10%. Calcular el tamaño óptimo. Solución. Para seleccionar el tamaño más conveniente se utiliza el Valor presente de los costos (VPC) Alternativa A Periodo

Demanda Costos Fijos

Costo variable unitario

Costo Variable total

Flujo neto

0 1 2 3 4 5

𝑉𝑃𝐶𝐴 = 80,000 +

2,000 2,100 2,205 2,315 2,431

50,000 50,000 50,000 55,000 55,000

10 10 10 12 12

20,000 21,000 22,050 27,780 29,172

80,000 70,000 71,000 72,050 82,780 84,172

70,000 71,000 72,050 82,780 84,172 = 365,250.279 + + + + (1.1)2 (1.1)3 (1.1)4 (1.1)5 (1.1)1

Alternativa B Periodo

Demanda

Costos Fijos

Costo variable unitario

Costo Variable total

0 1 2 3 4 5

2,000 2,100 2,205 2,315 2,431

60,000 60,000 60,000 65,000 65,000

8 8 8 6 6

16,000 16,800 17,640 13,890 14,586

𝑉𝑃𝐶𝐵 = 90,000 +

Flujo neto 90,000 76,000 76,800 77,640 78,890 79,586

76,000 76,800 77,640 78,890 79,586 = 384,193.55 + + + + (1.1)1 (1.1)2 (1.1)3 (1.1)4 (1.1)5

De acuerdo a los resultados del Valor presente de los costos, la alternativa A es la mejor alternativa de tamaño, para el proyecto “Betha” ya que presentan menor valor presente de sus costos....