FISA Formule Partial 2018 PDF

Preview

Summary

Warning: TT: undefined function: 32 FIȘA FORMULE PARTIAL MATE 3 (2018)  Numere complexe Forma algebrică: zxiyForma trigonometrică: zr(cos sin ) i , unde 22 rz x y , 0,2Argumentul redus al numărul...

Description

FIȘAFORMULEPARTIALMATE3(2018) 

Numerecomplexe

Formaalgebrică: z  x  iy  Formatrigonometrică: z  r (cos  i sin ) ,unde r  z  x 2  y 2 ,  0, 2  

 y Argumentulredusalnumăruluicomplex:  arg(z )  arctg   +CADRAN x Argumentulgeneralizat: Arg  z  arg  z  2k   Formaexponențială: z  r  e i    Funcțiicomplexe f ( z)  u( x, y)  i  v( x, y) ,cu z  x  iy ;

 u xx  u yy  0 Funcțiiarmonice:    v xx  v yy  0

 ux  v y RelațiileCauchy‐Riemann:  ;  u y   vx

 Funcțiacomplexăexponențială:e z  e x i y  e x (cos y  i sin y ) i



DEREȚINUT: e2 i  1 , e i  1 , ei  1, e 2  i , e   Funcțiitrigonometrice:

i 2

 i .



cos z 

ei z  e i z  cos x  ch y  i  sin x  sh y  2



sin z 

ei z  ei z  sin x  ch y  i  cos x sh y  2i



tg z 



ctg z 

sin z ei z  ei z  iz  cos z i e  ei z









i z iz cos z i e  e  i z i z  e e sin z

 Funcțiihiperbolice:  

ez  e z  cos iz  2 ez  ez sh z   i sin iz  2 ch z 





 Funcțialogaritm: Ln z  ln z  i arg  z  2 k , z  0 și k   .

z c  e cLn z ( c =nrcomplex, z

 Funcțiaputeregeneralizată:  PUNCTESINGULARE.POLI.REZIDUURI



pentru z0 polsimplu: Res f ( z)  lim( z  z 0)  f ( z) 

OBS:dacă f ( z ) 

z z 0

z  z0

p(z0 ) p( z )  cu p( z0 )  0 și q ( z ) areunzerosimpluîn z0 ,atunci: Res f ( z )   z z0 q( z0 ) q( z )

1 

 0 )

1  d m 1  lim  m1 ( z  z 0 ) m  f ( z)    z z  ( m  1)! 0  dz 



pentru z0 poldeordin”m”: Res f ( z ) 



pentru z0  singularitate esențială, reziduul funcției f ( z)  se definește (și se calculează) cu ajutorul

z z 0

dezvoltăriiînserieLaurent;



Pentru z0 singularitateeliminabilă(aparentă), Res f ( z )  0 . z z 0



TEOREMAINTEGRALĂCAUCHY(T.I.C) Dacă f ( z ) esteanaliticăpe D (domeniusimpluconex),atuncipentruoricecurbăsimplăînchisă(contur)  din

D avem:  f ( z ) dz  0 . 

TEOREMAREZIDUURILOR Fie f ( z ) analiticăpe  (curbăsimplăînchisă),șipe Int \z1 , z 2 , ... , z k (adicăcuexcepțiaunuinumărfinitde punctesingulare).Atunci,pentruintegrareaînsenstrigonometric,avem:



k

f ( z ) dz  2 i  Res f ( z ) z z j

j 1



APLICAȚIIALETEOREMEIREZIDUURILORÎNCALCULULINTEGRALELORREALE 1. Integraleraționaleîn sin și cos ,deforma: J 





3. IntegraletipFourier,deforma:



2. Integraleimproprii,deforma:





2

0

F cos  ,sin   d .

f  x  dx .

 

f  x   cosax dx sau 

 

f  x   sin ax dx ,cu a   

Dupăcalculareareziduuriloravem:













f  x   cos ax dx  2  Im Res  f ( z )eiaz   f  x  sin ax dx  2  Re Res  f ( z) e

ia z



‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ TRANSFORMATALAPLACEF (s )  L  f (t )  



 0

T

e  f (t )dt  lim 0 e  f (t )dt  st

st

T 

1. (liniaritatea) L   f   g    L( f )   L( g) ; 2. (schimbareadescală) L  f (at ) 

1 s  ,pentru a  0  F a  a 

3. (translațieîn t ): L f (t  a ) u (t  a)  e as F ( s) ,sau L f ( t)  u( t  a)   eas L f ( t  a) ; 





at 4. (deplasareîns): L e f (t )  F (s  a ) , s  a  k ;

2 





n

5. (derivareaimaginii): L t n f (t )  ( 1)n

d F  ds n

 L  f    s  L( f )  f (0) și

6. (derivareaoriginalului):

L  f    s 2  L( f )  s f (0)  f  (0) 



Formagenerală:L f

( n)

s

7. (integrareaoriginalului): L



sauformainversă:



t

0

n

 L ( f )  s n 1  f (0)  s n 2 f  (0)  .... f

( n 1)

