Fala podłużna w pręcie PDF

Preview

Summary

Sprawozdanie z ćwiczeń laboratoryjnych...

Description

Ćwiczenie nr 29 – Fala podłużna w pręcie Cel ćwiczenia Wyznaczenie szybkości rozchodzenia się dźwięku w prętach wykonanych z rożnych materiałów, oraz modułów Younga (również porównanie dokładności ich wyznaczenia ze sposobem z ćwiczenia nr 11).

Wprowadzenie Ciała stałe mają w sobie tę właściwość, iż mogą się w nich rozchodzić zarówno fale podłużne jak i poprzeczne. Fala podłużna w pręcie powstaje na wskutek chwilowego działania siły prostopadłej do przekroju poprzecznego pręta. Powstające zagęszczenia i rozrzedzenia materiału spełniają prawo Hooke’a:

p

F  E  S

Gdzie: p – naprężenie, E – moduł Younga,  

(1)

l - odkształcenie względne l

Rozpatrując bardzo mały wycinek pręta o grubości dx, polu przekroju poprzecznego S, poddany działaniu siły cząstkowej dF rozciągający się (względnie ściskający) o wartość dψ

Rys. w1. Graficzna ilustracja zaburzenia falowego w ciele stałym (pręcie) można łatwo otrzymać cząstkowe odkształcenie równe d 

d . dx

Łącząc drugą zasadę dynamiki Newtona z prawem Hooke’a można dojść do następującej zależności:

dF  dm

d 2 d  S E 2 dt dx

(2)

Gdzie dm    S  dx , a  - gęstość materiału, z którego jest wykonany pręt. Odpowiednio przekształcając równanie (2) można otrzymać równanie falowe d’Alemberta

d 2  d 2   2 dx 2 E dt

(3)

i odczytać z niego prędkość rozchodzenia się fali w pręcie:

v

E



(4)

Fale odbite i padające na końce pręta interferują ze sobą tworząc fale stojącą. Odległość pomiędzy węzłami fali stanowi połowę jej długości, czyli l 

1  . Znając częstotliwość fali f oraz 2

odległość miedzy węzłami l możemy obliczyć jej prędkość:

v   f  2l  f

(5)

Porównując i przekształcając odpowiednio wzory (4) i (5) można powiązać moduł Younga z gęstością pręta, jego długością i częstotliwością fali poprzecznej rozchodzącej się w nim:

E  4 l 2  f 2

(6)

Dźwięk powstały w pręcie można odpowiednio przybliżyć jako złożenie drgań harmonicznie sinusoidalnych. Traktując fale dźwiękową jako pakiet sinusoid i wykorzystując szybką transformatę Fouriera, jesteśmy w stanie określić ich dyskretne częstotliwości. Częstotliwość odpowiadającą najniższemu tonowi (głównej składowej harmonicznej) jest nazywana częstotliwością podstawowa szeregu harmonicznego. Każda kolejna częstotliwość szeregu harmonicznego jest zazwyczaj krotnością częstotliwości podstawowej, co można wyrazić następującą zależnością:

fk  f 0  k

(7)

Gdzie k =2,3,…

Rys. w2. Ilustracja fali stojącej w pręcie dla kilku częstotliwości będących kolejnymi wielokrotnościami

Tłumiąc poszczególne składowe harmoniczne (np. ustawiając zacisk w połowie jego długości) sprawiamy, ze pewien ton dominuje nad innymi (a w szczególności nad tonem podstawowym) - taki sposób wydobycia dźwięku nazywany jest flażoletem.