(0) 

  f ( )d   1s F (s ) ,pentru s  0 , s  k și t  0  t

0

1  f ( ) d  L1  F ( s)  . s    f (t )    s F (v )dv   t 

8. (integrareaimaginii): L 

9. (convoluție): L  ( f  g ) (t )   F ( s)  G( s)  undeprodusuldeconvoluție(pentru t  0 )este: ( f  g ) ( t )  10. (aplicațieteoremainversăriiMellin‐Fourier):Pentru F (s ) 



t

0

f ( x)  g ( t  x) dx 

A( s) ,unde A( s) și B (s ) suntpolinoame B (s )

cucoeficiențirealiiargradulnumărătoruluiestemaimicdecâtgradulnumitorului.Înacescaz,putem scrie: f (t ) 

n

 A( s)

 Res  B( s) e k 1



st

n    A( s) s t   , s k   2 Re Res  e , s k    S 1  S 2  ( ) B s k 1    

unde S1  se calculează pentru toți polii reali ai funcției F ( s )  iar S2  pentru toți polii complecși din semiplanul superior(poliicareauparteaimaginarăpozitivă).  TabeltransformateLaplace

f t 

1

t t n , n  * t a , a  1 e at t n  e at , n  *

F  s   L  f ( t)

1 s 1 s2 n! s n 1

s0 s0 s0

  a  1 s a 1 1 s a n! s  a  n 1 3



Cond. de existență

sa sa sa

0 , u( t  a)   1 , 0 ,  (t  a )    ,

t a t a

e  as s

sa

t a ta

e  as

s 0, a 0

a s  a2 s 2 s  a2 a 2 s  a2 s 2 s  a2 2as

s0

sin at

2

cos at  sh  at  ch  at  t  sin at 

s

s a

sa

2

2

s

s a

 a2 

2

s a

t  cos  at 

s0

2

sa

a2

2

2

 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ TRANSFORMATAZ F  z  Z  f ( t)  



 f  t z

t



t 0

1. (liniaritatea): Z  f t    g t    Z  f t    Z  g t   ;

z

t 2. (asemănareasauschimbareadescală): Z  a  f  t    F   ; a

3. (translațieladreapta–primateoremădeîntârziere): Z  f  t  n   

Z  f (t  n)  u( t  n)  

1 F  z  ,sau zn

1 1 F  z  sau Z  f (t )  u( t  n)   n Z  f ( t  n)  ; n z z 

4. (translațielastânga–adouateoremădeîntârziere): Z  f  t  n    z n  F  z  



5. (derivareaimaginii): Z t  f t   z  F   z  ; 6. (integrareaimaginii): Z

 F u   f (t )    t  z u du ;

7. (produsuldeconvoluție)Produsuldeconvoluțieestesemnaluldiscretdefinitprin:

0, t  0  f  g  h t    t   f  k  g t k , t  0,1, 2,... k  0 TransformataZaplicatăprodusuluideconvoluție: Z   f  g  t    F  z   G  z  ; 4 

n1

 f t   z t 0

t

  ; 

8. (funcțiadiferență)



0 , t 0   f t 1   f t , t  0,1, 2,...

Funcțiadiferențădeordinul1: f t   

2 f t   f t  2   2 f  t 1  f  t  ; 3 f t   f  t  3  3 f  t  2  3 f t  1  f t  ; ..........;  n f  t  

n

  1

n k

k 0

Cnk  f  t  k  .

TransformataZadiferențeideordinuln: Z   n f t   z  1  F z   z n

n 1

n k 1

 z  1 

 k f 0  ,unde

k 0

0 f t   f  t  . 0 , t 0   t 1 9. (funcțiasumă) S f  t      f  k , t  1, 2,...  k0 F  z

TransformataZafuncțieisumăeste: Z S f  t     z 1 10. (inversareatransformateiZ)Dacă F  z  esteofuncțieanaliticăpedomeniul z  R și lim F  z   ct , z 

atuncifuncțiaeioriginalexistă,esteunicășiestedatăprin: n

t 1 f t   Rez  F  z   z  , z k  ,pentru t  0,1, 2,...  k 1

unde z1 , z2 ,..., zn  sunt punctele singulare ale funcției F  z   și  aparțin discului z  R  (și în acest caz,

R  max  z 1 , z 2 ,..., z n  ).  TabeltransformateZuzuale Funcțiaoriginal f t 

1, t  0  0, t  0

 0 t   

 1, t  k   0, t  k 0, t  0  u t    1, t  0 (șirul ut 1,1,1... )

 k  t    0 t  k   

t (șirul 0,1,2,... ) t2  (șirul 0,1, 4,... )

TransformataZ F ( z) 

Domeniuldeconvergență (pentrutransformataZ)

1

z 

1  zk

z  0

z  z 1

z  1

z



 z  1 2 z  z  1   z  13 5



z  1 z  1

t3  (șirul 0,1,8,... )

z  z  4 z  1

at 2 (șirul 1, a, a ,... )

z  z a





2

 z  1 4



t a t 

az



(șirul 0, a, 2a ,... )

 z  a 2

t  at 1 

z



2



2

 z  a

(șirul 0,1,2a,3a ,... )

z a 

z a



z a

ei at  ia i a (șirul 1, e , e 2 ,... )

z  ia z e

z  1

sin  a t  

z sin a  z  2 z  cos a  1

z  1





(șirul sin a,sin 2 a,sin 3 a... )

2

cos a t 

z   z  cos a 

(șirul 1, cos a,cos 2 a,... )

z  2 z  cos a  1

1  t!  1 1 1  (șirul 1, , , ,... )  1! 2! 3! 

ez 

2

1



6 

2

z  1





z  1

z  0...