1. Układ pomiarowy i aparatura         

mikrofon firmy „Manta” o paśmie przenoszenia od 0 do 10 kHz młotek metalowy firmy „Lux – Tools” taśma miernicza firmy „TOYA” o podziałce 1 mm suwmiarka metalowa firmy „TOPEX” o dokładności 0,05 mm 8 prętów wykonanych z różnych materiałów (puste lub wypełnione w środku) śruba mikrometryczna nieznanego producenta o dokładności 0,01 mm waga laboratoryjna KERN – model DE3K1N o zakresie do 3 kg i dokładności 1 g waga laboratoryjna do RADWAG - model WTB200 o zakresie 20mg-360g, dokładności 1mg oraz innych parametrach (e = 10mg, T = -360g) komputer stacjonarny firmy „Dell”, z zainstalowanym systemem operacyjnym Windows XP, oraz oprogramowaniem „Zelscope”

Rys. w3. Schemat układu pomiarowego w wykonywanym przez nas doświadczeniu. Oznaczenia: 1- młotek, 2- sznurki (umocowania pręta), 3- pręt, 4- mikrofon, 5- monitor wraz z komputerem

2. Wykonanie ćwiczenia Podczas wykonywania przez nas danego ćwiczenia badaliśmy dane zależności dla 8 różnych prętów. Różniły się one od siebie materiałem (stal, miedź, mosiądz, aluminium, szkło kwarcowe), przekrojem poprzecznym (kwadratowy, kołowy, pierścieniowy) oraz długością. Wykonaliśmy odpowiednio następujące czynności: 

zmierzyliśmy długość każdego z prętów taśmą mierniczą, następnie śrubą mikrometryczną zmierzyliśmy średnice wszystkich (oprócz miedzianego, bo gęstość miedzi jest znaną przez nas wielkością) okrągłych prętów (zawsze w 3 miejscach – na początku, na środku i na końcu), zmierzyliśmy również dla jednego pręta średnicę wewnętrzną (w celu wyznaczenia grubości pierścienia w przekroju), na końcu zważyliśmy 5 prętów (do wyznaczenia gęstości pozostałych 3 prętów otrzymaliśmy ich krótkie kawałki)

  

 





zważyliśmy na wadze laboratoryjnej oraz zmierzyliśmy (suwmiarką i śrubą mikrometryczną) wymiary pól przekroju dla 3 kawałków danych prętów każdy pręt zawiesiliśmy poziomo na 2 wiszących sznurkach przyczepionych do stojaków uruchomiliśmy komputer a w nim program Zelscope oraz w tym programie przyjęliśmy odpowiednie parametry (w menu Settings -> ADC and buffer lenght wybraliśmy częstotliwość próbkowania 192000. W panelu głównym w okienku horizontal przełączyliśmy przycisk z TIME na FREQ – odczyt sygnału po szybkiej transformacie Fouriera FFT) ustawiliśmy w programie zakres odczytywanej częstotliwości od 0 do 10 kHz (takiego zakresu używaliśmy do każdego wykonywanego przez nas pomiaru) przystawialiśmy mikrofon odpowiednio po kolei kilka cm od końca każdego z prętów i w tym czasie jedno z nas uderzało młotkiem w drugi koniec tego pręta tak, by powstała w nim fala podłużna a drugie operując przyciskami play i pause starało się „złapać” na monitorze jak najbardziej czytelny według nas obraz (czynności te powtarzaliśmy zazwyczaj kilkakrotnie aż do „złapania” przez nas odpowiedniego obrazu), używając odpowiedniej opcji w programie zapisywaliśmy do pliku szereg punktów pomiarowych, konieczny abyśmy mogli odtworzyć dane wykresy dla niektórych prętów (nie kwarcowego) wykonaliśmy analogiczne czynności wymuszając węzły poprzez umieszczenie zacisków w różnych miejscach pręta (zawsze mierzyliśmy odległość umieszczenia odcisku od początku, względnie końca) dla pręta nr 1 wykonaliśmy dwukrotnie analogiczne czynności lecz młotkiem uderzaliśmy z góry (w środek i początek pręta) tworząc w nim w ten sposób fale poprzeczną

3. Wyniki pomiarów Wyniki wszystkich punktów pomiarowych napięcia w zależności od częstotliwości zostały przez nas przedstawione na wykresach w kolejnym punkcie – „Opracowanie wyników” (przeprowadziliśmy kilkanaście różnych pomiarów, z czego w każdym było po około 1705 punktów pomiarowych, więc przedstawianie tego w formie tabelki jest zbyteczne – zajęło by bardzo wielką ilość miejsca oraz wizualnie ciężko by było na pierwszy rzut oka wyciągnąć jakiekolwiek ważne wnioski). Podczas przeprowadzania pomiarów związanych z prętem nr 6 (materiał – mosiądz, kształt przekroju poprzecznego – pierścień) nie przeprowadziliśmy pomiaru średnicy wewnętrznej, gdyż gęstość mosiądzu będziemy wyznaczać na podstawie pomiarów związanych z prętem nr 5 (na pewno mniejsza będzie niepewność złożona wyznaczenia gęstości mosiądzu uwzględniając wyniki tego pomiaru). Podczas badań wymiarów przekrojów poprzecznych prętów 3, 5, 6, 7, 8 zawsze każdą wielkość (średnicę d lub bok a) mierzyliśmy trzykrotnie (na początku, na końcu i mniej więcej w połowie długości pręta), a następnie w tabeli 1 podawaliśmy jako te wielkości średnie arytmetyczne z wyników pomiarów (mimo wszystko jednak za niepewność tych przyjmujemy niepewność typu B – 3 pomiary to jednak stanowczo za mało, by niepewność typu A dobrze odzwierciedlała rzeczywistą niepewność). Badając próbki prętów nr 1, 2 oraz średnicę wewnętrzną pręta nr 8 i średnicę zewnętrzną pręta nr 3 używaliśmy suwmiarki. Do pomiarów długości prętów l używaliśmy taśmy mierniczej, natomiast każdy pozostały pomiar długości odbył się poprzez użycie śruby mikrometrycznej.

Tabela 1. Wyniki pomiarów wielkości potrzebnych do wyznaczania gęstości materiałów, z których wykonane są pręty Materiał, z którego Długość Długość Średnica Średnica wykonany próbki Boki przekroju a Masa m jest pręt pręta l zewnętrzna wewnętrzna L.p. lp [mm] [g] oraz kształt dz [mm] dw [mm] [mm] [mm] jego przekroju 1 1802 19,94 5,95 5,97 5,331 Stal, Niepewność prostokąt 1 0,05 0,01 0,01 0,001 pomiaru 2 1802 19,93 14,31 14,17 30,853 Stal, Niepewność prostokąt 1 0,05 0,01 0,01 0,001 pomiaru 3 1802 19,97 10,11 12,610 Stal, koło Niepewność 1 0,05 0,01 0,001 pomiaru 4 1801 Miedź, Niepewność pierścień 1 pomiaru 5 998 5,98 236 Mosiądz, Niepewność koło 1 0,01 1 pomiaru 6 1000 8,01 99 Mosiądz, Niepewność pierścień 1 0,01 1 pomiaru 7 999 5,07 55 Aluminium, Niepewność koło 1 0,01 1 pomiaru Szkło 8 997 21,6 17 265 Niepewność kwarcowe, 1 0,01 0,05 1 pierścień pomiaru

4. Opracowanie wyników WYZNACZANIE GĘSTOŚCI: Do wyznaczenia gęstości każdego z badanych przez nas materiałów konieczne jest obliczenie objętości V każdego z prętów oraz niepewności złożonej uc(V) wyrażonej zależnością: 2

2

  d 2    d  l u (d ) uc (V )    u(l )     - dla prętów nr 3, 5, 7  2   4 

uc (V ) 

a 1  a 2  u (l )2  a 2  l  u (a 1) 2  a 1  l  u (a 2 ) 2

-dla prętów nr 1,2, gdzie a1 – szerokość

przekroju poprzecznego, a2 – długość przekroju poprzecznego





2

2 2     d zewn  l    d zewn 2  d wewn 2     d wewn  l  u c (V )    u( d zewn )      u( dwewn ) - dla pręta  u (l )   4 2 2      

nr 8 Tabela 2. Objętości prętów oraz niepewności ich wyznaczenia Nr pręta Objętość Niepewność Niepewność złożona uc(V) względna V [cm3] [cm3] uc (V ) [%]

V

1 2 3 5 7 8

0,708 4,041 1,603 28,03 20,17 142,43

0,003 0,030 0,006 0,10 0,09 1,38

2



m 1   m  , więc u c( )    u (m)    2  u (V ) V V   V 

0,43 0,75 0,38 0,36 0,45 0,97

2

Tabela 3. Gęstości materiałów, z których wykonane są pręty oraz niepewności ich wyznaczenia Wartość Zgodność wyniku z Gęstość Niepewność Niepewność wartością tablicową wraz z  tablicowa  złożona względna Materiał niepewnością rozszerzoną  kg  u c ( )  kg   kg  [%]  u ( ) (k=2) c  3  3  3

m 

Stal (pręt nr 1) Stal (pręt nr 2) Stal (pręt nr 3) Mosiądz Aluminium Szkło kwarcowe

m 



m 

7520

40

0,6

7500-7900

TAK

7630

60

0,8

7500-7900

TAK

7870

30

0,4

7500-7900

TAK

8420 2730

50 60

0,6 2,2

8400-8700 2720

TAK TAK

1860

20

1,1

2900

NIE

Wartość teoretyczna gęstości miedzi Cu wynosi 8920

kg . m3

Informacje na temat gęstości poszczególnych materiałów uzyskaliśmy z następującej strony internetowej: http://pl.wikipedia.org/wiki/Gęstość

WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA: We wszystkich poniższych obliczeniach jako niepewność pomiaru częstotliwości (typu B) przyjmujemy rozdzielczość odczytu, więc u(f) = 23 Hz.

Moduł Younga E dla wszystkich materiałów będziemy obliczali ze wzoru (6) (z wykresów będziemy odczytywali wartość częstotliwości podstawowej – pierwszy pik od lewej), a niepewność złożoną jego wyznaczenia otrzymamy z zależności:

uc (E ) 

4  l

2

 f 2  u( )

  8   l  f 2

2

  2

 u( l)  8    l 2  f  u( f )



2

Wartość prędkości rozchodzenia się fali w pręcie v będziemy obliczali na podstawie wzoru(5) (i odczytanej z wykresu wartości częstotliwości podstawowej), a niepewność złożoną jej wyznaczenia z następującej zależności:

u c (v ) 

2  l  u( f )2  2  f  u (l )2

Mimo iż pręty nr 1, 2, 3 są wykonane teoretycznie z tego samego materiału (stal) to przy obliczeniach modułu Younga dla każdego pręta będziemy przyjmować taką gęstość (oraz jej niepewność złożoną) jaką wyznaczyliśmy badając masę oraz wymiary geometryczne próbki każdego z nich. Gęstość pręta nr 6 przyjmujemy taką samą jak gęstość pręta nr 5, gdyż obydwa wykonane są z mosiądzu.

Wykres 1. Zależność mocy sygnału od częstotliwości dla pręta nr 1 Odczytana przez nas wartość częstotliwości podstawowej wynosi f = 1430 Hz

Wykres 2. Zależność mocy sygnału od częstotliwości dla pręta nr 2 Odczytana przez nas wartość częstotliwości podstawowej wynosi f = 1430 Hz

Wykres 3. Zależność mocy sygnału od częstotliwości dla pręta nr 3 Odczytana przez nas wartość częstotliwości podstawowej wynosi f = 1430 Hz

Wykres 4. Zależność mocy sygnału od częstotliwości dla pręta nr 4 Odczytana przez nas wartość częstotliwości podstawowej wynosi f = 1031 Hz

Wykres 5. Zależność mocy sygnału od częstotliwości dla pręta nr 5 Odczytana przez nas wartość częstotliwości podstawowej wynosi f = 1805 Hz

Wykres 6. Zależność mocy sygnału od częstotliwości dla pręta nr 6 Odczytana przez nas wartość częstotliwości podstawowej wynosi f = 1805 Hz

Wykres 7. Zależność mocy sygnału od częstotliwości dla pręta nr 7 Odczytana przez nas wartość częstotliwości podstawowej wynosi f = 2473 Hz

Wykres 8. Zależność mocy sygnału od częstotliwości dla pręta nr 8 Odczytana przez nas wartość częstotliwości podstawowej wynosi f = 2848 Hz

Nr pręta

1 2 3 4 5 6 7 8

Materiał i kształt przekroju poprzecznego Stal, prostokąt Stal, prostokąt Stal, koło Miedź, pierścień Mosiądz, koło Mosiądz, pierścień Aluminium, koło Szkło kwarcowe, pierścień

Tabela 4. Wyniki analizy wykresów wraz z niepewnościami złożonymi Niepewność Prędkość Niepewność względna rozchodzenia Częstotliwość Moduł złożona u(v) u się fali w c (v ) podstawowa f Younga [%]  m v m [Hz] E [GPa]   pręcie v   s 

Niepewnoś Niepewność złożona uc(E) [GPa]

ć względna

s 

uc ( E ) [%] E

1430 1430 1430

5154 5154 5154

298 298 298

5,8 5,8 5,8

200 203 209

23 23 24

11,6 11,6 11,6

1031

3714

222

6,0

123

15

12,0

1805

3603

364

10,1

109

22

20,3

1805

3610

364

10,1

110

22

20,2

2473

4941

497

10,1

67

13

20,3

2848

5679

571

10,1

60

12

20,2

Tabela 5. Porównanie wyznaczonych wartości v i E z wartościami tablicowymi Tablicowa Zgodność Zgodność wartości wartości wartość v Materiał i wyznaczonej wyznaczonej Tablicowa  m kształt Nr wartość E v wraz z jej E wraz z jej s    pręta przekroju niepewnością niepewnością [GPa] poprzecznego rozszerzoną rozszerzoną (k=2) (k=2) Stal, 1 4904-5292 TAK 190-210 TAK prostokąt Stal, 2 4904-5292 TAK 190-210 TAK prostokąt Stal, koło 3 4904-5292 TAK 190-210 TAK Miedź, 4 3348-3591 TAK 100-115 TAK pierścień Mosiądz, koło 5 3441-3842 TAK 103-124 TAK Mosiądz, 6 3441-3842 TAK 103-124 TAK pierścień Aluminium, 7 5037 TAK 69 TAK koło Szkło 8 5017 TAK 73 TAK kwarcowe, pierścień Tablicową wartość prędkości rozchodzenia się fali w pręcie v obliczaliśmy korzystając ze wzoru (4). Przy obliczaniu dolnego zakresu tej wartości do wzoru wstawialiśmy minimalną tablicową wartość modułu Younga i maksymalną tablicową wartość gęstości (ponieważ prędkość ta jest proporcjonalna do pierwiastka modułu Younga i odwrotnie proporcjonalna do pierwiastka gęstości), a przy obliczaniu górnego zakresu analogicznie odwrotnie.

FALA POPRZECZNA W PRĘCIE:

Wykres 9. Zależność mocy sygnału od częstotliwości dla fali poprzecznej (uderzenie młotkiem z góry w początek pręta nr 1)

Wykres 10. Zależność mocy sygnału od częstotliwości dla fali poprzecznej (uderzenie młotkiem z góry w środek długości pręta nr 1) Przeprowadziliśmy również kilka doświadczeń (tylko dla pręta nr 1) polegających na „tłumieniu” pewnych składowych harmonicznych poprzez umieszczenie zacisku w różnych miejscach i badanie fali podłużnej:

Wykres 11. Zależność mocy sygnału od częstotliwości (zacisk na środku pręta)

Wykres 12. Zależność mocy sygnału od częstotliwości (2 zaciski, każdy 45 cm od końca względnie początku pręta)

Wykres 13. Zależność mocy sygnału od częstotliwości (2 zaciski, pierwszy na środku pręta, a drugi 58,4 cm od jednego z końców)

Wykres 14. Zależność mocy sygnału od częstotliwości (3 zaciski, pierwszy na środku pręta, drugi 45 cm od jednego z końców, trzeci 45 cm od drugiego z końców)

5. Wnioski W tabelach 2, 3, 4, 5 przedstawione są szczegółowe wyniki naszych pomiarów oraz ich porównanie z wartościami tabelarycznymi. Wraz z niepewnością rozszerzoną (dla współczynnika rozszerzenia k=2), wyznaczyliśmy (badając masę i wymiary geometryczne) dokładnie gęstości  wszystkich materiałów oprócz szkła kwarcowego. Tabelaryczna wartość gęstości szkła kwarcowego

to 2900

kg kg kg , a jej niepewność standardowa 20 , wyznaczona przez nas to tylko 1860 . 3 3 m m m3

Wartość tabelaryczna mieściłaby się w przedziale wartości przez nas wyznaczonej wraz z jej niepewnością rozszerzoną dopiero dla współczynnika rozszerzenia k=52. Zdecydowanie większy wpływ na niepewność złożoną gęstości miała niepewność złożona objętości (składały się na nią niepewności pomiarów 3 różnych wielkości) niż niepewność pomiaru masy. Niepewności względne wyznaczenia objętości

u c (V ) prętów nie są duże (wszystkie poniżej 1%), największa dla szkła V

kwarcowego – 0,97%. Niepewności względne wyznaczenia gęstości danych materiałów mieszczą się w przedziale od 0,4 do 2,2% (największa dla aluminium, najmniejsza dla stali). Wyznaczone przez nas prędkości rozchodzenia się fali w prętach v oraz moduły Younga E wszystkich materiałów (nie zawsze były to konkretne wartości, czasami przedział) mieszczą się w przedziale wyznaczonych przez nas wartości wraz z ich niepewnościami rozszerzonymi dla współczynnika rozszerzenia k=2 (wraz z niepewnościami standardowymi obydwie z tych wielkości (v i E) nie mieściłyby się w tym przedziale tylko dla szkła kwarcowego). Niepewności względne mieszczą się w przedziale od 5,8 do 10,1 %, a niepewności względne

u c (v) v

uc ( E ) od 11,6 do 20,3%. Na E

niepewność złożona wyznaczenia v zdecydowanie największy wpływ miała niepewność pomiaru częstotliwości (typu B). Należy pamiętać również, iż prędkość rozchodzenia się fal w ciałach stałych zależy również od temperatury (czego nie wzięliśmy pod uwagę i nie zmierzyliśmy nawet temperatury otoczenia w pomieszczeniu, w którym dokonywaliśmy pomiaru, zazwyczaj wynosi ona od 19 do 23 oC). Odczyt pierwszego piku od lewej według nas nie miał zbyt dużego wpływu na niedokładność wyznaczenia danych wielkości – nie sądzimy, iż moglibyśmy pomylić ten pik (częstotliwość podstawową) z którymś kolejnym (wielokrotnością częstotliwości podstawowej). Należy wziąć też pod uwagę to, iż mikrofon którego używaliśmy przy danym doświadczeniu kosztował około 10 zł, więc nie jest on najlepszym sprzętem do przeprowadzania tego typu pomiarów. Sposób wyznaczania modułu Younga E jest niewątpliw...